Συνάρτηση κατανομής προσδοκιών Mat. Η μαθηματική προσδοκία (μέσος όρος πληθυσμού) είναι. Όταν δεν μπορείς να περιοριστείς μόνο στη μαθηματική προσδοκία

- ο αριθμός των αγοριών μεταξύ 10 νεογνών.

Είναι αρκετά σαφές ότι αυτός ο αριθμός δεν είναι γνωστός εκ των προτέρων και στα επόμενα δέκα παιδιά που γεννιούνται μπορεί να υπάρχουν:

Ή αγόρια - ένα και μοναδικόαπό τις αναφερόμενες επιλογές.

Και, για να παραμείνουμε σε φόρμα, λίγη φυσική αγωγή:

- Απόσταση άλματος εις μήκος (σε ορισμένες μονάδες).

Ακόμη και ο κύριος του αθλητισμού δεν είναι σε θέση να το προβλέψει :)

Ωστόσο, ποιες είναι οι υποθέσεις σας;

2) Συνεχής τυχαία μεταβλητή - παίρνει όλααριθμητικές τιμές από κάποιο πεπερασμένο ή άπειρο εύρος.

Σημείωση : Οι συντομογραφίες DSV και NSV είναι δημοφιλείς στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία

Αρχικά, ας αναλύσουμε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή και μετά - συνεχής.

Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

- αυτό είναι συμμόρφωσημεταξύ των πιθανών τιμών αυτής της ποσότητας και των πιθανοτήτων τους. Τις περισσότερες φορές, ο νόμος γράφεται σε έναν πίνακα:

Ο όρος είναι αρκετά κοινός σειρά διανομή, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις ακούγεται διφορούμενο, και ως εκ τούτου θα τηρήσω τον «νόμο».

Και τώρα πολύ σημαντικό σημείο: αφού η τυχαία μεταβλητή αναγκαίωςθα δεχθεί μία από τις αξίες, τότε σχηματίζονται τα αντίστοιχα συμβάντα πλήρης ομάδακαι το άθροισμα των πιθανοτήτων εμφάνισής τους είναι ίσο με μία:

ή, αν είναι γραμμένο διπλωμένο:

Έτσι, για παράδειγμα, ο νόμος της κατανομής των πιθανοτήτων των σημείων σε μια μήτρα έχει την ακόλουθη μορφή:

Κανένα σχόλιο.

Μπορεί να έχετε την εντύπωση ότι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή μπορεί να λάβει μόνο "καλές" ακέραιες τιμές. Ας διαλύσουμε την ψευδαίσθηση - μπορεί να είναι οτιδήποτε:

Παράδειγμα 1

Ορισμένα παιχνίδια έχουν τον ακόλουθο νόμο διανομής ανταμοιβής:

…μάλλον ονειρευόσασταν για τέτοιες εργασίες εδώ και πολύ καιρό :) Επιτρέψτε μου να σας πω ένα μυστικό - κι εγώ. Ειδικά μετά την ολοκλήρωση της εργασίας θεωρία πεδίου.

Λύση: δεδομένου ότι μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να λάβει μόνο μία από τις τρεις τιμές, σχηματίζονται τα αντίστοιχα συμβάντα πλήρης ομάδα, που σημαίνει ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι ίσο με μία:

Εκθέτουμε τον «κομματικό»:

– έτσι, η πιθανότητα να κερδίσετε συμβατικές μονάδες είναι 0,4.

Έλεγχος: τι πρέπει να βεβαιωθείτε.

Απάντηση:

Δεν είναι ασυνήθιστο όταν ο νόμος διανομής πρέπει να συντάσσεται ανεξάρτητα. Για αυτή τη χρήση κλασικός ορισμός της πιθανότητας, Θεωρήματα πολλαπλασιασμού / πρόσθεσης για πιθανότητες γεγονότωνκαι άλλες μάρκες τερβέρα:

Παράδειγμα 2

Υπάρχουν 50 λαχεία στο κουτί, 12 από τα οποία είναι κερδισμένα και 2 από αυτά κερδίζουν 1000 ρούβλια το καθένα και τα υπόλοιπα - 100 ρούβλια το καθένα. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής - το μέγεθος των κερδών, εάν ένα δελτίο τραβηχτεί τυχαία από το κουτί.

Λύση: όπως παρατηρήσατε, συνηθίζεται να τοποθετείτε τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής αύξουσα σειρά. Επομένως, ξεκινάμε με τα μικρότερα κέρδη, και συγκεκριμένα με ρούβλια.

Συνολικά υπάρχουν 50 - 12 = 38 τέτοια εισιτήρια, και σύμφωνα με κλασικός ορισμός:
είναι η πιθανότητα να μην κερδίσει ένα δελτίο που κληρώθηκε τυχαία.

Οι υπόλοιπες περιπτώσεις είναι απλές. Η πιθανότητα να κερδίσετε ρούβλια είναι:

Έλεγχος: - και αυτή είναι μια ιδιαίτερα ευχάριστη στιγμή τέτοιων εργασιών!

Απάντηση: ο απαιτούμενος νόμος διανομής πληρωμών:

Το ακόλουθο καθήκον για μια ανεξάρτητη απόφαση:

Παράδειγμα 3

Η πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο είναι . Δημιουργήστε έναν νόμο κατανομής για μια τυχαία μεταβλητή - τον αριθμό των χτυπημάτων μετά από 2 βολές.

... Ήξερα ότι σου έλειψε :) Θυμόμαστε θεωρήματα πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης. Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ο νόμος κατανομής περιγράφει πλήρως μια τυχαία μεταβλητή, αλλά στην πράξη είναι χρήσιμο (και μερικές φορές πιο χρήσιμο) να γνωρίζουμε μόνο μερικές από αυτήν. αριθμητικά χαρακτηριστικά .

Μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Με απλά λόγια, αυτό μέση αναμενόμενη τιμήμε επαναλαμβανόμενες δοκιμές. Αφήστε μια τυχαία μεταβλητή να λάβει τιμές με πιθανότητες αντίστοιχα. Επειτα αναμενόμενη αξίαδεδομένης τυχαίας μεταβλητής ισούται με άθροισμα προϊόντωνόλες τις τιμές του με τις αντίστοιχες πιθανότητες:

ή σε διπλωμένη μορφή:

Ας υπολογίσουμε, για παράδειγμα, τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής - τον αριθμό των πόντων που έπεσαν σε ένα ζάρι:

Τώρα ας θυμηθούμε το υποθετικό μας παιχνίδι:

Γεννιέται το ερώτημα: είναι έστω και κερδοφόρο να παίζεις αυτό το παιχνίδι; ... ποιος έχει εντυπώσεις; Οπότε δεν μπορείς να πεις «παρεμπόδιστα»! Αλλά αυτή η ερώτηση μπορεί εύκολα να απαντηθεί με τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας, στην ουσία - σταθμισμένος μέσος όροςπιθανότητες νίκης:

Έτσι, η μαθηματική προσδοκία αυτού του παιχνιδιού χάνοντας.

Μην εμπιστεύεστε τις εντυπώσεις - εμπιστευθείτε τους αριθμούς!

Ναι, εδώ μπορείς να κερδίσεις 10 ή και 20-30 φορές στη σειρά, αλλά μακροπρόθεσμα αναπόφευκτα θα καταστραφούμε. Και δεν θα σας συμβούλευα να παίξετε τέτοια παιχνίδια :) Λοιπόν, ίσως μόνο για πλάκα.

Από όλα τα παραπάνω, προκύπτει ότι η μαθηματική προσδοκία ΔΕΝ είναι ΤΥΧΑΙΑ τιμή.

Δημιουργική εργασία για ανεξάρτητη έρευνα:

Παράδειγμα 4

Ο Mr X παίζει ευρωπαϊκή ρουλέτα σύμφωνα με το ακόλουθο σύστημα: ποντάρει συνεχώς 100 ρούβλια στο κόκκινο. Να συνθέσετε τον νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής - την απόδοσή της. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία των κερδών και στρογγυλοποιήστε την στα καπίκια. Πως μέση τιμήχάνει ο παίκτης για κάθε εκατό στοίχημα;

Αναφορά : Η ευρωπαϊκή ρουλέτα περιέχει 18 κόκκινους, 18 μαύρους και 1 πράσινο τομέα («μηδέν»). Σε περίπτωση που πέσει ένα "κόκκινο", ο παίκτης πληρώνεται ένα διπλό στοίχημα, διαφορετικά πηγαίνει στα έσοδα του καζίνο

Υπάρχουν πολλά άλλα συστήματα ρουλέτας για τα οποία μπορείτε να δημιουργήσετε τους δικούς σας πίνακες πιθανοτήτων. Αλλά αυτό συμβαίνει όταν δεν χρειαζόμαστε νόμους και πίνακες διανομής, γιατί είναι βέβαιο ότι η μαθηματική προσδοκία του παίκτη θα είναι ακριβώς η ίδια. Αλλάζει μόνο από σύστημα σε σύστημα

Η μαθηματική προσδοκία (μέση τιμή) μιας τυχαίας μεταβλητής X , που δίνεται σε ένα διακριτό χώρο πιθανοτήτων, είναι ο αριθμός m =M[X]=∑x i p i , εάν η σειρά συγκλίνει απόλυτα.

Ανάθεση υπηρεσίας. Με διαδικτυακή υπηρεσία υπολογίζεται η μαθηματική προσδοκία, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση(βλ. παράδειγμα). Επιπλέον, σχεδιάζεται γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής F(X).

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας μιας τυχαίας μεταβλητής

1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με τον εαυτό της: M[C]=C , C είναι μια σταθερά.
2. M=C M[X]
3. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους: M=M[X]+M[Y]
4. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους: M=M[X] M[Y] αν τα X και Y είναι ανεξάρτητα.

Ιδιότητες διασποράς

1. Η διασπορά μιας σταθερής τιμής είναι ίση με μηδέν: D(c)=0.
2. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από το πρόσημο της διασποράς τετραγωνίζοντας το: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Εάν οι τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες, τότε η διακύμανση του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Εάν οι τυχαίες μεταβλητές X και Y εξαρτώνται: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Για τη διακύμανση, ισχύει ο υπολογιστικός τύπος:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Παράδειγμα. Οι μαθηματικές προσδοκίες και οι διακυμάνσεις δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X και Y είναι γνωστές: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Z=9X-8Y+7 .
Λύση. Με βάση τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Με βάση τις ιδιότητες διασποράς: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Αλγόριθμος για τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας

Ιδιότητες διακριτών τυχαίων μεταβλητών: όλες οι τιμές τους μπορούν να επαναριθμηθούν με φυσικούς αριθμούς. Εκχωρήστε σε κάθε τιμή μια πιθανότητα μη μηδενική.

1. Πολλαπλασιάστε τα ζεύγη ένα προς ένα: x i επί p i .
2. Προσθέτουμε το γινόμενο κάθε ζεύγους x i p i .
   Για παράδειγμα, για n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςσταδιακά, αυξάνεται απότομα σε εκείνα τα σημεία των οποίων οι πιθανότητες είναι θετικές.

