4 διαστάσεων κύβος. Τετραδιάστατος κύβος. Γιατί είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς ένα teseract;

Το Tesseract είναι ένας τετραδιάστατος υπερκύβος - ένας κύβος σε τετραδιάστατο χώρο.
Σύμφωνα με το Oxford Dictionary, η λέξη tesseract επινοήθηκε και χρησιμοποιήθηκε το 1888 από τον Charles Howard Hinton (1853-1907) στο βιβλίο του A New Age of Thought. Αργότερα, κάποιοι ονόμασαν την ίδια φιγούρα τετρακύβο (ελληνικά τετρα - τέσσερα) - τετραδιάστατο κύβο.
Ένα συνηθισμένο τεσεράκτ στον Ευκλείδειο τετραδιάστατο χώρο ορίζεται ως ένα κυρτό κύτος σημείων (±1, ±1, ±1, ±1). Με άλλα λόγια, μπορεί να αναπαρασταθεί ως το ακόλουθο σύνολο:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Η ψηφίδα περιορίζεται από οκτώ υπερεπίπεδα x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , η τομή των οποίων με το ίδιο το tesseract το ορίζει τρισδιάστατες όψεις (που είναι κανονικοί κύβοι) Κάθε ζεύγος μη παράλληλων τρισδιάστατων προσόψεων τέμνεται για να σχηματίσει όψεις 2D (τετράγωνα) κ.λπ. Τέλος, ένα tesseract έχει 8 όψεις 3D, 24 2D πρόσωπα, 32 άκρες και 16 κορυφές.
Δημοφιλής περιγραφή
Ας προσπαθήσουμε να φανταστούμε πώς θα μοιάζει ένας υπερκύβος χωρίς να αφήνουμε τρισδιάστατο χώρο.
Σε ένα μονοδιάστατο "χώρο" - σε μια ευθεία - επιλέγουμε ένα τμήμα AB μήκους L. Σε ένα δισδιάστατο επίπεδο σε απόσταση L από το AB, σχεδιάζουμε ένα τμήμα DC παράλληλο σε αυτό και συνδέουμε τα άκρα τους. Το αποτέλεσμα είναι ένα τετράγωνο CDBA. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη λειτουργία με το επίπεδο, λαμβάνουμε έναν τρισδιάστατο κύβο CDBAGHFE. Και μετατοπίζοντας τον κύβο στην τέταρτη διάσταση (κάθετα στις τρεις πρώτες) κατά μια απόσταση L, παίρνουμε τον υπερκύβο CDBAGHFEKLJIOPNM.
Το μονοδιάστατο τμήμα AB χρησιμεύει ως πλευρά του δισδιάστατου τετραγώνου CDBA, το τετράγωνο - ως πλευρά του κύβου CDBAGHFE, το οποίο, με τη σειρά του, θα είναι η πλευρά του τετραδιάστατου υπερκύβου. Ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει δύο οριακά σημεία, ένα τετράγωνο έχει τέσσερις κορυφές, ένας κύβος έχει οκτώ. Σε έναν τετραδιάστατο υπερκύβο, θα υπάρχουν έτσι 16 κορυφές: 8 κορυφές του αρχικού κύβου και 8 από αυτήν που μετατοπίζεται στην τέταρτη διάσταση. Έχει 32 άκρες - 12 καθεμία δίνουν την αρχική και την τελική θέση του αρχικού κύβου και άλλες 8 άκρες «σχεδιάζουν» τις οκτώ κορυφές του, οι οποίες έχουν μετακινηθεί στην τέταρτη διάσταση. Το ίδιο σκεπτικό μπορεί να γίνει και για τις όψεις ενός υπερκύβου. Στον δισδιάστατο χώρο υπάρχει μόνο ένα (το ίδιο το τετράγωνο), ένας κύβος έχει 6 από αυτά (δύο όψεις από το μετακινούμενο τετράγωνο και άλλες τέσσερις που περιγράφουν τις πλευρές του). Ένας τετραδιάστατος υπερκύβος έχει 24 τετράγωνες όψεις - 12 τετράγωνα του αρχικού κύβου σε δύο θέσεις και 12 τετράγωνα από τις δώδεκα άκρες του.
Ακριβώς όπως οι πλευρές ενός τετραγώνου είναι 4 μονοδιάστατα τμήματα και οι πλευρές (όψεις) ενός κύβου είναι 6 δισδιάστατα τετράγωνα, έτσι και για έναν «τετραδιάστατο κύβο» (tesseract) οι πλευρές είναι 8 τρισδιάστατοι κύβοι . Οι χώροι των αντίθετων ζευγών τεσσερακτών κύβων (δηλαδή οι τρισδιάστατοι χώροι στους οποίους ανήκουν αυτοί οι κύβοι) είναι παράλληλοι. Στο σχήμα αυτοί είναι οι κύβοι: CDBAGHFE και KLJIOPNM, CDBAKLJI και GHFEOPNM, EFBAMNJI και GHDCOPLK, CKIAGOME και DLJBHPNF.
Με παρόμοιο τρόπο, μπορούμε να συνεχίσουμε τον συλλογισμό μας για υπερκύβους μεγαλύτερου αριθμού διαστάσεων, αλλά είναι πολύ πιο ενδιαφέρον να δούμε πώς θα αναζητήσει ένας τετραδιάστατος υπερκύβος για εμάς, τους κατοίκους του τρισδιάστατου χώρου. Για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε την ήδη γνωστή μέθοδο των αναλογιών.
Ας πάρουμε τον κύβο σύρματος ABCDHEFG και ας τον δούμε με το ένα μάτι από την πλευρά της άκρης. Θα δούμε και μπορούμε να σχεδιάσουμε δύο τετράγωνα στο επίπεδο (τις κοντινές και μακρινές άκρες του), που συνδέονται με τέσσερις γραμμές - πλευρικές άκρες. Ομοίως, ένας τετραδιάστατος υπερκύβος σε τρισδιάστατο χώρο θα μοιάζει με δύο κυβικά «κουτιά» που εισάγονται το ένα μέσα στο άλλο και συνδέονται με οκτώ άκρες. Σε αυτή την περίπτωση, τα ίδια τα "κουτιά" - τρισδιάστατες όψεις - θα προβάλλονται στον χώρο "μας" και οι γραμμές που τα συνδέουν θα τεντώνονται προς την κατεύθυνση του τέταρτου άξονα. Μπορείτε επίσης να προσπαθήσετε να φανταστείτε τον κύβο όχι σε προβολή, αλλά σε χωρική εικόνα.
Ακριβώς όπως ένας τρισδιάστατος κύβος σχηματίζεται από ένα τετράγωνο που μετατοπίζεται κατά το μήκος της όψης του, ένας κύβος που μετατοπίζεται στην τέταρτη διάσταση θα σχηματίσει έναν υπερκύβο. Περιορίζεται από οκτώ κύβους, οι οποίοι σε προοπτική θα μοιάζουν με κάποια μάλλον περίπλοκη φιγούρα. Ο ίδιος ο τετραδιάστατος υπερκύβος αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό κύβων, όπως ένας τρισδιάστατος κύβος μπορεί να «κοπεί» σε έναν άπειρο αριθμό επίπεδων τετραγώνων.
Κόβοντας τις έξι όψεις ενός τρισδιάστατου κύβου, μπορείτε να τον αποσυνθέσετε σε μια επίπεδη φιγούρα - μια εξέλιξη. Θα έχει ένα τετράγωνο σε κάθε πλευρά της αρχικής όψης συν ένα ακόμη - το πρόσωπο απέναντι από αυτό. Και η τρισδιάστατη ανάπτυξη ενός τετραδιάστατου υπερκύβου θα αποτελείται από τον αρχικό κύβο, έξι κύβους που «αναπτύσσονται» από αυτόν, συν έναν ακόμη - την τελική «υπερφάνεια».
Οι ιδιότητες ενός τεσεράκτου αντιπροσωπεύουν μια συνέχεια των ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων χαμηλότερης διάστασης στον τετραδιάστατο χώρο.

