Проекция геометрического объекта на одну плоскость, рассмотренная нами ранее, не дает полного и однозначного представления о форме геометрического объекта. Поэтому рассмотрим проецирование хотя бы на две взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 1.2), одна из которых расположена горизонтально, а другая вертикально.
Несмотря на наглядность, с чертежом, изображенным на рис 1.2, а работать неудобно, т.к. горизонтальная плоскость на нем показана с искажением. Удобнее выполнять различные построения на чертеже, где плоскости проекций расположены в одной плоскости, а именно, плоскости чертежа. Для этого надо горизонтальную плоскость развернуть вокруг оси ОХ на 90 и совместить с фронтальной так, чтобы передняя пола горизонтальной плоскости ушла вниз, а задняя вверх. Этот метод предложил Г. Монж.
Рис. 1.2. Построение эпюра Монжа:
а) пространственная картина расположения проекций точки А; б) плоскостная картина расположения проекций точки А.
Поэтому чертеж, полученный таким образом (рис. 1.2, б), называется эпюром Монжа или комплексным чертежом.
Обычно двух проекций недостаточно, чтобы составить полное представление о рассматриваемом геометрическом объекте. Поэтому предлагается ввести третью плоскость проекций, ортогональную первым двум (рис.1. 3, а).
Рис. 1.3. Построение трехкартинного комплексного чертежа (эпюра Монжа):
а) пространственная модель плоскостей проекций; б) трехкартинный комплексный чертеж.
Тогда плоскость П 1 называется горизонтальной плоскостью проекций, П 2 - фронтальной плоскостью проекций (т.к. она расположена перед нами по фронту), П 3 - профильной плоскостью проекций (расположена в профиль по отношению к наблюдателю). Соответственно А 1 - горизонтальная проекция точки А , А 2 - фронтальная проекция точки А, А 3 - профильная проекция точки А .
Оси ОХ, О Y , OZ называются осями проекций. Они аналогичны координатным осям декартовой системы координат с той лишь разницей, что ось ОХ имеет положительное направление не вправо, а влево. Теперь, чтобы получить проекции в одной плоскости (плоскости чертежа) необходимо и профильную плоскость проекций развернуть до совмещения с фронтальной. Для этого ее нужно развернуть на 90 вокруг оси OZ , причем переднюю полу плоскости развернем вправо, а заднюю влево. В результате получим трехкартинный комплексный чертеж (эпюр Монжа), показанный на рис. 1.3, б. Так как ось О Y разворачивается вместе с двумя плоскостями П 1 и П 3 , то на комплексном чертеже ее изображают дважды.
Из этого следует важное правило взаимосвязи проекций. А именно, исходя из рис. 1.3, а, в математической форме его можно записать в виде: А 1 А x = ОА y = А z А 3 . Следовательно, в текстологическом виде оно звучит так: расстояние от горизонтальной проекции точки до оси ОХ равно расстоянию от профильной проекции указанной точки до оси О Z . Тогда по двум любым проекциям точки можно построить третью. Горизонтальную и фронтальную проекции точки А связывает вертикальная линия связи, а фронтальную и профильную проекции – горизонтальная.
В связи с тем, что комплексный чертеж представляет собой свернутую в плоскости модель пространства, на нем нельзя изобразить проецируемую точку (за исключением случаев, когда ее положение совпадает с одной из проекций). Исходя из этого, следует иметь в виду, что на комплексном чертеже мы оперируем не самими геометрическими объектами, а их проекциями.
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ
по дисциплине «Инженерная графика» 1 семестр
для студентов заочной формы обучения
полная и сокращенная программы
Волгодонск 2013
1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ... 3
2. ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ.. 7
3. ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ.. 16
4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧЕРТЕЖА.. 29
5. ПОВЕРХНОСТИ.. 33
6. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ.. 50
1. Методы ПРОЕЦИРОВАНИЯ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ
Введение. Цель и задачи курса
В математическом энциклопедическом словаре дается следующее определение: «Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором пространственные фигуры, а также методы решения и исследования пространственных задач изучаются с помощью их изображений на плоскости».