Παράδειγμα #1.

x i	1	3	4	7	9
πι	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Η μαθηματική προσδοκία βρίσκεται από τον τύπο m = ∑x i p i .
Μαθηματική προσδοκία M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Η διασπορά βρίσκεται με τον τύπο d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Διασπορά D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Τυπική απόκλιση σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

Παράδειγμα #2. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή έχει την ακόλουθη σειρά διανομής:

Χ	-10	-5	0	5	10
R	ένα	0,32	2ένα	0,41	0,03

Βρείτε την τιμή a , τη μαθηματική προσδοκία και την τυπική απόκλιση αυτής της τυχαίας μεταβλητής.

Λύση. Η τιμή a βρίσκεται από τη σχέση: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 ή 0,24 = 3 a , εξ ου και a = 0,08

Παράδειγμα #3. Προσδιορίστε τον νόμο κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής εάν η διακύμανσή της είναι γνωστή και x 1 x 1 =6; x2=9; x3=x; x4=15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96

Λύση.
Εδώ πρέπει να φτιάξετε έναν τύπο για την εύρεση της διακύμανσης d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
όπου προσδοκία m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Για τα δεδομένα μας
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
ή -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Κατά συνέπεια, είναι απαραίτητο να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης και θα υπάρχουν δύο από αυτές.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Επιλέγουμε αυτό που ικανοποιεί τη συνθήκη x 1 x3=12

Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3

Στην προηγούμενη, δώσαμε έναν αριθμό τύπων που μας επιτρέπουν να βρούμε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά των συναρτήσεων όταν είναι γνωστοί οι νόμοι κατανομής των ορισμάτων. Ωστόσο, σε πολλές περιπτώσεις, για να βρει κανείς τα αριθμητικά χαρακτηριστικά των συναρτήσεων, δεν χρειάζεται καν να γνωρίζει τους νόμους κατανομής των ορισμάτων, αλλά αρκεί να γνωρίζει μόνο μερικά από τα αριθμητικά χαρακτηριστικά τους. σε αυτήν την περίπτωση, κάνουμε χωρίς κανένα νόμο διανομής. Ο προσδιορισμός των αριθμητικών χαρακτηριστικών των συναρτήσεων με δεδομένα αριθμητικά χαρακτηριστικά των ορισμάτων χρησιμοποιείται ευρέως στη θεωρία πιθανοτήτων και καθιστά δυνατή τη σημαντική απλοποίηση της επίλυσης ορισμένων προβλημάτων. Ως επί το πλείστον, τέτοιες απλοποιημένες μέθοδοι σχετίζονται με γραμμικές συναρτήσεις. Ωστόσο, ορισμένες στοιχειώδεις μη γραμμικές συναρτήσεις επιτρέπουν επίσης αυτή την προσέγγιση.

Στο παρόν, παρουσιάζουμε έναν αριθμό θεωρημάτων για τα αριθμητικά χαρακτηριστικά των συναρτήσεων, τα οποία στο σύνολό τους αντιπροσωπεύουν μια πολύ απλή συσκευή για τον υπολογισμό αυτών των χαρακτηριστικών, εφαρμόσιμη σε ένα ευρύ φάσμα συνθηκών.

1. Μαθηματική προσδοκία μιας μη τυχαίας μεταβλητής

Η αναφερόμενη ιδιοκτησία είναι μάλλον προφανής. μπορεί να αποδειχθεί θεωρώντας μια μη τυχαία μεταβλητή ως συγκεκριμένο τύπο μιας τυχαίας, με μία πιθανή τιμή με πιθανότητα μία. τότε σύμφωνα με τον γενικό τύπο για τη μαθηματική προσδοκία:

.

2. Διασπορά μιας μη τυχαίας μεταβλητής

Εάν είναι μια μη τυχαία τιμή, τότε

3. Αφαίρεση μη τυχαίας μεταβλητής πέρα ​​από το πρόσημο της μαθηματικής προσδοκίας

, (10.2.1)

Δηλαδή, μια μη τυχαία τιμή μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο προσδοκίας.

Απόδειξη.

α) Για ασυνεχείς ποσότητες

β) Για συνεχείς ποσότητες

.

4. Αφαίρεση μη τυχαίας τιμής για το πρόσημο της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης

Αν είναι μια μη τυχαία μεταβλητή και είναι τυχαία, τότε

, (10.2.2)

Δηλαδή, μια μη τυχαία τιμή μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς το.

Απόδειξη. Εξ ορισμού της διακύμανσης

Συνέπεια

,

Δηλαδή, μια μη τυχαία τιμή μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της τυπικής απόκλισης από την απόλυτη τιμή της. Λαμβάνουμε την απόδειξη εξάγοντας την τετραγωνική ρίζα από τον τύπο (10.2.2) και λαμβάνοντας υπόψη ότι το r.s.c. είναι μια ουσιαστικά θετική αξία.

5. Μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών

Ας αποδείξουμε ότι για οποιεσδήποτε δύο τυχαίες μεταβλητές και

δηλ. η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους.

Αυτή η ιδιότητα είναι γνωστή ως θεώρημα πρόσθεσης προσδοκιών.

Απόδειξη.

α) Έστω ένα σύστημα ασυνεχών τυχαίων μεταβλητών. Ας εφαρμόσουμε στο άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών τον γενικό τύπο (10.1.6) για τη μαθηματική προσδοκία μιας συνάρτησης δύο ορισμάτων:

.

Το Ho δεν είναι τίποτα άλλο από τη συνολική πιθανότητα ότι η τιμή θα λάβει την τιμή:

;

Συνεπώς,

.

Με παρόμοιο τρόπο θα το αποδείξουμε

,

και το θεώρημα αποδεικνύεται.