Μπακαλιάρ Μαρία

Μελετώνται μέθοδοι εισαγωγής της έννοιας του τετραδιάστατου κύβου (tesseract), η δομή του και ορισμένες ιδιότητες Το ερώτημα ποια τρισδιάστατα αντικείμενα λαμβάνονται όταν ένας τετραδιάστατος κύβος τέμνεται από υπερεπίπεδα παράλληλα με τις τρισδιάστατες όψεις του , καθώς και υπερεπίπεδα κάθετα στην κύρια διαγώνιο του αντιμετωπίζεται. Εξετάζεται η συσκευή πολυδιάστατης αναλυτικής γεωμετρίας που χρησιμοποιείται για την έρευνα.

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Εισαγωγή………………………………………………………………………………….2

Κύριο μέρος…………………………………………………………..4

Συμπεράσματα…………………………………………………………………………..12

Παραπομπές………………………………………………………..13

Εισαγωγή

Ο τετραδιάστατος χώρος έχει προσελκύσει εδώ και καιρό την προσοχή τόσο των επαγγελματιών μαθηματικών όσο και των ανθρώπων που απέχουν από τη μελέτη αυτής της επιστήμης. Το ενδιαφέρον για την τέταρτη διάσταση μπορεί να οφείλεται στην υπόθεση ότι ο τρισδιάστατος κόσμος μας είναι «βυθισμένος» στον τετραδιάστατο χώρο, όπως ένα επίπεδο «βυθίζεται» στον τρισδιάστατο χώρο, μια ευθεία γραμμή «βυθίζεται» σε ένα επίπεδο και ένα σημείο βρίσκεται σε ευθεία γραμμή. Επιπλέον, ο τετραδιάστατος χώρος παίζει σημαντικό ρόλο στη σύγχρονη θεωρία της σχετικότητας (ο λεγόμενος χωροχρόνος ή χώρος Minkowski), και μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωσηδιαστατικός Ευκλείδειος χώρος (με).

Ένας τετραδιάστατος κύβος (tesseract) είναι ένα αντικείμενο σε τετραδιάστατο χώρο που έχει τη μέγιστη δυνατή διάσταση (όπως ένας συνηθισμένος κύβος είναι ένα αντικείμενο σε τρισδιάστατο χώρο). Σημειώστε ότι έχει επίσης άμεσο ενδιαφέρον, δηλαδή, μπορεί να εμφανιστεί σε προβλήματα βελτιστοποίησης του γραμμικού προγραμματισμού (ως περιοχή στην οποία βρίσκεται το ελάχιστο ή μέγιστο μιας γραμμικής συνάρτησης τεσσάρων μεταβλητών) και χρησιμοποιείται επίσης στην ψηφιακή μικροηλεκτρονική (όταν προγραμματισμός της λειτουργίας μιας ηλεκτρονικής οθόνης ρολογιού). Επιπλέον, η ίδια η διαδικασία της μελέτης ενός τετραδιάστατου κύβου συμβάλλει στην ανάπτυξη της χωρικής σκέψης και της φαντασίας.

Κατά συνέπεια, η μελέτη της δομής και των ειδικών ιδιοτήτων ενός τετραδιάστατου κύβου είναι αρκετά σχετική. Αξίζει να σημειωθεί ότι ως προς τη δομή, ο τετραδιάστατος κύβος έχει μελετηθεί αρκετά καλά. Πολύ πιο ενδιαφέρουσα είναι η φύση των τμημάτων του από διάφορα υπερπλάνα. Έτσι, ο κύριος στόχος αυτής της εργασίας είναι να μελετήσει τη δομή του τεσεράκτου, καθώς και να διευκρινίσει το ερώτημα ποια τρισδιάστατα αντικείμενα θα προκύψουν εάν ένας τετραδιάστατος κύβος τεμαχιστεί από υπερεπίπεδα παράλληλα με ένα από τα τρία του. διαστασιακές όψεις ή από υπερεπίπεδα κάθετα στην κύρια διαγώνιο του. Ένα υπερεπίπεδο σε τετραδιάστατο χώρο θα ονομάζεται τρισδιάστατος υποχώρος. Μπορούμε να πούμε ότι μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο είναι ένα μονοδιάστατο υπερεπίπεδο, ένα επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο είναι ένα δισδιάστατο υπερεπίπεδο.

Ο στόχος καθόρισε τους στόχους της μελέτης:

1) Μελετήστε τα βασικά δεδομένα της πολυδιάστατης αναλυτικής γεωμετρίας.

2) Μελετήστε τα χαρακτηριστικά της κατασκευής κύβων διαστάσεων από 0 έως 3.

3) Μελετήστε τη δομή ενός τετραδιάστατου κύβου.

4) Περιγράψτε αναλυτικά και γεωμετρικά έναν τετραδιάστατο κύβο.

5) Φτιάξτε μοντέλα εξελίξεων και κεντρικές προβολές τρισδιάστατων και τετραδιάστατων κύβων.

6) Χρησιμοποιώντας τη συσκευή πολυδιάστατης αναλυτικής γεωμετρίας, περιγράψτε τρισδιάστατα αντικείμενα που προκύπτουν από την τομή ενός τετραδιάστατου κύβου με υπερεπίπεδα παράλληλα σε μία από τις τρισδιάστατες όψεις του ή υπερεπίπεδα κάθετα στην κύρια διαγώνιο του.

Οι πληροφορίες που λαμβάνονται με αυτόν τον τρόπο θα μας επιτρέψουν να κατανοήσουμε καλύτερα τη δομή του tesseract, καθώς και να εντοπίσουμε βαθιές αναλογίες στη δομή και τις ιδιότητες των κύβων διαφορετικών διαστάσεων.

Κύριο μέρος

Αρχικά, περιγράφουμε τη μαθηματική συσκευή που θα χρησιμοποιήσουμε κατά τη διάρκεια αυτής της μελέτης.

1) Συντεταγμένες του διανύσματος: αν, Οτι

2) Εξίσωση υπερεπίπεδου με κανονικό διάνυσμαμοιάζει με Εδώ

3) Αεροπλάνα και είναι παράλληλες αν και μόνο αν

4) Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων προσδιορίζεται ως εξής: αν, Οτι

5) Προϋπόθεση για την ορθογωνικότητα των διανυσμάτων:

Πρώτα απ 'όλα, ας μάθουμε πώς να περιγράψουμε έναν τετραδιάστατο κύβο. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους - γεωμετρικό και αναλυτικό.