Методы начертательной геометрии являются теоретической базой для решения задач технического черчения. В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне исследовать предметы и их отдельные детали. Для того чтобы правильно выразить свои мысли с помощью рисунка, эскиза, чертежа требуется знание теоретических основ построения изображений геометрических объектов, их многообразие и отношения между ними, что и составляет предмет начертательной геометрии.
Методы прямоугольного проецирования на две и три
Взаимно перпендикулярные плоскости проекций.
Проекции точки, комплексный чертеж.
Метод Монжа, комплексный чертеж.
Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным . Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гг. одним из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.
Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа "Geometrie descriptive".
Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.
В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.6). Одну из плоскостей проекций П 1 располагают горизонтально, а вторую П 2 - вертикально. П 1 - горизонтальная плоскость проекций, П 2 - фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.
Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.
Эпюра монжа или комплексный чертеж — это чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры.
Пользоваться пространственным макетом для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду его громоздкости, а также из-за того, что при его переносе на лист бумаги, на плоскостях H и W происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры.
Поэтому вместо изображения на чертеже пространственного макета используется эпюра Монжа.
Эпюра Монжа получается преобразованием пространственного макета путем совмещения плоскостей H и W с фронтальной плоскостью проекций V:
— для совмещения плоскости H с V поворачиваем ее на 90 градусов вокруг оси x в направлении движения часовой стрелки. На рисунке, для наглядности, плоскость H
повернута на угол чуть меньший 90 градусов, при этом ось y
, принадлежащая горизонтальной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью z
;
— после совмещения горизонтальной плоскости, поворачиваем вокруг оси z
также на угол 90 градусов профильную плоскость в направлении противоположном движению часовой стрелки. При этом ось y
, принадлежащая профильной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью x
.
После преобразования пространственный макет примет вид, показанный на рисунке. На этом рисунке указана также последовательность взаимного положения пол плоскостей проекций, так запись V указывает, что в этой части эпюра Монжа (ограниченного положительным направлением осей x и z ) ближе к нам находится верхняя левая пола фронтальной плоскости проекции V , за ней располагается задняя левая пола горизонтальной плоскости проекции H , далее следует верхняя задняя пола профильной плоскости W .
Так как плоскости не имеют границ, то в совмещенном положении (на эпюре) эти границы не показывают, нет необходимости оставлять надписи, указывающие положение пол плоскостей проекций. Излишне также напоминать, где отрицательное направление координатных осей. Тогда, в окончательном виде эпюра Монжа, заменяющая чертеж пространственного макета примет вид, показанный на рисунке. 
Эпюра Монжа может быть выполнена с помощью:
— обычных чертежных инструментов и приспособлений:
Чертежные инструменты;
Чертежные принадлежности и приборы;
— Программы для построения (рисования) эпюра Монжа: Выполнение чертежа в графическом редакторе.
В качестве примера оформления эпюра Монжа предлагаем решение задачи на построение равнобедренного прямоугольного треугольника ABC:
— в черном цвете отображается известное по условию задачи;
— в зеленом цвете отображаются все построения которые ведут к решению задачи;
— в красном цвете отображается найденные искомые задачи.
По условию задачи заданы проекции треугольника ABC(A`B`C`, A»B»…»). Для решения задачи необходимо найти недостающую проекцию C».
Метод Монжа, комплексный чертеж.
Проекции точки, комплексный чертеж.
Взаимно перпендикулярные плоскости проекций.
Методы прямоугольного проецирования на две и три
Свойства ортогонального проецирования
Основными и неизменными свойствами (инвариантами) ортогонального проецирования являются следующие:
1) проекция точки – точка;
2) проекция прямой – в общем случае прямая; если направления проецирования совпадает с направлением прямой, то проекция последней – точка;
3) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.