β) Έστω ένα σύστημα συνεχών τυχαίων μεταβλητών. Σύμφωνα με τον τύπο (10.1.7)

. (10.2.4)

Μετασχηματίζουμε το πρώτο από τα ολοκληρώματα (10.2.4):

;

επίσης

,

και το θεώρημα αποδεικνύεται.

Πρέπει να σημειωθεί ιδιαίτερα ότι το θεώρημα της πρόσθεσης των μαθηματικών προσδοκιών ισχύει για τυχαίες μεταβλητές - εξαρτημένες και ανεξάρτητες.

Το θεώρημα της πρόσθεσης προσδοκίας μπορεί να γενικευτεί σε έναν αυθαίρετο αριθμό όρων:

, (10.2.5)

δηλ. η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος πολλών τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους.

Για να το αποδείξουμε, αρκεί να εφαρμόσουμε τη μέθοδο της πλήρους επαγωγής.

6. Μαθηματική προσδοκία γραμμικής συνάρτησης

Εξετάστε μια γραμμική συνάρτηση πολλών τυχαίων ορισμάτων:

όπου είναι μη τυχαίοι συντελεστές. Ας το αποδείξουμε

, (10.2.6)

δηλ. ο μέσος όρος μιας γραμμικής συνάρτησης είναι ίσος με την ίδια γραμμική συνάρτηση του μέσου όρου των ορισμάτων.

Απόδειξη. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα πρόσθεσης m.o. και τον κανόνα της αφαίρεσης μιας μη τυχαίας μεταβλητής από το πρόσημο του μ. ο., παίρνουμε:

.

7. Διασκεπαυτό το άθροισμα τυχαίων μεταβλητών

Η διακύμανση του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των αποκλίσεων τους συν το διπλάσιο της ροπής συσχέτισης:

Απόδειξη. Σημαίνω

Σύμφωνα με το θεώρημα πρόσθεσης των μαθηματικών προσδοκιών

Ας περάσουμε από τις τυχαίες μεταβλητές στις αντίστοιχες κεντραρισμένες μεταβλητές. Αφαιρώντας όρο προς όρο από την ισότητα (10.2.8) ισότητα (10.2.9), έχουμε:

Εξ ορισμού της διακύμανσης

Q.E.D.

Ο τύπος (10.2.7) για τη διακύμανση του αθροίσματος μπορεί να γενικευτεί σε οποιονδήποτε αριθμό όρων:

, (10.2.10)

όπου είναι η ροπή συσχέτισης των τιμών, το πρόσημο κάτω από το άθροισμα σημαίνει ότι το άθροισμα ισχύει για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς τυχαίων μεταβλητών ανά ζεύγη .

Η απόδειξη είναι παρόμοια με την προηγούμενη και προκύπτει από τον τύπο για το τετράγωνο ενός πολυωνύμου.

Ο τύπος (10.2.10) μπορεί να γραφτεί με άλλη μορφή:

, (10.2.11)

όπου το διπλό άθροισμα εκτείνεται σε όλα τα στοιχεία του πίνακα συσχέτισης του συστήματος των μεγεθών , που περιέχει τόσο ροπές συσχέτισης όσο και διακυμάνσεις.

Αν όλες οι τυχαίες μεταβλητές , που περιλαμβάνονται στο σύστημα, δεν συσχετίζονται (δηλαδή, στο ), ο τύπος (10.2.10) έχει τη μορφή:

, (10.2.12)

δηλ. η διακύμανση του αθροίσματος των μη συσχετισμένων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων των όρων.

Αυτή η πρόταση είναι γνωστή ως θεώρημα προσθήκης διασποράς.

8. Διασπορά γραμμικής συνάρτησης

Θεωρήστε μια γραμμική συνάρτηση πολλών τυχαίων μεταβλητών.

όπου υπάρχουν μη τυχαίες μεταβλητές.

Ας αποδείξουμε ότι η διασπορά αυτής της γραμμικής συνάρτησης εκφράζεται με τον τύπο

, (10.2.13)

όπου είναι η ροπή συσχέτισης των μεγεθών , .

Απόδειξη. Ας εισάγουμε τη σημειογραφία:

. (10.2.14)

Εφαρμόζοντας τον τύπο (10.2.10) για τη διακύμανση του αθροίσματος στη δεξιά πλευρά της παράστασης (10.2.14) και λαμβάνοντας υπόψη ότι , παίρνουμε:

πού είναι η ροπή συσχέτισης των μεγεθών:

.

Ας υπολογίσουμε αυτή τη στιγμή. Εχουμε:

;

επίσης

Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση σε (10.2.15), φτάνουμε στον τύπο (10.2.13).

Στη συγκεκριμένη περίπτωση που όλες οι ποσότητες μη συσχετισμένος, ο τύπος (10.2.13) έχει τη μορφή:

, (10.2.16)

δηλ. η διακύμανση μιας γραμμικής συνάρτησης ασύνδετων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων των τετραγώνων των συντελεστών και των διακυμάνσεων των αντίστοιχων ορισμάτων.

9. Μαθηματική προσδοκία του γινομένου τυχαίων μεταβλητών

Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους συν τη ροπή συσχέτισης:

Απόδειξη. Θα προχωρήσουμε από τον ορισμό της ροπής συσχέτισης:

Μετασχηματίζουμε αυτήν την έκφραση χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας:

που είναι προφανώς ισοδύναμο με τον τύπο (10.2.17).

Εάν οι τυχαίες μεταβλητές δεν είναι συσχετισμένες, τότε ο τύπος (10.2.17) παίρνει τη μορφή:

Δηλαδή, ο μέσος όρος του γινομένου δύο μη συσχετισμένων τυχαίων μεταβλητών είναι ίσος με το γινόμενο του μέσου όρου τους.