Αν μιλάμε για τη γεωμετρική μέθοδο προσδιορισμού, τότε είναι σκόπιμο να παρακολουθήσουμε τη διαδικασία κατασκευής κύβων, ξεκινώντας από τη μηδενική διάσταση. Ένας κύβος μηδενικής διάστασης είναι ένα σημείο (σημειώστε, παρεμπιπτόντως, ότι ένα σημείο μπορεί επίσης να παίξει το ρόλο μιας μπάλας μηδενικής διάστασης). Στη συνέχεια, εισάγουμε την πρώτη διάσταση (τον άξονα x) και στον αντίστοιχο άξονα σημειώνουμε δύο σημεία (δύο μηδενικών διαστάσεων κύβους) που βρίσκονται σε απόσταση 1 το ένα από το άλλο. Το αποτέλεσμα είναι ένα τμήμα - ένας μονοδιάστατος κύβος. Ας σημειώσουμε αμέσως ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα: Τα όρια (άκρα) ενός μονοδιάστατου κύβου (τμήματος) είναι δύο μηδενικών διαστάσεων κύβοι (δύο σημεία). Στη συνέχεια, εισάγουμε τη δεύτερη διάσταση (άξονας τεταγμένων) και στο επίπεδοΑς κατασκευάσουμε δύο μονοδιάστατους κύβους (δύο τμήματα), των οποίων τα άκρα βρίσκονται σε απόσταση 1 μεταξύ τους (στην πραγματικότητα, το ένα από τα τμήματα είναι ορθογώνια προβολή του άλλου). Συνδέοντας τα αντίστοιχα άκρα των τμημάτων, παίρνουμε ένα τετράγωνο - έναν δισδιάστατο κύβο. Και πάλι, σημειώστε ότι το όριο ενός δισδιάστατου κύβου (τετράγωνο) είναι τέσσερις μονοδιάστατοι κύβοι (τέσσερα τμήματα). Τέλος, εισάγουμε την τρίτη διάσταση (εφαρμογή άξονα) και κατασκευάζουμε στο χώροδύο τετράγωνα με τέτοιο τρόπο ώστε το ένα από αυτά να είναι ορθογώνια προβολή του άλλου (οι αντίστοιχες κορυφές των τετραγώνων βρίσκονται σε απόσταση 1 μεταξύ τους). Ας συνδέσουμε τις αντίστοιχες κορυφές με τμήματα - παίρνουμε έναν τρισδιάστατο κύβο. Βλέπουμε ότι το όριο ενός τρισδιάστατου κύβου είναι έξι δισδιάστατοι κύβοι (έξι τετράγωνα). Οι περιγραφόμενες κατασκευές μας επιτρέπουν να αναγνωρίσουμε το ακόλουθο μοτίβο: σε κάθε βήμαο διαστατικός κύβος «κινείται, αφήνοντας ένα ίχνος».e μέτρηση σε απόσταση 1, ενώ η φορά κίνησης είναι κάθετη στον κύβο. Είναι η επίσημη συνέχεια αυτής της διαδικασίας που μας επιτρέπει να φτάσουμε στην έννοια ενός τετραδιάστατου κύβου. Δηλαδή, θα αναγκάσουμε τον τρισδιάστατο κύβο να κινηθεί προς την κατεύθυνση της τέταρτης διάστασης (κάθετα στον κύβο) κατά απόσταση 1. Ενεργώντας παρόμοια με την προηγούμενη, δηλαδή συνδέοντας τις αντίστοιχες κορυφές των κύβων, θα αποκτήσουμε έναν τετραδιάστατο κύβο. Να σημειωθεί ότι γεωμετρικά μια τέτοια κατασκευή στο χώρο μας είναι αδύνατη (αφού είναι τρισδιάστατη), αλλά εδώ δεν συναντάμε αντιφάσεις από λογικής απόψεως. Ας περάσουμε τώρα στην αναλυτική περιγραφή ενός τετραδιάστατου κύβου. Λαμβάνεται επίσης επίσημα, χρησιμοποιώντας αναλογία. Έτσι, η αναλυτική προδιαγραφή ενός μοναδιαίου κύβου μηδενικών διαστάσεων έχει τη μορφή:

Η αναλυτική εργασία ενός μονοδιάστατου μοναδιαίου κύβου έχει τη μορφή:

Η αναλυτική εργασία ενός δισδιάστατου μοναδιαίου κύβου έχει τη μορφή:

Η αναλυτική εργασία ενός τρισδιάστατου κύβου μονάδας έχει τη μορφή:

Τώρα είναι πολύ εύκολο να δώσουμε μια αναλυτική αναπαράσταση ενός τετραδιάστατου κύβου, δηλαδή:

Όπως μπορούμε να δούμε, τόσο οι γεωμετρικές όσο και οι αναλυτικές μέθοδοι ορισμού ενός τετραδιάστατου κύβου χρησιμοποιούσαν τη μέθοδο των αναλογιών.

Τώρα, χρησιμοποιώντας τη συσκευή αναλυτικής γεωμετρίας, θα μάθουμε ποια είναι η δομή ενός τετραδιάστατου κύβου. Αρχικά, ας μάθουμε ποια στοιχεία περιλαμβάνει. Εδώ πάλι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια αναλογία (για να υποβάλουμε μια υπόθεση). Τα όρια ενός μονοδιάστατου κύβου είναι σημεία (μηδενικοί κύβοι), ενός δισδιάστατου κύβου - τμήματα (μονοδιάστατοι κύβοι), ενός τρισδιάστατου κύβου - τετράγωνα (δισδιάστατες όψεις). Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα όρια του τεσεράκτου είναι τρισδιάστατοι κύβοι. Για να το αποδείξουμε αυτό, ας διευκρινίσουμε τι σημαίνει κορυφές, ακμές και όψεις. Οι κορυφές ενός κύβου είναι τα γωνιακά του σημεία. Δηλαδή, οι συντεταγμένες των κορυφών μπορεί να είναι μηδενικές ή μονάδες. Έτσι, αποκαλύπτεται μια σύνδεση μεταξύ της διάστασης του κύβου και του αριθμού των κορυφών του. Ας εφαρμόσουμε τον κανόνα του συνδυαστικού προϊόντος - από την κορυφήμετρημένος κύβος έχει ακριβώςσυντεταγμένες, καθεμία από τις οποίες είναι ίση με μηδέν ή ένα (ανεξάρτητο από όλες τις άλλες), τότε συνολικά υπάρχεικορυφές Έτσι, για οποιαδήποτε κορυφή όλες οι συντεταγμένες είναι σταθερές και μπορούν να είναι ίσες μεή . Αν διορθώσουμε όλες τις συντεταγμένες (βάζοντας καθεμία από αυτές ίσεςή , ανεξάρτητα από τα άλλα), εκτός από μία, λαμβάνουμε ευθείες γραμμές που περιέχουν τις άκρες του κύβου. Παρόμοια με την προηγούμενη, μπορείτε να μετρήσετε ότι υπάρχουν ακριβώςπράγματα. Και αν τώρα διορθώσουμε όλες τις συντεταγμένες (βάζοντας την καθεμία από αυτές ίσεςή , ανεξάρτητα από τα άλλα), εκτός από μερικά δύο, λαμβάνουμε επίπεδα που περιέχουν δισδιάστατες όψεις του κύβου. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα των συνδυαστικών, διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν ακριβώςπράγματα. Στη συνέχεια, ομοίως - καθορίζοντας όλες τις συντεταγμένες (βάζοντας καθεμία από αυτές ίσεςή , ανεξάρτητα από τα άλλα), εκτός από μερικά τρία, λαμβάνουμε υπερεπίπεδα που περιέχουν τρισδιάστατες όψεις του κύβου. Χρησιμοποιώντας τον ίδιο κανόνα, υπολογίζουμε τον αριθμό τους - ακριβώςκαι τα λοιπά. Αυτό θα είναι αρκετό για την έρευνά μας. Ας εφαρμόσουμε τα αποτελέσματα που λαμβάνονται στη δομή ενός τετραδιάστατου κύβου, δηλαδή, σε όλους τους παραγόμενους τύπους που βάλαμε. Επομένως, ένας τετραδιάστατος κύβος έχει: 16 κορυφές, 32 ακμές, 24 δισδιάστατες όψεις και 8 τρισδιάστατες όψεις. Για λόγους σαφήνειας, ας ορίσουμε αναλυτικά όλα τα στοιχεία του.

Κορυφές ενός τετραδιάστατου κύβου:

Οι άκρες ενός τετραδιάστατου κύβου ():

Δισδιάστατες όψεις ενός τετραδιάστατου κύβου (παρόμοιοι περιορισμοί):

Τρισδιάστατες όψεις ενός τετραδιάστατου κύβου (παρόμοιοι περιορισμοί):

Τώρα που η δομή ενός τετραδιάστατου κύβου και οι μέθοδοι για τον ορισμό του έχουν περιγραφεί με αρκετή λεπτομέρεια, ας προχωρήσουμε στην υλοποίηση του κύριου στόχου - να διευκρινίσουμε τη φύση των διαφόρων τμημάτων του κύβου. Ας ξεκινήσουμε με τη στοιχειώδη περίπτωση όταν τα τμήματα ενός κύβου είναι παράλληλα με μια από τις τρισδιάστατες όψεις του. Για παράδειγμα, εξετάστε τα τμήματα του με υπερεπίπεδα παράλληλα με το πρόσωποΑπό την αναλυτική γεωμετρία είναι γνωστό ότι οποιαδήποτε τέτοια τομή θα δοθεί από την εξίσωσηΑς ορίσουμε αναλυτικά τις αντίστοιχες ενότητες:

Όπως μπορούμε να δούμε, έχουμε μια αναλυτική προδιαγραφή για έναν τρισδιάστατο κύβο μονάδας που βρίσκεται σε ένα υπερεπίπεδο

Για να δημιουργήσουμε μια αναλογία, ας γράψουμε την τομή ενός τρισδιάστατου κύβου από ένα επίπεδοΠαίρνουμε:

Αυτό είναι ένα τετράγωνο που βρίσκεται σε ένα αεροπλάνο. Η αναλογία είναι προφανής.

