Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИКИ
Динамика изучает движение тел с учетом тех причин (взаимодействий между телами), которые обусловливают тот или иной характер движения. В основе классической (ньютоновской) механики лежат три закона динамики, сформулированные И. Ньютоном в XVII в. Законы Ньютона возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их подтверждается совпадением с опытом тех следствий, которые из них вытекают.
Первый закон Ньютона формулируется следующим образом: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Оба названных состояния объединяются тем, что ускорение тела равно нулю.
Учитывая, что характер движения зависит от выбора системы отсчета͵ следует сделать вывод, что первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Система отсчета͵ в которой выполняется первый закон Ньютона, принято называть инерциальной. Сам закон называют законом инерции. Система отсчета͵ в которой первый закон Ньютона не выполняется, принято называть неинерциальной. Любая система отсчета͵ движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы, также является системой инерциальной. По этой причине инерциальных систем существует бесконечное множество.
Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения принято называть инертностью (инерцией). Мерой инертности тела является его масса m . Она не зависит от скорости движения тела. За единицу массы принят килограмм (кг) - масса эталонного тела.
В случае если состояние движения тела или его форма и размеры меняются, то говорят, что на тело действуют другие тела. Мерой взаимодействия тел служит сила . Всякая сила проявляется как результат действия одного тела на другое, сводящийся к появлению у тела ускорения или его деформации.
Второй закон Ньютона: результирующая сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение:
Так как масса является скаляром, то из формулы (6.1) следует, что .
На основании этого закона вводится единица силы - ньютон (Н): .
Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.
Заменим ускорение в уравнении (6.1) производной скорости по времени:
Векторная величина
принято называть импульсом тела .
Из формулы (6.3) следует, что направление вектора импульса совпадает с направлением скорости. Единица импульса - килограмм-метр на секунду (кг×м/c).
Объединяя выражения (6.2) и (6.3), получаем
Полученное выражение позволяет предложить более общую формулировку второго закона Ньютона: действующая на тело сила равна производной импульса по времени .
Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия (рис. 6.1). В случае если тело действует на тело с некоторой силой , то и тело в свою очередь действует на тело с силой .
Третий закон Ньютона формулируется следующим образом: взаимодействующие тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.
Эти силы, приложенные к разным телам, действуют по одной прямой и являются силами одной природы. Математическое выражение третьего закона Ньютона имеет вид
Знак "-" в формуле (6.5) означает, что векторы сил противоположны по направлению.
В формулировке самого Ньютона третий закон гласит: "Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе - действия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны".
Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого равна j, а направление совпадает с осью, вокруг которой производится поворот. Направление поворота и изображающего его отрезка связано правилом правого винта.
В математике показывается, что очень малые повороты можно рассматривать как векторы, обозначаемые символами или . Направление вектора поворота связывается с направлением вращения тела; - вектор элементарного поворота тела - является псевдовектором, так как не имеет точки приложения.
При вращательном движении твердого тела каждая точка движется по окружности, центр которой лежит на общей оси вращения (рис. 6). При этом радиус-вектор R , направленный от оси вращения к точке, поворачивается за время Dt на некоторый угол Dj . Для характеристики вращательного движения вводится угловая скорость и угловое ускорение.
 |
Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:
Угол в 1 радиан – это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности; 360 о = 2p рад.
Направление угловой скорости задается правилом правого винта : вектор угловой скорости сонаправлен с вектором , то есть с поступательным движением винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности.
Линейная скорость точки связана с угловой скоростью:
В векторной форме .
Если в процессе вращения угловая скорость изменяется, то возникает угловое ускорение.
Угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени. Вектор угловой скорости сонаправлен с вектором элементарного изменения угловой скорости , происшедшего за время dt:
При ускоренном движении вектор параллелен (рис. 7), при замедленном – противонаправлен (рис. 8).
Угловое ускорение возникает в системе только тогда, когда происходит изменение угловой скорости, то есть когда линейная скорость движения изменяется по величине. Изменение же скорости по величине характеризует тангенциальное ускорение.
Найдем связь между угловым и тангенциальным ускорениями:
.
Изменение направления скорости при криволинейном движении характеризуется нормальным ускорением :
.
Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:
Типы вращательного движения:
а) переменное – движение, при котором изменяются и :
б) равнопеременное – вращательное движение с постоянным угловым ускорением:
в) равномерное – вращательное движение с постоянной угловой скоростью:
.
Равномерное вращательное движение можно характеризовать периодом и частотой вращения .
Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.
Частота вращения – это число оборотов совершаемых за единицу времени.
За один оборот: ,
, 
.
Законы Ньютона. Основное уравнение динамики поступательного движения.
Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызывающих это движение.
Основу динамики составляют законы Ньютона.
I закон. Существуют инерциальные системы отсчета (ИСО), в которых материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.
Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инертностью .
ИСО называют систему отсчета, в которой тело, свободное от внешних воздействий, покоится или движется равномерно прямолинейно.
Инерциальной является система отсчета, которая покоится или движется равномерно прямолинейно относительно какой-либо ИСО.
Система отсчета, движущаяся с ускорением относительно ИСО, является неинерциальной.
I закон Ньютона, называемый также законом инерции, был впервые сформулирован Галилеем. Его содержание сводится к 2-м утверждениям:
1) все тела обладают свойством инертности;
2) существуют ИСО.
Принцип относительности Галилея : все механические явления во всех ИСО происходят одинаково, т.е. никакими механическими опытами внутри ИСО невозможно установить, покоится данная ИСО или движется равномерно прямолинейно.
В большинстве практических задач систему отсчета, жестко связанную с Землей, можно считать ИСО.
Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют свою скорость, т.е. приобретают различные ускорения, ускорение тел зависит от их массы.
Масса - мера инерционных и гравитационных свойств тела. С помощью точных экспериментов установлено, что инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Выбирая единицы таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности стал равным единице, получим, что , поэтому говорят просто о массе тела.
[m]=1кг - масса платино-иридиевого цилиндра, диаметр и высота которого равны h=d=39мм.
Чтобы характеризовать действие одного тела на другое, вводят понятие силы.
Сила - мера взаимодействия тел, в результате которого тела изменяют свою скорость или деформируются.
Сила характеризуется численным значением, направлением, точкой приложения. Прямая, вдоль которой действует сила, называется линией действия силы .
Одновременное действие на тело нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей или результирующей силой и равной их геометрической сумме:
Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется движение тела под действием приложенных к нему сил.
Поступательное движение - это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени. Если тело движется поступательно, то для описания его движения достаточно описать движение произвольной его точки (например, движение центра масс тела).
Одной из важнейших характеристик движения точки является её траектория, в общем случае представляющая собой пространственную кривую, которую можно представить в виде сопряжённых дуг различного радиуса, исходящего каждый из своего центра, положение которого может меняться во времени. В пределе и прямая может рассматриваться как дуга, радиус которой равен бесконечности.
В таком случае оказывается, что при поступательном движении в каждый заданный момент времени любая точка тела совершает поворот вокруг своего мгновенного центра поворота, причём длина радиуса в данный момент одинакова для всех точек тела. Одинаковы по величине и направлению и векторы скорости точек тела, а также испытываемые ими ускорения.
Поступательно движется, например, кабина лифта. Также, в первом приближении, поступательное движение совершает кабина колеса обозрения. Однако, строго говоря, движение кабины колеса обозрения нельзя считать поступательным.
Основное уравнение динамики поступательного движения произвольной системы тел
Скорость изменения импульса системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.
Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил. Рассматривая действие различных сил на данную материальную точку (тело), то ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей данных приложенных сил:
При действии одинаковой силы на тела с различными массами ускорения тел оказываются различными, а именно
Учитывая (1) и (2) и то, что сила и ускорение - величины векторные, можем записать
Соотношение (3) есть второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела). В системе измерений СИ коэффициент пропорциональности k= 1. Тогда
Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике постоянна, в выражении (4) массу можно внести под знак производной:
Векторная величина
численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.Подставляя (6) в (5), получим
Это выражение - более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.
Основные характеристики поступательного движения:
1.путь - любое движение вдоль траектории
2.перемещение – самый короткий путь.
А также сила, импульс, масса, скорость, ускорении и т.д.
Число степеней свободы - это минимальное число координат (параметров), задание которых полностью определяет положение физической системы в пространстве.