Αυτή η δήλωση είναι γνωστή ως θεώρημα πολλαπλασιασμού προσδοκιών.

Ο τύπος (10.2.17) δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια έκφραση της δεύτερης μικτής κεντρικής ροπής του συστήματος από την άποψη της δεύτερης μικτής αρχικής ροπής και των μαθηματικών προσδοκιών:

. (10.2.19)

Αυτή η έκφραση χρησιμοποιείται συχνά στην πράξη κατά τον υπολογισμό της ροπής συσχέτισης με τον ίδιο τρόπο που για μια τυχαία μεταβλητή η διακύμανση υπολογίζεται συχνά μέσω της δεύτερης αρχικής στιγμής και της μαθηματικής προσδοκίας.

Το θεώρημα του πολλαπλασιασμού προσδοκίας μπορεί επίσης να γενικευτεί σε έναν αυθαίρετο αριθμό παραγόντων, μόνο που σε αυτή την περίπτωση για την εφαρμογή του δεν αρκεί να μην είναι συσχετισμένα τα μεγέθη, αλλά απαιτείται να εξαφανιστούν και ορισμένες υψηλότερες μικτές ροπές, ο αριθμός των οποίων εξαρτάται από τον αριθμό των όρων στο προϊόν. Αυτές οι προϋποθέσεις βεβαίως ικανοποιούνται εάν οι τυχαίες μεταβλητές που περιλαμβάνονται στο προϊόν είναι ανεξάρτητες. Σε αυτήν την περίπτωση

, (10.2.20)

δηλ. η μαθηματική προσδοκία του γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.

Αυτή η πρόταση μπορεί εύκολα να αποδειχθεί με πλήρη επαγωγή.

10. Διασπορά του γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών

Ας το αποδείξουμε αυτό για ανεξάρτητες ποσότητες

Απόδειξη. Ας υποδηλώσουμε . Εξ ορισμού της διακύμανσης

Δεδομένου ότι οι ποσότητες είναι ανεξάρτητες, και

Για ανεξάρτητες, οι ποσότητες είναι επίσης ανεξάρτητες. Συνεπώς,

,

Αλλά δεν υπάρχει τίποτα άλλο από τη δεύτερη αρχική στιγμή της ποσότητας και, επομένως, εκφράζεται ως προς τη διακύμανση:

;

επίσης

.

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις με τον τύπο (10.2.22) και φέρνοντας παρόμοιους όρους, φτάνουμε στον τύπο (10.2.21).

Στην περίπτωση που πολλαπλασιάζονται κεντραρισμένες τυχαίες μεταβλητές (τιμές με μαθηματικές προσδοκίες ίσες με μηδέν), ο τύπος (10.2.21) παίρνει τη μορφή:

, (10.2.23)

δηλ. η διακύμανση του γινομένου των ανεξάρτητων κεντραρισμένων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των διακυμάνσεων τους.

11. Μεγαλύτερες ροπές του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών

Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι απαραίτητος ο υπολογισμός των υψηλότερων ροπών του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών. Ας αποδείξουμε κάποιες σχετικές σχέσεις.

1) Αν οι ποσότητες είναι ανεξάρτητες, τότε

Απόδειξη.

από όπου με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού της προσδοκίας

Αλλά η πρώτη κεντρική στιγμή για οποιαδήποτε ποσότητα είναι μηδέν. εξαφανίζονται δύο μεσαίοι όροι και αποδεικνύεται ο τύπος (10.2.24).

Η σχέση (10.2.24) μπορεί εύκολα να γενικευτεί με επαγωγή σε έναν αυθαίρετο αριθμό ανεξάρτητων όρων:

. (10.2.25)

2) Η τέταρτη κεντρική ροπή του αθροίσματος δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών εκφράζεται με τον τύπο

πού είναι οι διασπορές των και .

Η απόδειξη είναι ακριβώς η ίδια με την προηγούμενη.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της πλήρους επαγωγής, είναι εύκολο να αποδειχθεί η γενίκευση του τύπου (10.2.26) σε έναν αυθαίρετο αριθμό ανεξάρτητων όρων.

Βασικά αριθμητικά χαρακτηριστικά διακριτών και συνεχών τυχαίων μεταβλητών: μαθηματική προσδοκία, διακύμανση και τυπική απόκλιση. Οι ιδιότητες και τα παραδείγματα τους.

Ο νόμος κατανομής (συνάρτηση κατανομής και σειρά διανομής ή πυκνότητα πιθανότητας) περιγράφει πλήρως τη συμπεριφορά μιας τυχαίας μεταβλητής. Αλλά σε μια σειρά προβλημάτων αρκεί να γνωρίζουμε ορισμένα αριθμητικά χαρακτηριστικά της υπό μελέτη ποσότητας (για παράδειγμα, η μέση τιμή της και πιθανή απόκλιση από αυτήν) για να απαντήσουμε στο ερώτημα που τίθεται. Εξετάστε τα κύρια αριθμητικά χαρακτηριστικά των διακριτών τυχαίων μεταβλητών.

Ορισμός 7.1.μαθηματική προσδοκίαΜια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι το άθροισμα των γινομένων των πιθανών τιμών της και των αντίστοιχων πιθανοτήτων τους:

Μ(Χ) = Χ 1 R 1 + Χ 2 R 2 + … + x p r p(7.1)

Εάν ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής είναι άπειρος, τότε εάν η σειρά που προκύπτει συγκλίνει απόλυτα.

Παρατήρηση 1.Η μαθηματική προσδοκία ονομάζεται μερικές φορές σταθμισμένος μέσος όρος, αφού είναι περίπου ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των παρατηρούμενων τιμών της τυχαίας μεταβλητής για μεγάλο αριθμό πειραμάτων.