Τομές ενός τετραδιάστατου κύβου από υπερεπίπεδαδίνουν εντελώς παρόμοια αποτελέσματα. Αυτοί θα είναι επίσης μεμονωμένοι τρισδιάστατοι κύβοι που βρίσκονται σε υπερεπίπεδααντίστοιχα.

Ας εξετάσουμε τώρα τμήματα ενός τετραδιάστατου κύβου με υπερεπίπεδα κάθετα στην κύρια διαγώνιο του. Αρχικά, ας λύσουμε αυτό το πρόβλημα για έναν τρισδιάστατο κύβο. Χρησιμοποιώντας την παραπάνω περιγραφείσα μέθοδο ορισμού ενός μοναδιαίου τρισδιάστατου κύβου, καταλήγει στο συμπέρασμα ότι ως κύρια διαγώνιος μπορεί κανείς να πάρει, για παράδειγμα, ένα τμήμα με άκραΚαι . Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα της κύριας διαγωνίου θα έχει συντεταγμένες. Επομένως, η εξίσωση οποιουδήποτε επιπέδου κάθετου στην κύρια διαγώνιο θα είναι:

Ας προσδιορίσουμε τα όρια αλλαγής παραμέτρων. Επειδή , τότε, προσθέτοντας αυτές τις ανισότητες ανά όρο, παίρνουμε:

Ή .

Αν τότε (λόγω περιορισμών). Ομοίως - αν, Οτι . Λοιπόν, πότε και πότε το επίπεδο κοπής και ο κύβος έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο (Και αντίστοιχα). Τώρα ας σημειώσουμε το εξής. Αν(και πάλι λόγω περιορισμών μεταβλητών). Τα αντίστοιχα επίπεδα τέμνουν τρεις όψεις ταυτόχρονα, γιατί, διαφορετικά, το επίπεδο κοπής θα ήταν παράλληλο σε ένα από αυτά, το οποίο δεν λαμβάνει χώρα σύμφωνα με τη συνθήκη. Αν, τότε το επίπεδο τέμνει όλες τις όψεις του κύβου. Αν, τότε το επίπεδο τέμνει τις όψεις. Ας παρουσιάσουμε τους αντίστοιχους υπολογισμούς.

Αφήνω Μετά το αεροπλάνοδιασχίζει τη γραμμήσε ευθεία γραμμή, και . Η άκρη, εξάλλου. Ακρη το επίπεδο τέμνεται σε ευθεία γραμμή, και

Αφήνω Μετά το αεροπλάνοδιασχίζει τη γραμμή:

άκρη σε ευθεία γραμμή, και .

Αυτή τη φορά παίρνουμε έξι τμήματα που έχουν διαδοχικά κοινά άκρα:

Αφήνω Μετά το αεροπλάνοδιασχίζει τη γραμμήσε ευθεία γραμμή, και . Ακρη το επίπεδο τέμνεται σε ευθεία γραμμή, και . Ακρη το επίπεδο τέμνεται σε ευθεία γραμμή, και . Δηλαδή, παίρνουμε τρία τμήματα που έχουν κοινά άκρα κατά ζεύγη:Έτσι, για τις καθορισμένες τιμές παραμέτρωντο επίπεδο θα τέμνει τον κύβο κατά μήκος ενός κανονικού τριγώνου με κορυφές

Έτσι, εδώ είναι μια περιεκτική περιγραφή των επίπεδων σχημάτων που λαμβάνονται όταν ένας κύβος τέμνεται από ένα επίπεδο κάθετο στην κύρια διαγώνιο του. Η βασική ιδέα ήταν η εξής. Είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε ποιες όψεις τέμνει το επίπεδο, κατά μήκος ποιων συνόλων τις τέμνει και πώς αυτά τα σύνολα σχετίζονται μεταξύ τους. Για παράδειγμα, εάν αποδεικνύεται ότι το επίπεδο τέμνει ακριβώς τρεις όψεις κατά μήκος τμημάτων που έχουν κατά ζεύγη κοινά άκρα, τότε η τομή είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο (το οποίο αποδεικνύεται με απευθείας υπολογισμό των μηκών των τμημάτων), οι κορυφές του οποίου είναι αυτά τα άκρα των τμημάτων.

Χρησιμοποιώντας την ίδια συσκευή και την ίδια ιδέα για τη μελέτη των τμημάτων, τα ακόλουθα γεγονότα μπορούν να συναχθούν με εντελώς ανάλογο τρόπο:

1) Το διάνυσμα μιας από τις κύριες διαγωνίους ενός τετραδιάστατου κύβου μονάδας έχει τις συντεταγμένες

2) Οποιοδήποτε υπερεπίπεδο κάθετο στην κύρια διαγώνιο ενός τετραδιάστατου κύβου μπορεί να γραφεί με τη μορφή.

3) Στην εξίσωση ενός υπερεπίπεδου τομής, η παράμετροςμπορεί να ποικίλλει από 0 έως 4.

4) Πότε και ένα τέμνον υπερεπίπεδο και ένας τετραδιάστατος κύβος έχουν ένα κοινό σημείο (Και αντίστοιχα);

5) Πότε η διατομή θα παράγει ένα κανονικό τετράεδρο.

6) Πότε σε διατομή το αποτέλεσμα θα είναι ένα οκτάεδρο.

7) Πότε η διατομή θα παράγει ένα κανονικό τετράεδρο.

Συνεπώς, εδώ το υπερεπίπεδο τέμνει το τεσσεράκτο κατά μήκος ενός επιπέδου στο οποίο, λόγω των περιορισμών των μεταβλητών, διακρίνεται μια τριγωνική περιοχή (αναλογία - το επίπεδο τέμνει τον κύβο κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής, στην οποία, λόγω των περιορισμών του μεταβλητές, διακρίθηκε ένα τμήμα). Στην περίπτωση 5) το υπερεπίπεδο τέμνει ακριβώς τέσσερις τρισδιάστατες όψεις του τεσεράκτου, δηλαδή προκύπτουν τέσσερα τρίγωνα που έχουν κατά ζεύγη κοινές πλευρές, σχηματίζοντας δηλαδή ένα τετράεδρο (το πώς μπορεί να υπολογιστεί είναι σωστό). Στην περίπτωση 6), το υπερεπίπεδο τέμνει ακριβώς οκτώ τρισδιάστατες όψεις του τεσεράκτου, δηλαδή προκύπτουν οκτώ τρίγωνα που έχουν διαδοχικά κοινές πλευρές, σχηματίζοντας δηλαδή ένα οκτάεδρο. Η περίπτωση 7) είναι εντελώς παρόμοια με την περίπτωση 5).

Ας το ερμηνεύσουμε αυτό με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Δηλαδή, μελετάμε την τομή ενός τετραδιάστατου κύβου από ένα υπερεπίπεδοΛόγω μεταβλητών περιορισμών, αυτό το υπερεπίπεδο τέμνει τις ακόλουθες τρισδιάστατες όψεις:Ακρη τέμνεται κατά μήκος ενός επιπέδουΛόγω των περιορισμών των μεταβλητών, έχουμε:Παίρνουμε μια τριγωνική περιοχή με κορυφέςΠεραιτέρω,παίρνουμε ένα τρίγωνοΌταν ένα υπερεπίπεδο τέμνει μια όψηπαίρνουμε ένα τρίγωνοΌταν ένα υπερεπίπεδο τέμνει μια όψηπαίρνουμε ένα τρίγωνοΈτσι, οι κορυφές του τετραέδρου έχουν τις παρακάτω συντεταγμένες. Όπως είναι εύκολο να υπολογιστεί, αυτό το τετράεδρο είναι πράγματι κανονικό.