4) проекции параллельных прямых параллельны между собой;
5) отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;
6) отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций;
7) проекцией точки пересечения двух прямых является точка пересечения проекций этих прямых;
8) если прямая или плоская фигура параллельны плоскости проекций, то на эту плоскость они проецируются без искажения;
9) если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.
В случае если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным . Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гᴦ. одним из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.
Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа "Geometrie descriptive".
Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.
В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.6). Одну из плоскостей проекций П 1 располагают горизонтально, а вторую П 2 - вертикально. П 1 - горизонтальная плоскость проекций, П 2 - фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.
Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.
| Рисунок 6. Пространственная модель двух плоскостей проекций | Линия пересечения плоскостей проекций принято называть осью координат и обозначается x 21 . Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти. Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П 1 совмещают вращением вокруг оси x 12 с плоскостью П 2 (рис.6).Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, принято называть эпюром Монжа (франц. Epure – чертеж.) или комплексным чертежом. |
Метод Монжа, комплексный чертеж. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Метод Монжа, комплексный чертеж." 2017, 2018.
ВВЕДЕНИЕ.......................................................................................................4
1 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.....................4
2 ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ..................................................................5
3 ТЕМА 1 КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ МОНЖА(точка, прямая) .......6
3.1 Комплексный чертёж точки. ........ .............................................................6
Упражнения. ......................................................................................................6
Задачи. ................................................................................................................7
Примеры решения задач…………………………………..............................8
Тесты самоконтроля знаний………………………………..........................10
3.2 Комплексный чертеж прямой..................................................................11
Упражнения. .....................................................................................................11
Задачи. ...............................................................................................................12
Примеры решения задач………………………………….............................13
Тесты самоконтроля знаний……………………………...............................15
4 ТЕМА 2 КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ МОНЖА (ПЛОСКОСТЬ)......17 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
4.1 Комплексный чертёж плоскости............................................................17
Упражнения. …………….................................................................................17
Задачи. …...........................................................................................................19
Примеры решения задач…………………………………….........................21
Тесты самоконтроля знаний………………………………….......................21
4.2 Перпендикулярность прямых и плоскостей...........................................23
Упражнения. .....................................................................................................23
Задачи. …...........................................................................................................24
Примеры решения задач…………………………………….........................25
Тесты самоконтроля знаний………………………………….......................26
5 ТЕМА 3 Взаимное положение прямых И ПЛОСКОСТЕЙ
Упражнения. .....................................................................................................27
Задачи. ...............................................................................................................29
Примеры решения задач. .................................................................................30
Тесты самоконтроля знаний………………………………….......................31
6 ТЕМА 4 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА.......................33
Упражнения. .....................................................................................................33
Задачи...............................................................................................................34
Примеры решения задач. ................................................................................36
Тесты самоконтроля знаний…………………………………......................38
7 ТЕМА 5 МНОГОГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ....................................40
Упражнения. .....................................................................................................40
Задачи. ...............................................................................................................41
Примеры решения задач. .................................................................................43
Тесты самоконтроля знаний...........................................................................44
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………..................................47
ПРИЛОЖЕНИЕ .................................................................................................47
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие предназначено для лабораторных занятий по начертательной геометрии для студентов факультета землеустройства и лесного хозяйства (направления: 250700 - Ландшафтная архитектура, 250100 - Лесное дело).
Пособие используется студентами при самостоятельной подготовке к очередному занятию. Для этого он должен:
Изучить теоретический материал по заданной теме и ответить на вопросы самоконтроля;
Выполнить упражнения по заданной теме.
В начале занятия преподаватель проверяет теоретическую подготовку студентов и решение упражнений по заданной теме. В конце каждой темы рассматриваются примеры решения типовых задач . Приступая к решению упражнений новой темы, полезно ознакомиться с соответствующим примером и следовать ему в оформлении чертежа.
Пособие может быть использовано студентами также и для самоконтроля полученных знаний по тестам , приведенным в пособии после примеров решения типовых задач. Для этого он должен:
После каждого занятия ответить на тесты самоконтроля знаний, а по приведенным в приложении пособия ответам проверить правильность своих знаний.