В поступательном движении все точки тела в каждый момент времени имеют одну и ту же скорость и ускорение.
Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) - один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.
Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.
Экспериментальные исследования взаимодействий различных тел - от планет и звезд до атомов и элементарных частиц - показали, что в любой системе взаимодействующих между собой тел при отсутствии действия сил со стороны других тел, не входящих в систему, или равенстве нулю суммы действующих сил геометрическая сумма импульсов тел остается неизменной.
Система тел, не взаимодействующих с другими телами, не входящими в эту систему, называется замкнутой системой.
P-Импульс
(с векторами)
14. Различия вращательного и поступательного движения. Кинематика вращательного движения . Враща́тельное движе́ние - вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Поступательное движение - это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени.[ Между движением твердого тела вокруг неподвижной оси и движением отдельной материальной точки (или поступательным движением тела) существует тесная и далеко идущая аналогия. Каждой линейной величине из кинематики точки соответствует подобная величина из кинематики вращения твердого тела. Координате s соответствует угол φ , линейной скорости v - угловая скорость w , линейному (касательному) ускорению а - угловое ускорение ε . Сравнительные параметры движения:
|
Поступательное движение |
Вращательное движение |
|
Перемещение S |
Угловое перемещение φ |
|
Линейная скорость |
Угловая скорость |
|
Ускорение |
Угловое ускорение |
|
Момент инерции I |
|
|
Момент импульса |
|
|
Момент силы M |
|
Работа: |
Работа: |
|
Кинетическая
энергия
|
Кинетическая
энергия
|
|
Закон сохранения импульса (ЗСИ) |
Закон сохранения момента импульса (ЗСМИ) |
При описании вращательного движения твердого тела относительно неподвижной в данной системе отсчета принято использовать векторные величины особого рода. В отличие от рассмотренных выше полярных векторов r (радиус-вектор), v (скорость), a (ускорение), направление которых естественным образом вытекает из природы самих величин, направление векторов, характеризующих вращательное движение, совпадает с осью вращения, поэтому их называют аксиальными (лат. axis – ось).
Элементарный поворот dφ – аксиальный вектор, модуль которого равен углу поворота dφ, а направление вдоль оси вращения ОО" (см. рис. 1.4) определяется правилом правого винта. (угол вращения твердого тела).
Рис.1.4. К определению направления аксиального вектора
Линейное перемещение dr произвольной точки А твердого тела связано с радиусом-вектором r и поворотом dφ соотношением dr=rsinα dφ или в векторном виде через векторное произведение:
dr= (1.9)
Соотношение (1.9) справедливо именно для бесконечно малого поворота dφ.
Угловая скорость ω – аксиальный вектор, определяемый производной вектора поворота по времени:
Вектор ω, как и вектор dφ, направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта (рис.1.5).
Рис.1.5. К определению направления вектора
Угловое ускорение β – аксиальный вектор, определяемый производной вектора угловой скорости по времени:
β=dω/dt=d2φ/dt2=ω"=φ""
При ускоренном движении вектор β по направлению совпадает с ω (рис. 1.6,а), а при замедленном - векторы β и ω направлены противоположно друг другу (рис. 1.6,б).
Рис.1.6. Связь между направлениями векторов ω и β
Важное замечание: решение всех задач на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси по форме аналогично задачам на прямолинейное движение точки. Достаточно заменить линейные величины x, vx, ax на соответствующие им угловые φ, ω и β, и мы получим уравнения, аналогичные (1.6) -(1.8).
Период обращения-
(Время, за которое тело совершает один оборот)
Частота(количество оборотов за единицу времени)-
Первый закон Ньютона и понятие инерциальной системы отсчёта.
Второй закон Ньютона как уравнение движения. Понятия массы, силы, импульса.
Третий закон Ньютона и пределы его применения.
Неинерциальные системы отсчёта. Абсолютные и относительные скорости и ускорения. Силы инерции (центробежная сила и сила Кориолиса).
Центр инерции (центр масс). Теорема о движении центра инерции.
1. 1-й закон Ньютона. Материальная точка, не подверженная внешним воздействиям, либо находится в покое , либо движется равномерно и прямолинейно. Такое тело называется свободным, его движение – свободным движением, или движением по инерции .