συμπεράσματα

Έτσι, στη διαδικασία αυτής της έρευνας, μελετήθηκαν τα βασικά δεδομένα της πολυδιάστατης αναλυτικής γεωμετρίας, μελετήθηκαν τα χαρακτηριστικά κατασκευής κύβων διαστάσεων από 0 έως 3, μελετήθηκε η δομή ενός τετραδιάστατου κύβου, μελετήθηκε ένας τετραδιάστατος κύβος περιγράφηκαν αναλυτικά και γεωμετρικά, κατασκευάστηκαν μοντέλα εξελίξεων και κεντρικές προβολές τρισδιάστατων και τετραδιάστατων κύβων, τρισδιάστατοι κύβοι περιέγραψαν αναλυτικά αντικείμενα που προέκυψαν από την τομή ενός τετραδιάστατου κύβου με υπερεπίπεδα παράλληλα με ένα από τα τρισδιάστατά του. διαστασιακές όψεις ή με υπερεπίπεδα κάθετα στην κύρια διαγώνιο του.

Η έρευνα που διεξήχθη κατέστησε δυνατό τον εντοπισμό βαθιών αναλογιών στη δομή και τις ιδιότητες των κύβων διαφορετικών διαστάσεων. Η τεχνική της αναλογίας που χρησιμοποιείται μπορεί να εφαρμοστεί στην έρευνα, για παράδειγμα,διαστατική σφαίρα ήαπλές διαστάσεων. Και συγκεκριμένα,μια διαστατική σφαίρα μπορεί να οριστεί ως ένα σύνολο σημείωνδιαστασιακός χώρος σε ίση απόσταση από ένα δεδομένο σημείο, το οποίο ονομάζεται κέντρο της σφαίρας. Περαιτέρω,ένα διαστατικό απλό μπορεί να οριστεί ως μέροςδιαστατικός χώρος περιορισμένος από τον ελάχιστο αριθμόυπερεπίπεδα διαστάσεων. Για παράδειγμα, ένα μονοδιάστατο απλό είναι ένα τμήμα (τμήμα μονοδιάστατου χώρου, που περιορίζεται από δύο σημεία), ένα δισδιάστατο απλό είναι ένα τρίγωνο (ένα μέρος του δισδιάστατου χώρου, που περιορίζεται από τρεις γραμμές), ένα το τρισδιάστατο απλό είναι ένα τετράεδρο (τμήμα του τρισδιάστατου χώρου, που περιορίζεται από τέσσερα επίπεδα). Τελικά,ορίζουμε το απλοδιάστατο ως μέροςδιαστασιακός χώρος, περιορισμένοςυπερεπίπεδο διάστασης.

Σημειώστε ότι, παρά τις πολυάριθμες εφαρμογές του tesseract σε ορισμένους τομείς της επιστήμης, αυτή η έρευνα εξακολουθεί να είναι σε μεγάλο βαθμό μια μαθηματική μελέτη.

Βιβλιογραφία

1) Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M.Ανώτερα μαθηματικά, τ. 1 – Μ.: Bustard, 2005 – 284 σελ.

2) Κβαντική. Τετραδιάστατος κύβος / Duzhin S., Rubtsov V., Νο. 6, 1986.

3) Κβαντική. Πως να ζωγραφίσω διαστάσεων κύβος / Demidovich N.B., Νο. 8, 1974.

Ας ξεκινήσουμε εξηγώντας τι είναι ο τετραδιάστατος χώρος.

Αυτός είναι ένας μονοδιάστατος χώρος, δηλαδή απλά ο άξονας OX. Οποιοδήποτε σημείο πάνω του χαρακτηρίζεται από μία συντεταγμένη.

Τώρα ας σχεδιάσουμε τον άξονα OY κάθετο στον άξονα OX. Έτσι παίρνουμε έναν δισδιάστατο χώρο, δηλαδή το επίπεδο XOY. Οποιοδήποτε σημείο σε αυτό χαρακτηρίζεται από δύο συντεταγμένες - τετμημένη και τεταγμένη.

Ας σχεδιάσουμε τον άξονα OZ κάθετο στους άξονες OX και OY. Το αποτέλεσμα είναι ένας τρισδιάστατος χώρος στον οποίο οποιοδήποτε σημείο έχει τετμημένη, τεταγμένη και εφαρμογή.

Είναι λογικό ότι ο τέταρτος άξονας, OQ, θα πρέπει να είναι κάθετος στους άξονες OX, OY και OZ ταυτόχρονα. Αλλά δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε με ακρίβεια έναν τέτοιο άξονα, και επομένως μπορούμε μόνο να προσπαθήσουμε να τον φανταστούμε. Κάθε σημείο στον τετραδιάστατο χώρο έχει τέσσερις συντεταγμένες: x, y, z και q.

Τώρα ας δούμε πώς εμφανίστηκε ο τετραδιάστατος κύβος.

Η εικόνα δείχνει μια φιγούρα σε μονοδιάστατο χώρο - μια γραμμή.

Εάν κάνετε μια παράλληλη μετάφραση αυτής της γραμμής κατά μήκος του άξονα OY και στη συνέχεια συνδέσετε τα αντίστοιχα άκρα των δύο γραμμών που προκύπτουν, θα λάβετε ένα τετράγωνο.

Ομοίως, αν κάνετε παράλληλη μετάφραση του τετραγώνου κατά μήκος του άξονα OZ και συνδέσετε τις αντίστοιχες κορυφές, θα λάβετε έναν κύβο.

Και αν κάνουμε μια παράλληλη μετάφραση του κύβου κατά μήκος του άξονα OQ και συνδέσουμε τις κορυφές αυτών των δύο κύβων, τότε θα πάρουμε έναν τετραδιάστατο κύβο. Παρεμπιπτόντως, λέγεται τεσεράκτ.

Για να σχεδιάσετε έναν κύβο σε ένα αεροπλάνο, τον χρειάζεστε έργο. Οπτικά μοιάζει με αυτό:

Ας φανταστούμε ότι κρέμεται στον αέρα πάνω από την επιφάνεια μοντέλο wireframeκύβος, δηλαδή, σαν να είναι "φτιαγμένος από σύρμα", και από πάνω είναι ένας λαμπτήρας. Εάν ανάψετε τη λάμπα, χαράξετε τη σκιά του κύβου με ένα μολύβι και στη συνέχεια σβήσετε τη λάμπα, μια προβολή του κύβου θα απεικονιστεί στην επιφάνεια.

Ας προχωρήσουμε σε κάτι λίγο πιο σύνθετο. Κοιτάξτε ξανά το σχέδιο με τη λάμπα: όπως μπορείτε να δείτε, όλες οι ακτίνες συγκλίνουν σε ένα σημείο. Ονομάζεται σημείο εκμηδενίσεωςκαι χρησιμοποιείται για την κατασκευή προοπτική προβολή(και μπορεί επίσης να είναι παράλληλη, όταν όλες οι ακτίνες είναι παράλληλες μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα είναι ότι η αίσθηση του όγκου δεν δημιουργείται, αλλά είναι ελαφρύτερη, και επιπλέον, εάν το σημείο φυγής είναι αρκετά μακριά από το προβαλλόμενο αντικείμενο , τότε η διαφορά μεταξύ αυτών των δύο προβολών είναι ελάχιστα αισθητή). Για να προβάλετε ένα δεδομένο σημείο σε ένα δεδομένο επίπεδο χρησιμοποιώντας ένα σημείο φυγής, πρέπει να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή μέσω του σημείου φυγής και του δεδομένου σημείου και, στη συνέχεια, να βρείτε το σημείο τομής της προκύπτουσας ευθείας γραμμής και του επιπέδου. Και για να προβάλετε ένα πιο περίπλοκο σχήμα, ας πούμε, έναν κύβο, πρέπει να προβάλετε κάθε κορυφή του και στη συνέχεια να συνδέσετε τα αντίστοιχα σημεία. πρέπει να σημειωθεί ότι αλγόριθμος για την προβολή του χώρου στον υποχώρομπορεί να γενικευτεί στην περίπτωση 4D->3D, όχι μόνο 3D->2D.

Όπως είπα, δεν μπορούμε να φανταστούμε πώς ακριβώς μοιάζει ο άξονας OQ, όπως ακριβώς το tesseract. Αλλά μπορούμε να πάρουμε μια περιορισμένη ιδέα για αυτό αν το προβάλουμε σε έναν τόμο και μετά το σχεδιάσουμε σε μια οθόνη υπολογιστή!

