Cлайд 1
Cлайд 2
ЭТО МЫ ЗНАЕМ Многогранник, составленный из двух равных n-угольников, лежащих в параллельных плоскостях и n параллелограммов. 2. Прямая призма, основания которой правильные много- угольники. 3. AA1D1D. 4. Призма, боковые ребра которой не равны высоте. A B B1 A1 C C1 D D1 H 5. Призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям. 6. ABCD. 7. DB1. 8. D1H. 1 2 3 4 5 6 7 П И Р З М А П Р А В И Л Ь Н А Я Г Р А Н Ь Н А К Л О Н Н А Я П Р Я М А Я О С Н О В А Н И Е Д И А Г О Л В Н Ь А Ы С О Т А 8
Cлайд 3
ПИРАМИДА Из истории развития и применения пирамид Определение пирамиды Элементы пирамиды Виды пирамид, их особенности Площадь поверхности и объем пирамиды ПР по вычислению Sпов. и V пирамиды Решение задач
Cлайд 4
ЦЕЛИ УРОКА: Познакомиться с историей развития пирамид и их применением; Сформулировать определение пирамиды и её элементов через сравнение и обобщение; Рассмотреть виды пирамид, их особенности. Познакомится с формулами площади боковой и полной поверхности пирамиды, объёма пирамиды.
Cлайд 5
НЕМНОГО ИСТОРИИ «Пирамида» - от греческого слова «пюрамис», которым греки называли египетские пирамиды. Мексиканская пирамида Солнца Египетские пирамиды Гора Кайлас на Тибете
Cлайд 6
ПИРАМИДЫ В АРХИТЕКТУРЕ Новый вход в Лувр, Париж Торговый центр в Илинге, Лондон Александровский маяк
Cлайд 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3-угольник + 3 3-угольника 4-угольник + 4 3-угольника 6-угольник + 10-угольник + n-угольник + Пирамида – это многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников. 6 3-угольников 10 3-угольников n 3-угольников Название пирамиды определяет n-угольник
Cлайд 8
ЭЛЕМЕНТЫ ПИРАМИДЫ Из чего состоит пирамида? Основание Боковые грани Боковые ребра Вершина Высота Можно ли в пирамиде провести диагональ? 1)Дайте определения всем элементам пирамиды (в случае затруднения воспользуйтесь учебником стр.65, п.28). 2)Начертите треугольную пирамиду PABC, выпишите её элементы.
Cлайд 9
ПРОВЕРЬ СЕБЯ Высота - A B C P H Основание - ABC многоугольник. Боковые грани - треугольники. AP, BP, CP Боковые ребра - . Вершина - общая точка всех боковых граней. P отрезки, соединяющие вершину с вершинами основания. ABP, BCP, ACP перпендикуляр, проведенный из вершины к плоскости основания. PH
Cлайд 10
Cлайд 11
ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром её основания, является высотой пирамиды. A B C D A B C D A B C D P A B C D P H H H Боковые ребра равны Боковые грани – равные равнобедренные треугольники Апофема правильной пирамиды – высота ее боковой грани, проведенная из вершины. K PK - апофема
Cлайд 12
ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРАВИЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ Sбок. = Pосн. * l где Pосн. – периметр основания, l –апофема правильной пирамиды.
Cлайд 13
ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ Sполн. = Sбок. + Sосн. где Sосн. – площадь основания.
Слайд 1
Презентация по теме «пирамида»
Слайд 2
исторические сведения о пирамиде
Египетские пирамиды – одно из семи чудес света. Что же такое пирамиды?
Усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них - пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Самая большая из трех - пирамида Хеопса (зодчий Хемиун, 27 в. до н. э.). Ее высота была изначально 147 м, а длина стороны основания - 232 м.
Слайд 3
ПИРАМИДА
Многогранник, составленный из n-угольника АB…E и n-треугольников, называется пирамидой.
Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды- сумма площадей ее боковых граней.
S полн.= S бок.+ Sосн
Слайд 4
Многоугольник АВ…Е называется основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды. Точка М называется вершиной пирамиды, а отрезки МА, МЕ, … , МВ- ее боковыми ребрами.
пирамида
Слайд 5
Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если её основание - правильный многоугольник, а отрезок PO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания*, является её высотой.
PE – апофема пирамиды.
*Центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой.
Слайд 6
Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками.
Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника A₁PO, одним катетом которого служит высота PO пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности.
Правильная пирамида
Слайд 7
ТЕОРЕМА:
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
S полн = ⅟₂ Pоснов * d
Слайд 8
Усечённая пирамида
Многогранник, гранями которого являются n-угольники A 1 A 2… A n и B 1 B 2… B n (нижнее и верхнее основание), расположенные в параллельных плоскостях, и n четырёхугольников A 1 A 2 B 2 B 1,
A 2 A 3 B 3 B 2,…,A n A 1 B 1 B n (боковые грани), называется усечённой пирамидой.