Παρατήρηση 2.Από τον ορισμό της μαθηματικής προσδοκίας, προκύπτει ότι η τιμή της δεν είναι μικρότερη από τη μικρότερη δυνατή τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής και όχι μεγαλύτερη από τη μεγαλύτερη.

Παρατήρηση 3.Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι μη τυχαία(συνεχής. Αργότερα θα δούμε ότι το ίδιο ισχύει και για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

Παράδειγμα 1. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χ- τον αριθμό των τυπικών ανταλλακτικών μεταξύ τριών επιλεγμένων από μια παρτίδα 10 εξαρτημάτων, συμπεριλαμβανομένων 2 ελαττωματικών. Ας συνθέσουμε μια σειρά διανομής για Χ. Από την κατάσταση του προβλήματος προκύπτει ότι Χμπορεί να πάρει τις τιμές 1, 2, 3. Στη συνέχεια

Παράδειγμα 2. Ορίστε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χ- τον αριθμό των ρίψεων νομισμάτων μέχρι την πρώτη εμφάνιση του οικόσημου. Αυτή η ποσότητα μπορεί να πάρει έναν άπειρο αριθμό τιμών (το σύνολο των πιθανών τιμών είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών). Η σειρά διανομής του έχει τη μορφή:

Χ			…	Π	…
R	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)Π	…

+ (κατά τον υπολογισμό, ο τύπος για το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου χρησιμοποιήθηκε δύο φορές: , από όπου ).

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας.

1) Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθεράς είναι ίση με την ίδια τη σταθερά:

Μ(ΑΠΟ) = ΑΠΟ.(7.2)

Απόδειξη. Αν αναλογιστούμε ΑΠΟως διακριτή τυχαία μεταβλητή που παίρνει μόνο μία τιμή ΑΠΟμε πιθανότητα R= 1, λοιπόν Μ(ΑΠΟ) = ΑΠΟ?1 = ΑΠΟ.

2) Ένας σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της προσδοκίας:

Μ(SH) = ΕΚ(Χ). (7.3)

Απόδειξη. Αν η τυχαία μεταβλητή Χδίνεται από τη σειρά διανομής

Επειτα Μ(SH) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p r p = ΑΠΟ(Χ 1 R 1 + Χ 2 R 2 + … + x p r p) = ΕΚ(Χ).

Ορισμός 7.2.Καλούνται δύο τυχαίες μεταβλητές ανεξάρτητος, εάν ο νόμος κατανομής ενός από αυτούς δεν εξαρτάται από τις τιμές που έχει λάβει ο άλλος. Διαφορετικά τυχαίες μεταβλητές εξαρτώμενος.

Ορισμός 7.3.Ας καλέσουμε γινόμενο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών Χκαι Υ τυχαία μεταβλητή XY, των οποίων οι πιθανές τιμές είναι ίσες με τα γινόμενα όλων των πιθανών τιμών Χγια όλες τις πιθανές τιμές Υ, και οι πιθανότητες που αντιστοιχούν σε αυτές είναι ίσες με τα γινόμενα των πιθανοτήτων των παραγόντων.

3) Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:

Μ(XY) = Μ(Χ)Μ(Υ). (7.4)

Απόδειξη. Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, περιοριζόμαστε στην περίπτωση όταν Χκαι Υπάρτε μόνο δύο πιθανές τιμές:

Συνεπώς, Μ(XY) = Χ 1 y 1 ?Π 1 σολ 1 + Χ 2 y 1 ?Π 2 σολ 1 + Χ 1 y 2 ?Π 1 σολ 2 + Χ 2 y 2 ?Π 2 σολ 2 = y 1 σολ 1 (Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2) + + y 2 σολ 2 (Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2) = (y 1 σολ 1 + y 2 σολ 2) (Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2) = Μ(Χ)?Μ(Υ).

Παρατήρηση 1.Ομοίως, μπορεί κανείς να αποδείξει αυτή την ιδιότητα για περισσότερες πιθανές τιμές παραγόντων.

Παρατήρηση 2.Η ιδιότητα 3 ισχύει για το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, το οποίο αποδεικνύεται με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.

Ορισμός 7.4.Ας ορίσουμε άθροισμα τυχαίων μεταβλητών Χκαι Υ ως τυχαία μεταβλητή Χ + Υ, των οποίων οι πιθανές τιμές είναι ίσες με τα αθροίσματα κάθε πιθανής τιμής Χμε κάθε δυνατή τιμή Υ; οι πιθανότητες τέτοιων ποσών είναι ίσες με τα γινόμενα των πιθανοτήτων των όρων (για εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές - τα γινόμενα της πιθανότητας ενός όρου με την υπό όρους πιθανότητα του δεύτερου).

4) Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών (εξαρτημένων ή ανεξάρτητων) είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων:

Μ (Χ+Υ) = Μ (Χ) + Μ (Υ). (7.5)

Απόδειξη.

Εξετάστε ξανά τις τυχαίες μεταβλητές που δίνονται από τη σειρά κατανομής που δίνεται στην απόδειξη της ιδιότητας 3. Στη συνέχεια, οι πιθανές τιμές Χ+Υείναι Χ 1 + στο 1 , Χ 1 + στο 2 , Χ 2 + στο 1 , Χ 2 + στο 2. Να χαρακτηρίσετε τις πιθανότητες τους αντίστοιχα ως R 11 , R 12 , R 21 και R 22. Ας βρούμε Μ(Χ+Υ) = (Χ 1 + y 1)Π 11 + (Χ 1 + y 2)Π 12 + (Χ 2 + y 1)Π 21 + (Χ 2 + y 2)Π 22 =

= Χ 1 (Π 11 + Π 12) + Χ 2 (Π 21 + Π 22) + y 1 (Π 11 + Π 21) + y 2 (Π 12 + Π 22).