Τώρα ας μιλήσουμε για την προβολή tesseract.

Αριστερά είναι η προβολή του κύβου πάνω στο επίπεδο και στα δεξιά η ψηφίδα πάνω στον όγκο. Μοιάζουν αρκετά: η προβολή ενός κύβου μοιάζει με δύο τετράγωνα, μικρά και μεγάλα, το ένα μέσα στο άλλο, και των οποίων οι αντίστοιχες κορυφές συνδέονται με γραμμές. Και η προβολή της ψηφίδας μοιάζει με δύο κύβους, μικρούς και μεγάλους, ο ένας μέσα στον άλλο και των οποίων οι αντίστοιχες κορυφές συνδέονται. Αλλά όλοι έχουμε δει τον κύβο, και μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι τόσο το μικρό τετράγωνο όσο και το μεγάλο, και τα τέσσερα τραπεζοειδή πάνω, κάτω, δεξιά και αριστερά του μικρού τετραγώνου, είναι στην πραγματικότητα τετράγωνα και είναι ίσα . Και το tesseract έχει το ίδιο πράγμα. Και ένας μεγάλος κύβος, και ένας μικρός κύβος, και έξι κολοβωμένες πυραμίδες στις πλευρές ενός μικρού κύβου - όλα αυτά είναι κύβοι και είναι ίσοι.

Το πρόγραμμά μου μπορεί όχι μόνο να σχεδιάσει την προβολή ενός τεσεράκτου σε έναν τόμο, αλλά και να τον περιστρέψει. Ας δούμε πώς γίνεται αυτό.

Αρχικά, θα σας πω τι είναι περιστροφή παράλληλη προς το επίπεδο.

Φανταστείτε ότι ο κύβος περιστρέφεται γύρω από τον άξονα OZ. Στη συνέχεια, κάθε κορυφή του περιγράφει έναν κύκλο γύρω από τον άξονα OZ.

Ο κύκλος είναι μια επίπεδη φιγούρα. Και τα επίπεδα καθενός από αυτούς τους κύκλους είναι παράλληλα μεταξύ τους, και σε αυτήν την περίπτωση παράλληλα με το επίπεδο XOY. Δηλαδή, μπορούμε να μιλάμε όχι μόνο για περιστροφή γύρω από τον άξονα OZ, αλλά και για περιστροφή παράλληλη προς το επίπεδο XOY. Όπως βλέπουμε, για σημεία που περιστρέφονται παράλληλα προς τον άξονα XOY, αλλάζουν μόνο η τετμημένη και η τεταγμένη, ενώ η εφαρμογή παραμένει Και, στην πραγματικότητα, μπορούμε να μιλάμε για περιστροφή γύρω από μια ευθεία μόνο όταν έχουμε να κάνουμε με τρισδιάστατο χώρο. Στον δισδιάστατο χώρο όλα περιστρέφονται γύρω από ένα σημείο, στον τετραδιάστατο χώρο όλα περιστρέφονται γύρω από ένα επίπεδο, στον πενταδιάστατο χώρο μιλάμε για περιστροφή γύρω από έναν όγκο. Και αν μπορούμε να φανταστούμε την περιστροφή γύρω από ένα σημείο, τότε η περιστροφή γύρω από ένα επίπεδο και τον όγκο είναι κάτι αδιανόητο. Και αν μιλάμε για περιστροφή παράλληλη προς το επίπεδο, τότε σε οποιονδήποτε ν-διάστατο χώρο ένα σημείο μπορεί να περιστρέφεται παράλληλα προς το επίπεδο.

Πολλοί από εσάς πιθανότατα έχετε ακούσει για τον πίνακα περιστροφής. Πολλαπλασιάζοντας το σημείο με αυτό, παίρνουμε ένα σημείο που περιστρέφεται παράλληλα προς το επίπεδο κατά μια γωνία phi. Για τον δισδιάστατο χώρο μοιάζει με αυτό:

Τρόπος πολλαπλασιασμού: x ενός σημείου που περιστρέφεται κατά γωνία phi = συνημίτονο της γωνίας phi*ix του αρχικού σημείου μείον ημίτονο της γωνίας phi*ig του αρχικού σημείου.
ig ενός σημείου που περιστρέφεται από μια γωνία phi = ημίτονο της γωνίας phi * ix του αρχικού σημείου συν συνημίτονο της γωνίας phi * ig του αρχικού σημείου.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, όπου Xa και Ya είναι η τετμημένη και τεταγμένη του προς περιστροφή σημείου, Xa` και Ya` είναι η τετμημένη και τεταγμένη του ήδη περιστρεφόμενου σημείου

Για τον τρισδιάστατο χώρο, αυτή η μήτρα γενικεύεται ως εξής:

Περιστροφή παράλληλη προς το επίπεδο XOY. Όπως μπορείτε να δείτε, η συντεταγμένη Z δεν αλλάζει, αλλά μόνο τα X και Y αλλάζουν
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (ουσιαστικά, Za`=Za)

Περιστροφή παράλληλη προς το επίπεδο XOZ. Τίποτα καινούργιο,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (ουσιαστικά, Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

Και η τρίτη μήτρα.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (ουσιαστικά, Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

Και για την τέταρτη διάσταση φαίνονται ως εξής:

Νομίζω ότι έχετε ήδη καταλάβει με τι πρέπει να πολλαπλασιάσετε, οπότε δεν θα υπεισέλθω ξανά σε λεπτομέρειες. Σημειώνω όμως ότι κάνει το ίδιο πράγμα με μια μήτρα για περιστροφή παράλληλη με ένα επίπεδο σε τρισδιάστατο χώρο! Και οι δύο αλλάζουν μόνο τη τεταγμένη και την εφαρμογή και δεν αγγίζουν τις άλλες συντεταγμένες, ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην τρισδιάστατη περίπτωση, απλά χωρίς να δίνουν προσοχή στην τέταρτη συντεταγμένη.

Αλλά με τον τύπο προβολής, δεν είναι όλα τόσο απλά. Όσα φόρουμ κι αν διάβασα, καμία από τις μεθόδους προβολής δεν λειτούργησε για μένα. Η παράλληλη δεν μου ταίριαζε, αφού η προβολή δεν θα φαινόταν τρισδιάστατη. Σε κάποιους τύπους προβολής, για να βρεις ένα σημείο πρέπει να λύσεις ένα σύστημα εξισώσεων (και δεν ξέρω πώς να διδάξω έναν υπολογιστή να τις λύνει), άλλους απλά δεν κατάλαβα... Γενικά, αποφάσισα να καταλήξω στον δικό μου τρόπο. Για το σκοπό αυτό, σκεφτείτε την προβολή 2D->1D.

pov σημαίνει "Point of view", ptp σημαίνει "Point to project" (το σημείο που θα προβληθεί) και ptp` είναι το επιθυμητό σημείο στον άξονα OX.

Οι γωνίες povptpB και ptpptp`A είναι ίσες ως αντίστοιχες (η διακεκομμένη γραμμή είναι παράλληλη προς τον άξονα OX, η ευθεία γραμμή povptp είναι μια τέμνουσα).
Το x του σημείου ptp` είναι ίσο με το x του σημείου ptp μείον το μήκος του τμήματος ptp`A. Αυτό το τμήμα μπορεί να βρεθεί από το τρίγωνο ptpptp`A: ptp`A = ptpA/εφαπτομένη γωνίας ptpptp`A. Μπορούμε να βρούμε αυτήν την εφαπτομένη από το τρίγωνο povptpB: εφαπτομένη ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Απάντηση: Xptp`=Xptp-Yptp/εφαπτομένη γωνίας ptpptp`A.

Δεν περιέγραψα λεπτομερώς αυτόν τον αλγόριθμο εδώ, καθώς υπάρχουν πολλές ειδικές περιπτώσεις που ο τύπος αλλάζει κάπως. Αν κάποιος ενδιαφέρεται, δες τον πηγαίο κώδικα του προγράμματος, όλα περιγράφονται εκεί στα σχόλια.