В процессе работы с пособием студенты учатся практическим приемам, применяемым при решении задач, что позволяет им выработать навыки и умения самостоятельного их решения. По мере накопления этого опыта студенты начинают мыслить самостоятельно на профессиональном уровне, развивая при этом пространственное и логическое мышление.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ И
ОФОРМЛЕНИЮ ЗАДАЧ
При решении задач необходимо руководствоваться следующими рекомендациями:
1. По данным проекциям геометрических фигур, составляющим исходные данные задачи, представить их форму и взаимное расположение в пространстве как по отношению друг к другу, так и относительно плоскостей проекций.
2. Наметить «пространственный» план решения задачи. На этой стадии решения следует обращаться к теоремам из курса элементарной геометрии разделы «Планиметрия» и «Стереометрия», а также к теоретическому материалу в учебниках и лекциях.
3. Определить алгоритм решения задачи, кратко записать последовательность графических построений, используя принятые обозначения.
4. Приступить к геометрическим построениям.
При графическом решении задачи точность ответа зависит не только от выбора правильного пути её решения, но и от точности выполнения геометрических построений. Поэтому, решая задачу, необходимо пользоваться чертёжными инструментами. Задачи должны решаться в отдельной тетради в клетку для лабораторных занятий. Тип и толщина линий выполняются в соответствии с ГОСТ 2.303-68 ЕСКД. Построения выполняются карандашом. Для облегчения чтения чертежа, получающегося в процессе решения, целесообразно применять цветные карандаши: заданные элементы обводятся черным цветом, вспомогательные построения – синим, искомые элементы – красным. Эту же цель преследует обязательное обозначение всех точек и линий. При этом обозначение следует делать в процессе решения задачи сразу после проведения линии или определения точки пересечения линий. Надписи и буквенные обозначения выполнять стандартным шрифтом в соответствии с ГОСТ 2.304-84 ЕСКД.
Тетрадь с решенными задачами предъявляется преподавателю на зачете или экзамене.
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А, В, С, D, …или 1, 2, 3, 4, … - обозначение точки; прописные буквы латинского алфавита или арабские цифры.
о – изображение точки (области расположения точки); круг диаметром 2-3 мм тонкой линией от руки.
a, b, c, d, … - линия в пространстве; строчные буквы латинского алфавита.
Γ, Σ, Δ,… - плоскости, поверхности; прописные буквы греческого алфавита.
α, β, γ, δ, … - углы; строчные буквы греческого алфавита.
П – плоскость проекций (картинная плоскость); прописная буква (пи) греческого алфавита.
АВ – прямая, проходящая через точки А и В .
[AB] – отрезок, ограниченный точками А и В .
[AB ) – луч, ограниченный точкой А и проходящий через точку В.
/AB /–натуральная величина отрезка[AB ] (равная оригиналу).
/Aа /–расстояние от точки А до линии а.
/AΣ /–расстояние от точки А до плоскости Σ .
/ab /–расстояние между линиями а и b.
/GD / - расстояние между поверхностями G и D.
≡- совпадение (А≡В – точки А и В совпадают).
║ - параллельны.
^ - перпендикулярны.
∩ - пересечение.
Î - принадлежит, является элементом множества.
ÐАВС – угол с вершиной в точке В.
Изображение знаков должно выполняться в соответствии с принятыми стандартами оформления технической и научной документации.
ТЕМА 1 КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ МОНЖА
(ТОЧКА, ПРЯМАЯ)
Вопросы самоконтроля
1. Что называется проекцией точки?
2. Что называется осью проекций? Какие прямые линии называются «линиями связи» и как они расположены относительно оси проекций?
3. Можно восстановить положение точки в пространстве по ее проекциям?
4. Чем можно задать прямую линию на комплексном чертеже?
5. Какие прямые называются прямыми общего положения? Назовите прямые частного положения.
