Когда у них одинаковые длины диагоналей, сторон и равные углы.
Свойства квадрата.
У всех 4-х сторон квадрата одинаковая длина, т.е. стороны квадрата равны:
AB = BC = CD = AD
Противолежащие стороны квадрата параллельны:
AB || CD , BC || AD
Все диагонали делят угол квадрата на две равные части, таким образом, они оказываются биссектрисами углов квадрата:
ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ ACB = ∠ ACD = ∠ BDC = ∠ BDA = ∠ CAB = ∠ CAD = ∠ DBC = ∠ DBA = 45°
Диагонали делят квадрат на 4 одинаковых треугольника , кроме того, полученные треугольники в одно время и равнобедренные и прямоугольные:
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA
Диагональ квадрата.
Диагональю квадрата является всякий отрезок, который соединяет 2-е вершины противолежащих углов квадрата.
Диагональ всякого квадрата больше стороны этого квадрата в √2 раз.
Формулы для определения длины диагонали квадрата:
1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:
2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата :
3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата :
4. Сумма углов квадрата = 360°:
5. Диагонали квадрата одной длины:
6. Все диагонали квадрата делят квадрат на 2-е одинаковые фигуры, которые симметричны:
7. Угол пересечения диагоналей квадрата равен 90°, пересекая друг друга, диагонали делятся на две равные части:
8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:
9. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности :
R - радиус вписанной окружности;
D - диаметр вписанной окружности;
d - диагональ квадрата.
10. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:
R - радиус описанной окружности;
D - диаметр описанной окружности;
d - диагональ.
11. Формула диагонали квадрата через линию, которая выходит из угла на середину стороны квадрата:
C - линия, которая выходит из угла на середину стороны квадрата;
d - диагональ.
Вписанный круг в квадрат - это круг, примыкающий к серединам сторон квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус вписанной окружности - сторона квадрата (половина).
Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в π/4 раза.
Круг, описанный вокруг квадрата - это круг, который проходит через 4-ре вершины квадрата и который имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата больше радиуса вписанной окружности в √2 раз.
Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен 1/2 диагонали.
Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.
Квадратом называют геометрическую фигуру с равными сторонами и углами. Об этом большинство из нас знают еще со школы. А вот какими свойствами он обладает и как вычисляются его площадь и периметр, помнят, к сожалению, не все.
Поэтому в данной статье речь пойдет о том, что такое квадрат, более подробно.
Основное определение и свойства квадрата
Итак, квадрат представляет собой правильный четырехугольник (прямоугольник), обладающий равными сторонами и углами. Прямоугольник является параллелограммом, следовательно, квадрат также следует считать параллелограммом. Кроме того, учитывая, что все стороны квадрата имеют одинаковую длину, он является и ромбом. Таким образом, можно сделать вывод, что квадрат обладает некоторыми свойствами как ромба, так и прямоугольника.
Каковы же свойства квадрата? Во-первых, у него все углы являются прямыми, а диагонали и стороны такого прямоугольника равны друг другу. Во-вторых, диагонали квадрата не только взаимно перпендикулярны, но и выступают биссектрисами углов четырехугольника. В точке пересечения они делятся пополам.
Как вычислить периметр и площадь квадрата
Для вычисления площади и периметра квадрата необходимо знать значение одной стороны данного прямоугольника либо диагонали. Поскольку стороны у него имеют одинаковую длину, то для того чтобы узнать периметр квадрата, следует умножить значение стороны на 4 или просто сложить все 4 стороны: полученная сумма и является периметром. К примеру, длина одной стороны вашего квадрата 5 см. Следовательно, 5 нужно умножить на 4 (5 х 4 = 20) или же сложить все стороны: 5+5+5+5 = 20. Это самый простой способ вычисления.
Периметр квадрата вычисляется также с помощью значения диагонали. Сначала прочтите нашу статью по теме . Периметр квадрата равен произведению длины диагонали на 2 корня из 2. Это означает, что если длина диагонали у вашего квадрата 10 см, то следует из 2 вывести корень (что будет равно приблизительно 1,4) и умножить на 2, затем на длину. Таким образом, 1,4 х 2 х 10 = 28 см (если округлить). То есть периметр квадрата с диагональю 10 см будет равен около 28 см.
Для вычисления площади квадрата используется простой метод: следует возвести в квадрат длину одной стороны. Так, если она составляет 4 см, то следует 4 умножить на 4. Получается, что площадь квадрата со стороной 4 см равна 16 см.
Квадрат — это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.
Диагональ квадрата — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины.
Параллелограмм , ромб и прямоугольник так же являются квадратом, если они имеют прямые углы, одинаковые длины сторон и диагоналей.
Свойства квадрата
1. Длины сторон квадрата равны.
AB=BC=CD=DA
2. Все углы квадрата прямые.
\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}
3. Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу.
AB \parallel CD, BC \parallel AD
4. Сумма всех углов квадрата равна 360 градусов.
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}
5. Величина угла между диагональю и стороной равна 45 градусов.
\angle BAC = \angle BCA = \angle CAD = \angle ACD = 45^{\circ}
Доказательство
Квадрат является ромбом \Rightarrow AC — биссектриса угла A , и он равняется 45^{\circ} . Тогда AC делит \angle A , и \angle C на 2 угла по 45^{\circ} .
6. Диагонали квадрата — тождественны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.
AO = BO = CO = DO
\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^{\circ}
AC = BD
Доказательство
Так как квадрат это прямоугольник \Rightarrow диагонали равны; так как — ромб \Rightarrow диагонали перпендикулярны. А так как — параллелограмм, \Rightarrow диагонали разделены точкой пересечения пополам.
7. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.
\triangle ABD = \triangle CBD = \triangle ABC = \triangle ACD
8. Обе диагонали делят квадрат на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника.
\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD
9. Если сторона квадрата равна a, то, диагональ будет равна a \sqrt{2} .