Προκειμένου να προβάλλουμε ένα σημείο σε τρισδιάστατο χώρο σε ένα επίπεδο, απλά εξετάζουμε δύο επίπεδα - το XOZ και το YOZ και λύνουμε αυτό το πρόβλημα για καθένα από αυτά. Στην περίπτωση του τετραδιάστατου χώρου, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη τρία επίπεδα: XOQ, YOQ και ZOQ.

Και τέλος, για το πρόγραμμα. Λειτουργεί ως εξής: αρχικοποιήστε δεκαέξι κορυφές του tesseract -> ανάλογα με τις εντολές που εισάγει ο χρήστης, περιστρέψτε το -> προβάλετε τον στον τόμο -> ανάλογα με τις εντολές που εισάγει ο χρήστης, περιστρέψτε την προβολή του -> project στο αεροπλάνο -> ζωγραφίζω.

Τις προβολές και τις περιστροφές τις έγραψα μόνος μου. Λειτουργούν σύμφωνα με τους τύπους που μόλις περιέγραψα. Η βιβλιοθήκη OpenGL σχεδιάζει γραμμές και χειρίζεται επίσης την ανάμειξη χρωμάτων. Και οι συντεταγμένες των κορυφών τεσσερακτών υπολογίζονται με αυτόν τον τρόπο:

Συντεταγμένες των κορυφών μιας ευθείας με κέντρο την αρχή και το μήκος 2 - (1) και (-1).
- " - " - τετράγωνο - " - " - και μια άκρη μήκους 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) και (-1; -1);
- " - " - κύβος - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Όπως μπορείτε να δείτε, ένα τετράγωνο είναι μία γραμμή πάνω από τον άξονα OY και μία γραμμή κάτω από τον άξονα OY. ένας κύβος είναι ένα τετράγωνο μπροστά από το επίπεδο XOY και ένα πίσω από αυτό. Το tesseract είναι ένας κύβος στην άλλη πλευρά του τόμου XOYZ και ένας σε αυτήν την πλευρά. Αλλά είναι πολύ πιο εύκολο να αντιληφθούμε αυτή την εναλλαγή των μονάδων και πλην ενός αν είναι γραμμένα σε μια στήλη

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Στην πρώτη στήλη, ένα και μείον ένα εναλλάσσονται. Στη δεύτερη στήλη, πρώτα υπάρχουν δύο συν και μετά δύο πλην. Στο τρίτο - τέσσερα συν ένα, και μετά τέσσερα μείον ένα. Αυτές ήταν οι κορυφές του κύβου. Το tesseract έχει διπλάσιο αριθμό από αυτά, και επομένως ήταν απαραίτητο να γραφτεί ένας βρόχος για να τα δηλώσετε, διαφορετικά είναι πολύ εύκολο να μπερδευτείτε.

Το πρόγραμμά μου μπορεί επίσης να σχεδιάσει ανάγλυφο. Οι χαρούμενοι ιδιοκτήτες γυαλιών 3D μπορούν να παρατηρήσουν μια στερεοσκοπική εικόνα. Δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο στη σχεδίαση μιας εικόνας, απλά σχεδιάζετε δύο προβολές στο επίπεδο, για το δεξί και το αριστερό μάτι. Αλλά το πρόγραμμα γίνεται πολύ πιο οπτικό και ενδιαφέρον, και το πιο σημαντικό, δίνει μια καλύτερη ιδέα του τετραδιάστατου κόσμου.

Λιγότερο σημαντικές λειτουργίες είναι ο φωτισμός μιας από τις άκρες με κόκκινο χρώμα, έτσι ώστε οι στροφές να φαίνονται καλύτερα, καθώς και μικρές ευκολίες - ρύθμιση των συντεταγμένων των σημείων "μάτι", αύξηση και μείωση της ταχύτητας στροφής.

Αρχειοθέτηση με το πρόγραμμα, πηγαίο κώδικα και οδηγίες χρήσης.

Σημεία (±1, ±1, ±1, ±1). Με άλλα λόγια, μπορεί να αναπαρασταθεί ως το ακόλουθο σύνολο:

Το τεσεράκτο περιορίζεται από οκτώ υπερεπίπεδα, η τομή των οποίων με το ίδιο το τεσεράκτ ορίζει τις τρισδιάστατες όψεις του (που είναι συνηθισμένοι κύβοι). Κάθε ζεύγος μη παράλληλων τρισδιάστατων όψεων τέμνεται για να σχηματίσει όψεις 2Δ (τετράγωνα) και ούτω καθεξής. Τέλος, το tesseract έχει 8 τρισδιάστατες όψεις, 24 όψεις 2D, 32 ακμές και 16 κορυφές.

Δημοφιλής περιγραφή

Ας προσπαθήσουμε να φανταστούμε πώς θα μοιάζει ένας υπερκύβος χωρίς να αφήνουμε τρισδιάστατο χώρο.

Σε ένα μονοδιάστατο "χώρο" - σε μια ευθεία - επιλέγουμε ένα τμήμα AB μήκους L. Σε ένα δισδιάστατο επίπεδο σε απόσταση L από το AB, σχεδιάζουμε ένα τμήμα DC παράλληλο σε αυτό και συνδέουμε τα άκρα τους. Το αποτέλεσμα είναι ένα τετράγωνο CDBA. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη λειτουργία με το επίπεδο, λαμβάνουμε έναν τρισδιάστατο κύβο CDBAGHFE. Και μετατοπίζοντας τον κύβο στην τέταρτη διάσταση (κάθετα στις τρεις πρώτες) κατά μια απόσταση L, παίρνουμε τον υπερκύβο CDBAGHFEKLJIOPNM.

Κατασκευή τεσεράκτου σε αεροπλάνο

Το μονοδιάστατο τμήμα AB χρησιμεύει ως πλευρά του δισδιάστατου τετραγώνου CDBA, το τετράγωνο - ως πλευρά του κύβου CDBAGHFE, το οποίο, με τη σειρά του, θα είναι η πλευρά του τετραδιάστατου υπερκύβου. Ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει δύο οριακά σημεία, ένα τετράγωνο έχει τέσσερις κορυφές, ένας κύβος έχει οκτώ. Σε έναν τετραδιάστατο υπερκύβο, θα υπάρχουν έτσι 16 κορυφές: 8 κορυφές του αρχικού κύβου και 8 από αυτήν που μετατοπίζεται στην τέταρτη διάσταση. Έχει 32 άκρες - 12 καθεμία δίνουν την αρχική και την τελική θέση του αρχικού κύβου και άλλες 8 άκρες «σχεδιάζουν» τις οκτώ κορυφές του, οι οποίες έχουν μετακινηθεί στην τέταρτη διάσταση. Το ίδιο σκεπτικό μπορεί να γίνει και για τις όψεις ενός υπερκύβου. Στον δισδιάστατο χώρο υπάρχει μόνο ένα (το ίδιο το τετράγωνο), ένας κύβος έχει 6 από αυτά (δύο όψεις από το μετακινούμενο τετράγωνο και άλλες τέσσερις που περιγράφουν τις πλευρές του). Ένας τετραδιάστατος υπερκύβος έχει 24 τετράγωνες όψεις - 12 τετράγωνα του αρχικού κύβου σε δύο θέσεις και 12 τετράγωνα από τις δώδεκα άκρες του.

Ακριβώς όπως οι πλευρές ενός τετραγώνου είναι 4 μονοδιάστατα τμήματα και οι πλευρές (όψεις) ενός κύβου είναι 6 δισδιάστατα τετράγωνα, έτσι και για έναν «τετραδιάστατο κύβο» (tesseract) οι πλευρές είναι 8 τρισδιάστατοι κύβοι . Οι χώροι των αντίθετων ζευγών τεσσερακτών κύβων (δηλαδή οι τρισδιάστατοι χώροι στους οποίους ανήκουν αυτοί οι κύβοι) είναι παράλληλοι. Στο σχήμα αυτοί είναι οι κύβοι: CDBAGHFE και KLJIOPNM, CDBAKLJI και GHFEOPNM, EFBAMNJI και GHDCOPLK, CKIAGOME και DLJBHPNF.