Отрезки A 1 B 1, A 2 B 2,…,A n B n называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.
Перпендикуляр CО, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды.
P
A 2
A 3
A 1
A n
B n
B1
B 2
B 3
C
Sбок = ⅟₂(P₁ + P₂) * d
«Параллелепипед 10 класс» - № 76. B. D1. Геометрия 10 класс. Диагонали параллелепипеда. Противоположные грани. Параллелепипед. Смежные грани. Докажите, что AC II A1C1 и BD II B1D1. A1. D.
«Аксиомы стереометрии» - МОУ «Гимназия № 22 г. Белгорода» ученица 10 «В» Табачная Евгения Учитель: Зуева Т.М. На картинке показаны два общепринятых изображения плоскости. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. 1.Понятия стереометрии 2. Изображение плоскости 3.Аксиомы стереометрии 4.Следствия из аксиом стереометрии. Обозначаются плоскости маленькими греческими буквами: a, b, g, ... Система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и трех аксиом стереометрии.
«Сечения параллелепипеда» - (MNK) ? (A’B’C’D’) = NK. МОУ гимназия №56. Урок - практикум в 10 классе Учитель математики Швенк А.В. (MNK) ? (ADD’A’) = MN. 4. 1. Вступительное слово учителя – 3 мин 2. Активизация знаний учащихся. Задачи урока. ? MNK- сечение параллелепипеда ABCDA’B’C’D’. Задание: построить сечение, проходящее через точки M, N, K.
«Тригонометрия 10 класс» - 10 класс. План урока: Удачи всем! Улыбнитесь! Домашнее задание. «Преобразование тригонометрических выражений». г.Нижневартовск 2010. Чтобы легче всем жилось, Чтоб решалось, чтоб моглось.
«Симметрия геометрических фигур» - Окружность имеет бесконечно много осей симметрии. Слово «симметрия» в переводе с греческого означает «одинаковость в расположении частей». Ромб имеет две оси симметрии. Цель исследования: Неразвернутый угол. Прямоугольник имеет две оси симметрии. Разносторонний треугольник. Как вы думаете, сколько осей симметрии имеет правильный шестиугольник? Ромб. Параллелограмм. Квадрат. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии.
«Чертеж пирамиды» - Воробьева Галина 10 класс. История появления пирамиды. Что такое пирамида? Пирамида и чертеж. История возникновения пирамиды. Построили ли пирамиду без чертежа? Цели исследования: Законы построения чертежа.
Выполнила учитель математики КОГОБУ «Центр дистанционного образования детей» Плетнева Светлана Викторовна
SABCDEF - пирамида
SK – высота пирамиды
S
SM – высота боковой грани
C
D
B
K
E
M
A
F
Свойство точки, равноудаленной от вершин многоугольника
Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, описанной около многоугольника.
М
В
Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр описанной около многоугольника окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин многоугольника.
А
О
С
Пирамиды, в которых:
1) высота проходит через центр описанной около основания окружности.
2) Все боковые ребра равны
3) Все боковые ребра образуют равные углы с плоскостью основания
4) Все боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды
Свойство точки, равноудаленной от сторон многоугольника
Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от сторон многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, вписанной в многоугольник.
S
B
N
A
O
Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр вписанной в многоугольник окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от сторон многоугольника.
K
K
M
C
C
Пирамиды, в которых:
1) высота проходит через центр вписанной в основание окружности.
S
2) Все высоты боковых граней равны
3) Все двугранные углы при основании равны
B
4) Высота пирамиды образует равные углы с плоскостями всех боковых граней
N
A
O
K
K
5) Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины
M
C
C
Если пирамида обладает хотя бы одним из перечисленных свойств, то она обладает и остальными.
Дано: АВС – прямоугольный треугольник ВС = 10 см – гипотенуза DB = DA = DC DO = 12см – высота пирамиды
Найти: AD
Решение:
Пирамиды, в которых одна или две боковые грани перпендикулярны плоскости основания
S
Если в пирамиде две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, то общее боковое ребро этих граней является высотой пирамиды.
B
S
S
A
C
B
B
Если в пирамиде плоскость одной из боковых граней перпендикулярна к плоскости основания, то высота пирамиды принадлежит плоскости этой боковой грани.
A
A
C
C
Правильная пирамида
Усеченная пирамида
В 1
С 1
А 1
В 1
О 1
А 1
D 1
С 1
В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 10 см и 6 см, а площадь диагонального сечения см 2 . Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
В 1
С 1
О 1
А 1
Слайд 2
Слайд 3
Многопрофильная гимназия №79 ОТКРЫТЫЙ УРОК «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПИРАМИДА И ЕЁ ПРОЕКЦИЯ» Учитель: Волкова Лидия Николаевна 2009г. Город Алматы
Слайд 4
Презентацию готовили
Дасиева Роза, Набоко Михаил, Ибрагимова Карина, Егизбаева Айнура, Асанова Эльвира, Ускенбаева Мадия.