Ας το αποδείξουμε R 11 + R 22 = Rένας . Πράγματι, το γεγονός που Χ+Υθα πάρει τις αξίες Χ 1 + στο 1 ή Χ 1 + στο 2 και του οποίου η πιθανότητα είναι R 11 + R 22 συμπίπτει με το γεγονός που Χ = Χ 1 (η πιθανότητα είναι Rένας). Ομοίως, αποδεικνύεται ότι Π 21 + Π 22 = R 2 , Π 11 + Π 21 = σολ 1 , Π 12 + Π 22 = σολ 2. Που σημαίνει,

Μ(Χ+Υ) = Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2 + y 1 σολ 1 + y 2 σολ 2 = Μ (Χ) + Μ (Υ).

Σχόλιο. Η ιδιότητα 4 υποδηλώνει ότι το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού τυχαίων μεταβλητών είναι ίσο με το άθροισμα των αναμενόμενων τιμών των όρων.

Παράδειγμα. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος του αριθμού των πόντων που ρίχνονται όταν ρίχνετε πέντε ζάρια.

Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των πόντων που έπεσαν κατά την ρίψη ενός ζαριού:

Μ(Χ 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Ο ίδιος αριθμός είναι ίσος με τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των σημείων που έπεσαν σε οποιοδήποτε ζάρι. Επομένως, κατά ιδιοκτησία 4 Μ(Χ)=

Διασπορά.

Για να έχουμε μια ιδέα για τη συμπεριφορά μιας τυχαίας μεταβλητής, δεν αρκεί να γνωρίζουμε μόνο τις μαθηματικές προσδοκίες της. Εξετάστε δύο τυχαίες μεταβλητές: Χκαι Υ, που δίνεται από τη σειρά διανομής της φόρμας

Χ
R	0,1	0,8	0,1

Υ
Π	0,5	0,5

Ας βρούμε Μ(Χ) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, Μ(Υ) \u003d 0? 0,5 ​​+ 100? 0,5 ​​\u003d 50. Όπως μπορείτε να δείτε, οι μαθηματικές προσδοκίες και των δύο ποσοτήτων είναι ίσες, αλλά αν για HM(Χ) περιγράφει καλά τη συμπεριφορά μιας τυχαίας μεταβλητής, καθώς είναι η πιο πιθανή δυνατή τιμή της (επιπλέον, οι υπόλοιπες τιμές διαφέρουν ελαφρώς από το 50), στη συνέχεια οι τιμές Υαποκλίνουν σημαντικά από Μ(Υ). Επομένως, μαζί με τη μαθηματική προσδοκία, είναι επιθυμητό να γνωρίζουμε πόσο αποκλίνουν από αυτήν οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής. Η διασπορά χρησιμοποιείται για τον χαρακτηρισμό αυτού του δείκτη.

Ορισμός 7.5.Διασπορά (σκέδαση)τυχαία μεταβλητή ονομάζεται η μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της απόκλισής της από τη μαθηματική της προσδοκία:

ρε(Χ) = Μ (X-M(Χ))². (7.6)

Βρείτε τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ(αριθμός τυπικών εξαρτημάτων μεταξύ αυτών που επιλέχθηκαν) στο παράδειγμα 1 αυτής της διάλεξης. Ας υπολογίσουμε τις τιμές της τετραγωνικής απόκλισης κάθε πιθανής τιμής από τη μαθηματική προσδοκία:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Συνεπώς,

Παρατήρηση 1.Στον ορισμό της διακύμανσης, δεν αξιολογείται η απόκλιση από τον ίδιο τον μέσο όρο, αλλά το τετράγωνό του. Αυτό γίνεται έτσι ώστε οι αποκλίσεις των διαφορετικών ζωδίων να μην αντισταθμίζουν η μία την άλλη.

Παρατήρηση 2.Από τον ορισμό της διασποράς προκύπτει ότι αυτή η ποσότητα παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές.

Παρατήρηση 3.Υπάρχει ένας πιο βολικός τύπος για τον υπολογισμό της διακύμανσης, η εγκυρότητα του οποίου αποδεικνύεται στο ακόλουθο θεώρημα:

Θεώρημα 7.1.ρε(Χ) = Μ(Χ²) - Μ²( Χ). (7.7)

Απόδειξη.

Χρησιμοποιώντας τι Μ(Χ) είναι μια σταθερή τιμή και οι ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας, μετατρέπουμε τον τύπο (7.6) στη μορφή:

ρε(Χ) = Μ(X-M(Χ))² = Μ(Χ² - 2 X?M(Χ) + Μ²( Χ)) = Μ(Χ²) - 2 Μ(Χ)?Μ(Χ) + Μ²( Χ) =

= Μ(Χ²) - 2 Μ²( Χ) + Μ²( Χ) = Μ(Χ²) - Μ²( Χ), που έπρεπε να αποδειχθεί.

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε τις διακυμάνσεις των τυχαίων μεταβλητών Χκαι Υπου συζητήθηκε στην αρχή αυτής της ενότητας. Μ(Χ) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

Μ(Υ) \u003d (0 2? 0,5 ​​+ 100²; 0,5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Άρα, η διασπορά της δεύτερης τυχαίας μεταβλητής είναι αρκετές χιλιάδες φορές μεγαλύτερη από τη διασπορά της πρώτης. Έτσι, ακόμη και χωρίς να γνωρίζουμε τους νόμους κατανομής αυτών των ποσοτήτων, σύμφωνα με τις γνωστές τιμές της διασποράς, μπορούμε να πούμε ότι Χαποκλίνει ελάχιστα από τη μαθηματική προσδοκία του, ενώ για Υαυτή η απόκλιση είναι πολύ σημαντική.