Классическая механика постулирует, что существует система отсчёта, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно. Такая система называется инерциальной системой отсчёта . Таким образом, 1-й закон Ньютона выражает критерий инерциальности системы отсчёта .
2. 2-й закон Ньютона. Производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе.
где –
импульс (количество движения), векторная
величина, равная для материальной точки
произведению её массы на скорость
и направленная вдоль
;
–масса
– мера инертности тел.
Импульс механической системы равен геометрической сумме импульсов всех точек системы.
Сила
в механике – мера механического действия
на данное материальное тело других тел.
Это действие может иметь место как при
непосредственном контакте, так и через
посредство создаваемых телами полей
(электромагнитным, полем тяготения).
Сила – величина векторная и в каждый
момент времени характеризуетсячисленным
значением, направлением
в пространстве и
точкой приложения
.
Сложение сил производится по правилу
параллелограмма
.
В современной физике различают 4
вида взаимодействий
:
гравитационное (обусловлено всемирным тяготением);
электромагнитное (осуществляется через электрические и магнитные поля);
сильное, или ядерное (обеспечивающее связь частиц в атомном ядре);
слабое (ответственное за многие процессы распада элементарных частиц).
Пример использования 2-го закона Ньютона как уравнения движения:
|
|
При
При
|
|
|
|
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
3. 3-й закон Ньютона. Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки .
Третий закон, как и 1-й и 2-й, справедливы лишь в инерциальных системах отсчёта . Кроме того, отступление от 3-го закона наблюдается в случае движения тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света .
В
случае движущихся зарядов
необходимо учитывать также взаимодействие
с магнитными полями, создаваемыми ими.
Пусть два положительных заряда
и
двигаются
со скоростями
и
(рис. 2.1). На каждый заряд со стороны
другого действует как кулоновская
,
так и лоренцева силы
.
Направления векторов индукции магнитных
полей
и
,
создаваемых частицами
и
,
определяются по правилу правого винта
(буравчика).
Рис. 2.1
Магнитные
силы Лоренца
и
не совпадают по направлению. Результирующие
силы
и
не равны друг другу и не направлены
противоположно.
4.
Неинерциальные системы отсчёта. Силы
инерции.
Изобразим
две системы отсчёта, из которых К
является инерциальной, а система
движется относительноК
с некоторым ускорением
и, следовательно, неинерциальная
(рис. 2.2).
Рис. 2.2
В
случае, когда система
движется относительноК
поступательно:
где
радиус-вектор
точкиm
в системе К;
радиус-вектор
начала координат
;
радиус-вектор
точкиm
в
системе
.
Продифференцируем дважды выражение
:
,
,
где
ускорение
частицыm
в
системе К
;
–ускорение
начала
системы
относительно
системыК
;
–ускорение
частицы в системе
.
;
умножим обе части этого уравнения на
m
,
получим
,
здесь
по 2-му закону Ньютона сила, действующая
на частицу со стороны других тел
,
тогда:
То
есть относительно
системы
частица ведёт себя так, как если бы кроме
силы
на
нее действует дополнительная сила
.
Эта сила называется силой инерции
.
Движение
относительно выбранной условно
неподвижной системы называется
абсолютным
.
Вектор
даётабсолютную
скорость
,
абсолютное
ускорение, а
и
относительные
скорость и ускорение
.
Раздел механики, изучающий движение материальных тел совместно с физическими причинами, вызывающими это движение, называется динамикой. Основные представления и количественные закономерности динамики возникли и развиваются на базе многовекового человеческого опыта: наблюдений за движением земных и небесных тел, производственной практики и специально поставленных экспериментов.
Великий итальянский физик Галилео Галилей экспериментально установил, что материальная точка (тело) достаточно удаленная от всех других тел (т.е. не взаимодействующая с ними) будет сохранять свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Это положение Галилея было подтверждено всеми последующими опытами и составляет содержание первого основного закона динамики, так называемого закона инерции. При этом покой следует рассматривать как частный случай равномерного и прямолинейного движения, когда.
Этот закон одинаково справедлив как для движения гигантских небесных тел, так и для движения мельчайших частиц. Свойство материальных тел сохранять состояние равномерного и прямолинейного движения называется инерцией.
Равномерное и прямолинейное движение тела при отсутствии внешних воздействий называется движением по инерции.
Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, носит название инерциальной системой отсчета. Инерциальной системой отсчета практически точно является гелиоцентрическая система. В виду громадного расстояния до звезд, их движением можно пренебречь и тогда оси координат, направленные от Солнца на три звезды, не лежащие в одной плоскости, будут неподвижными. Очевидно, любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы, также будет инерциальной.
Физической величиной, характеризующей инертность материального тела, является его масса. Ньютон определил массу как количество вещества, содержащегося в теле. Это определение нельзя считать исчерпывающим. Масса характеризует не только инерцию материального тела, но и его гравитационные свойства: сила притяжения, испытываемая данным телом со стороны другого тела, пропорциональна их массам. Масса определяет полный запас энергии материального тела.
Понятие массы позволяет уточнить определение материальной точки. Материальной точкой называется тело, при изучении движения которого можно отвлечься от всех его свойств, кроме массы. Каждая материальная точка, следовательно, характеризуется величиной своей массы. В ньютоновской механике, в основе которой лежат законы Ньютона, масса тела не зависит от положения тела в пространстве, его скорости, действия на тело других тел и т.д. Масса является величиной аддитивной, т.е. масса тела равна сумме масс всех его частей. Однако свойство аддитивности утрачивается при скоростях, близких к скорости света в вакууме, т.е. в релятивистской механике.
Эйнштейн показал, что масса движущегося тела зависит от скорости
где m 0 - масса покоящегося тела, - скорость движения тела, с - скорость света в вакууме.
Из (2.1) следует, что при движении тел с малыми скоростями c масса тела равна массе покоя, т.е. m=m 0 ; при c масса m.
Обобщая результаты опытов Галилея по падению тяжелых тел, астрономические законы Кеплера о движении планет, данные собственных исследований Ньютон сформулировал второй основной закон динамики, количественно связавший изменение движения материального тела с силами, вызывающими это изменение движения. Остановимся на анализе этого важнейшего понятия.
В общем случае сила - есть физическая величина, характери-зующая действие, оказываемое одним телом на другое. Эта векторная величина определяется численной величиной или модулем, направлением в пространстве и точкой приложения.
Если на материальную точку действуют две силы и, то их действие эквивалентно действию одной силы
получаемой из известного треугольника сил (рис.2.1). Если на тело действуют n-сил, суммарное действие эквивалентно действию одной равнодействующей, являющейся геометрической суммой сил:
Динамическое проявление силы состоит в том, что под действием силы материальное тело испытывает ускорение. Статическое действие силы приводит к тому, что упругие тела (пружины) под действием сил деформируются, газы - сжимаются.
Уравнение (2.3) представляет математическую запись второго основного закона динамики:
вектор силы, действующий на материальную точку численно равен произведению массы точки на вектор ускорения, возникающего при действии этой силы.
Поскольку ускорение
где - единичные векторы, - проекции ускорения на координатные оси, то
Если обозначить, то выражение (2.4) можно переписать через проекции сил на координатные оси:
В системе СИ за единицу силы принимается ньютон.
Согласно (2.3) ньютон есть такая сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с 2 . Легко видеть, что
Второй закон Ньютона можно записать иначе, если ввести понятие импульса тела (m) и импульса силы (Fdt). Подставим в
(2.3) выражение для ускорения
Таким образом, элементарный импульс силы, действующий на материальную точку в течение промежутка времени dt, равен изменению импульса тела за тот же промежуток времени.
Обозначив импульс тела
получим следующее выражение для второго закона Ньютона:
В релятивистской механике при c основной закон динамики и импульс тела с учетом зависимости массы от скорости (2.1.) запишутся в следующем виде
До сих пор мы рассматривали лишь одну сторону взаимодействия между телами: влияние других тел на характер движения данного выделенного тела (материальной точки). Такое влияние не может быть односторонним, взаимодействие должно быть обоюдным. Этот факт отражается третьим законом динамики, сформулированным для случая взаимодействия двух материальных точек: если материальная точка m 2 испытывает со стороны материальной точки m 1 силу, равную, то m 1 испытывает со стороны m 2 силу, равную по величине и противоположную по направлению:
Эти силы действуют всегда вдоль прямой, проходящей через точки m 1 и m 2 , как показано на рисунке 2.2. Рисунок 2.2,а относится