Слайд 5
О слове пирамида.
Пирамида. Слово «пирамида»в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды в мире. Другая теория выводит этот термин из греческого слова «пирос» (рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды.
Слайд 6
Что же такое пирамида?
Пирамида- многогранник, у которого основание- многоугольник, боковые грани- треугольники, имеющие общую вершину.
Слайд 7
Пирамиды: Полные Усеченные Неправильная Правильная
Слайд 8
От чего зависит вид пирамиды?
Вид пирамиды зависит от многоугольника, который лежит в основании.
Слайд 9
Проекция пирамиды
Пирамида треугольная
Слайд 10
Слайд 11
Слайд 12
Пирамида– это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A1A2…An, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. Этот n – угольник A1A2…An называется основанием пирамиды. Треугольные грани называются боковыми гранями. Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания называются боковыми рёбрами. Объединение боковых граней пирамиды называется её боковой поверхностью. Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. O S C D В А ABCD –основание S – вершина SO – высота
Слайд 13
Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемойэтой пирамиды. Все апофемы равны друг другу. Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то пирамида называется n-угольной. Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр задается четырьмя вершинами; грани тетраэдра – четыре треугольника. Тетраэдр называется правильным, если все его рёбра равны.
Слайд 14
Свойства пирамиды
· Все боковые рёбра равны между собой. · Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. · Все двугранные углы при основании равны. · Все плоские углы при вершине равны. · Все плоские углы при основании равны · Апофемы боковых граней одинаковы по длине. · В любую правильную пирамиду можно вписать сферу.
Слайд 15
Площадь пирамиды
Площадью полной поверхностипирамиды называется сумма площадей всех её граней. Sполн=Sбок+Sосн Площадь боковой поверхности пирамиды– сумма площадей её боковых граней. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sбок.пов.=1/2 * (Pосн* m), где m – апофема, Р – периметр основания
Слайд 16
Обьём пирамиды
Объём пирамиды V=(1/3)*Sосн*h, где S – площадь основания, h – высота пирамиды.
Слайд 17
Усечённая пирамида
Усечённая пирамида– это часть пирамиды, лежащая между основанием и параллельным основанию сечением. Усечённая пирамида является частным случаем пирамиды. Определение.
Слайд 18
Основанияусечённой пирамиды– основание исходной пирамиды и многоугольник, полученный при пересечении её плоскостью (A1A2…An и B1B2…Bn). Отрезки A1B1, A2B2, …, AnBn называются боковыми рёбрамиусечённой пирамиды. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды. Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции. Усечённую пирамиду с основаниями A1A2…An и B1B2…Bn обозначают так: A1A2…AnB1B2…Bn. Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами. A1 A2 A3 An B1 B2 Bn O
Слайд 19
Свойства усечённой пирамиды.
1. Боковые рёбра и высота пирамиды делятся секущей плоскостью на пропорциональные отрезки. 2. В сечении получается многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании. 3. Площади сечения и основания будут относится между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.
Слайд 20
Площадь поверхностиправильнойусечённой пирамиды: S=(1/2)*m*(P+P1), где m – апофема, P- периметр оснований, P1- периметр боковой поверхности. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему: Sбок=1/2*(Рв+Рн)* m, где m – апофема, Рв, Рн – периметр верхнего и нижнего оснований Объёмусечённой пирамиды: V=(1/3)*h*(S1+√S1S2+S2), где S1, S2 – площади оснований. Площадь боковой грани: Sбок.гр.=1/2*m*(g+g1), гдеm – апофема, g, g1 – основаниябоковой грани.
Слайд 21
Плоские сечения пирамиды
Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через её вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды. A C D S B E F A C D S B ∆SDB – диагональное сечение пирамиды SABCD.
Слайд 22
Построить сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через прямую g и точку Е є пл.(SCD). K G H L M N F S B A C D E g Решение: 1. Проведем прямую CD, CD ∩ g ≡ F, F Є (SCD). 2. Проведем прямую FE, получим точки пересечения с ребрами пирамиды: SD ∩ FE ≡ H, SC ∩ FE ≡ G. 3. Построим прямую AD. AD ∩ g ≡ K, K Є (SAD). 4. Через точки K и H проведем прямую KH. KH∩SA≡L. 5. Построим прямую AВ, AВ ∩ g ≡ M, M Є (SAB). 6. Через точки M и L строим ML ∩ SB ≡ N. 7. Соединяем точки G, H, L, N. Сечение GHLM построено. Построение сечения.