Ιδιότητες διασποράς.

1) Σταθερά διασποράς ΑΠΟισούται με μηδέν:

ρε (ντο) = 0. (7.8)

Απόδειξη. ρε(ντο) = Μ((ΕΚ(ντο))²) = Μ((Γ-Γ)²) = Μ(0) = 0.

2) Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς τον:

ρε(CX) = ντο² ρε(Χ). (7.9)

Απόδειξη. ρε(CX) = Μ((CX-M(CX))²) = Μ((CX-CM(Χ))²) = Μ(ντο²( X-M(Χ))²) =

= ντο² ρε(Χ).

3) Η διακύμανση του αθροίσματος δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεών τους:

ρε(Χ+Υ) = ρε(Χ) + ρε(Υ). (7.10)

Απόδειξη. ρε(Χ+Υ) = Μ(Χ² + 2 XY + Υ²) - ( Μ(Χ) + Μ(Υ))² = Μ(Χ²) + 2 Μ(Χ)Μ(Υ) +

+ Μ(Υ²) - Μ²( Χ) - 2Μ(Χ)Μ(Υ) - Μ²( Υ) = (Μ(Χ²) - Μ²( Χ)) + (Μ(Υ²) - Μ²( Υ)) = ρε(Χ) + ρε(Υ).

Συνέπεια 1.Η διακύμανση του αθροίσματος πολλών αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεών τους.

Συνέπεια 2.Η διακύμανση του αθροίσματος μιας σταθεράς και μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής.

4) Η διακύμανση της διαφοράς δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεών τους:

ρε(Χ-Υ) = ρε(Χ) + ρε(Υ). (7.11)

Απόδειξη. ρε(Χ-Υ) = ρε(Χ) + ρε(-Υ) = ρε(Χ) + (-1)² ρε(Υ) = ρε(Χ) + ρε(Χ).

Η διακύμανση δίνει τη μέση τιμή της τετραγωνικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή. η εκτίμηση της ίδιας της απόκλισης είναι μια τιμή που ονομάζεται τυπική απόκλιση.

Ορισμός 7.6.Τυπική απόκλισησ τυχαία μεταβλητή Χονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:

Παράδειγμα. Στο προηγούμενο παράδειγμα, οι τυπικές αποκλίσεις Χκαι Υίσα αντίστοιχα

Κάθε μεμονωμένη τιμή καθορίζεται πλήρως από τη συνάρτηση διανομής της. Επίσης, για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, αρκεί να γνωρίζουμε πολλά αριθμητικά χαρακτηριστικά, χάρη στα οποία καθίσταται δυνατή η παρουσίαση των κύριων χαρακτηριστικών μιας τυχαίας μεταβλητής σε συνοπτική μορφή.

Αυτές οι ποσότητες είναι κατά κύριο λόγο αναμενόμενη αξίακαι διασπορά .

Αναμενόμενη αξία- η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής στη θεωρία πιθανοτήτων. Ορίζεται ως .

Με τον απλούστερο τρόπο, η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής X(w), βρίσκονται ως αναπόσπαστοLebesgueως προς το μέτρο πιθανότητας R πρωτότυπο χώρο πιθανοτήτων

Μπορείτε επίσης να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τιμής ως Ολόκληρο Lebesgueαπό Χμε κατανομή πιθανοτήτων R Xποσότητες Χ:

όπου είναι το σύνολο όλων των πιθανών τιμών Χ.

Μαθηματική προσδοκία συναρτήσεων από τυχαία μεταβλητή Χγίνεται μέσω διανομής R X. Για παράδειγμα, αν Χ- τυχαία μεταβλητή με τιμές σε και f(x)- μονοσήμαντο Μπορέλλειτουργία Χ , έπειτα:

Αν ένα F(x)- συνάρτηση διανομής Χ, τότε η μαθηματική προσδοκία είναι αναπαραστάσιμη αναπόσπαστοLebesgue - Stieltjes (ή Riemann - Stieltjes):

ενώ η ενσωμάτωση ΧΜε ποια έννοια ( * ) αντιστοιχεί στο πεπερασμένο του ολοκληρώματος

Σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, εάν Χέχει διακριτή κατανομή με πιθανές τιμές x k, k=1, 2, . , και οι πιθανότητες, λοιπόν

αν Χέχει απόλυτα συνεχή κατανομή με πυκνότητα πιθανότητας p(x), έπειτα

Στην περίπτωση αυτή, η ύπαρξη μαθηματικής προσδοκίας ισοδυναμεί με την απόλυτη σύγκλιση της αντίστοιχης σειράς ή ολοκληρώματος.

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας μιας τυχαίας μεταβλητής.

• Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με αυτήν την τιμή:

ντο- σταθερό

• M=C.M[X]

• Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαία λαμβανόμενων τιμών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους:

• Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών = το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:

M=M[X]+M[Y]

αν Χκαι Υανεξάρτητος.

αν η σειρά συγκλίνει:

Αλγόριθμος για τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας.

Ιδιότητες διακριτών τυχαίων μεταβλητών: όλες οι τιμές τους μπορούν να επαναριθμηθούν με φυσικούς αριθμούς. εξισώστε κάθε τιμή με μη μηδενική πιθανότητα.

1. Πολλαπλασιάστε τα ζεύγη με τη σειρά: x iστο πι.

2. Προσθέστε το γινόμενο κάθε ζεύγους x i p i.

Για παράδειγμα, Για n = 4 :

Συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςσταδιακά, αυξάνεται απότομα σε εκείνα τα σημεία των οποίων οι πιθανότητες έχουν θετικό πρόσημο.

Παράδειγμα:Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία με τον τύπο.