Με παρόμοιο τρόπο, μπορούμε να συνεχίσουμε τον συλλογισμό μας για υπερκύβους μεγαλύτερου αριθμού διαστάσεων, αλλά είναι πολύ πιο ενδιαφέρον να δούμε πώς θα αναζητήσει ένας τετραδιάστατος υπερκύβος για εμάς, τους κατοίκους του τρισδιάστατου χώρου. Για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε την ήδη γνωστή μέθοδο των αναλογιών.

Ας πάρουμε τον κύβο σύρματος ABCDHEFG και ας τον δούμε με το ένα μάτι από την πλευρά της άκρης. Θα δούμε και μπορούμε να σχεδιάσουμε δύο τετράγωνα στο επίπεδο (τις κοντινές και μακρινές άκρες του), που συνδέονται με τέσσερις γραμμές - πλευρικές άκρες. Ομοίως, ένας τετραδιάστατος υπερκύβος σε τρισδιάστατο χώρο θα μοιάζει με δύο κυβικά «κουτιά» που εισάγονται το ένα μέσα στο άλλο και συνδέονται με οκτώ άκρες. Σε αυτή την περίπτωση, τα ίδια τα "κουτιά" - τρισδιάστατες όψεις - θα προβάλλονται στον χώρο "μας" και οι γραμμές που τα συνδέουν θα τεντώνονται προς την κατεύθυνση του τέταρτου άξονα. Μπορείτε επίσης να προσπαθήσετε να φανταστείτε τον κύβο όχι σε προβολή, αλλά σε χωρική εικόνα.

Ακριβώς όπως ένας τρισδιάστατος κύβος σχηματίζεται από ένα τετράγωνο που μετατοπίζεται κατά το μήκος της όψης του, ένας κύβος που μετατοπίζεται στην τέταρτη διάσταση θα σχηματίσει έναν υπερκύβο. Περιορίζεται από οκτώ κύβους, οι οποίοι σε προοπτική θα μοιάζουν με κάποια μάλλον περίπλοκη φιγούρα. Ο ίδιος ο τετραδιάστατος υπερκύβος αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό κύβων, όπως ένας τρισδιάστατος κύβος μπορεί να «κοπεί» σε έναν άπειρο αριθμό επίπεδων τετραγώνων.

Κόβοντας τις έξι όψεις ενός τρισδιάστατου κύβου, μπορείτε να τον αποσυνθέσετε σε μια επίπεδη φιγούρα - μια εξέλιξη. Θα έχει ένα τετράγωνο σε κάθε πλευρά της αρχικής όψης συν ένα ακόμη - το πρόσωπο απέναντι από αυτό. Και η τρισδιάστατη ανάπτυξη ενός τετραδιάστατου υπερκύβου θα αποτελείται από τον αρχικό κύβο, έξι κύβους που «αναπτύσσονται» από αυτόν, συν έναν ακόμη - την τελική «υπερφάνεια».

Οι ιδιότητες ενός τεσεράκτου αντιπροσωπεύουν μια συνέχεια των ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων χαμηλότερης διάστασης στον τετραδιάστατο χώρο.

Προβολές

Σε δισδιάστατο χώρο

Αυτή η δομή είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς, αλλά είναι δυνατό να προβάλει ένα τεσεράκτο σε δισδιάστατους ή τρισδιάστατους χώρους. Επιπλέον, η προβολή σε ένα επίπεδο καθιστά εύκολη την κατανόηση της θέσης των κορυφών του υπερκύβου. Με αυτόν τον τρόπο, είναι δυνατό να ληφθούν εικόνες που δεν αντικατοπτρίζουν πλέον τις χωρικές σχέσεις εντός του tesseract, αλλά που απεικονίζουν τη δομή σύνδεσης κορυφής, όπως στα ακόλουθα παραδείγματα:

Η τρίτη εικόνα δείχνει την τεσερακτή σε ισομετρία, σε σχέση με το σημείο κατασκευής. Αυτή η αναπαράσταση είναι ενδιαφέρουσα όταν χρησιμοποιείται ένα tesseract ως βάση για ένα τοπολογικό δίκτυο για τη σύνδεση πολλών επεξεργαστών σε παράλληλους υπολογιστές.

Σε τρισδιάστατο χώρο

Μία από τις προβολές ενός τεσεράκτου σε τρισδιάστατο χώρο αντιπροσωπεύει δύο ένθετους τρισδιάστατους κύβους, οι αντίστοιχες κορυφές των οποίων συνδέονται με τμήματα. Ο εσωτερικός και ο εξωτερικός κύβος έχουν διαφορετικά μεγέθη στον τρισδιάστατο χώρο, αλλά στον τετραδιάστατο χώρο είναι ίσοι κύβοι. Για να κατανοήσουμε την ισότητα όλων των κύβων τεσερακτών, δημιουργήθηκε ένα περιστρεφόμενο μοντέλο τεσεράκτου.

Οι έξι κολοβωμένες πυραμίδες κατά μήκος των άκρων του τεσεράκτου είναι εικόνες ίσων έξι κύβων. Ωστόσο, αυτοί οι κύβοι είναι για ένα τεσεράκτ όπως τα τετράγωνα (πρόσωπα) σε έναν κύβο. Αλλά στην πραγματικότητα, το τεσεράκτο μπορεί να χωριστεί σε άπειρο αριθμό κύβων, όπως ένας κύβος μπορεί να χωριστεί σε άπειρο αριθμό τετραγώνων ή ένα τετράγωνο σε άπειρο αριθμό τμημάτων.

Μια άλλη ενδιαφέρουσα προβολή του τεσεράκτου σε τρισδιάστατο χώρο είναι ένα ρομβικό δωδεκάεδρο με τις τέσσερις διαγώνιες του να συνδέουν ζεύγη απέναντι κορυφών σε μεγάλες γωνίες των ρόμβων. Στην περίπτωση αυτή, οι 14 από τις 16 κορυφές της τεσεράκτου προβάλλονται σε 14 κορυφές του ρομβικού δωδεκάεδρου και οι προβολές των υπόλοιπων 2 συμπίπτουν στο κέντρο του. Σε μια τέτοια προβολή στον τρισδιάστατο χώρο, διατηρείται η ισότητα και ο παραλληλισμός όλων των μονοδιάστατων, δισδιάστατων και τρισδιάστατων πλευρών.

Στερεοφωνικό ζεύγος

Ένα στερεοφωνικό ζεύγος τεσεράκτ απεικονίζεται ως δύο προβολές σε τρισδιάστατο χώρο. Αυτή η εικόνα του τεσεράκτου σχεδιάστηκε για να αντιπροσωπεύει το βάθος ως τέταρτη διάσταση. Το στερεοφωνικό ζεύγος προβάλλεται έτσι ώστε κάθε μάτι να βλέπει μόνο μία από αυτές τις εικόνες, εμφανίζεται μια στερεοσκοπική εικόνα που αναπαράγει το βάθος του ψηφίσματος.

Ξετύλιγμα tesseract

Η επιφάνεια ενός τεσεράκτου μπορεί να ξεδιπλωθεί σε οκτώ κύβους (παρόμοια με το πώς η επιφάνεια ενός κύβου μπορεί να ξεδιπλωθεί σε έξι τετράγωνα). Υπάρχουν 261 διαφορετικά σχέδια tesseract. Το ξεδίπλωμα ενός τεσερακτού μπορεί να υπολογιστεί σχεδιάζοντας τις συνδεδεμένες γωνίες σε ένα γράφημα.

Tesseract στην τέχνη

Στο «New Abbott Plain» της Edwina A., ο υπερκύβος λειτουργεί ως αφηγητής.
Σε ένα επεισόδιο του The Adventures of Jimmy Neutron, η «ιδιοφυΐα αγόρι» Jimmy επινοεί έναν τετραδιάστατο υπερκύβο πανομοιότυπο με το foldbox από το μυθιστόρημα Glory Road (1963) του Robert Heinlein.
Ο Robert E. Heinlein έχει αναφέρει τους υπερκύβους σε τουλάχιστον τρεις ιστορίες επιστημονικής φαντασίας. Στο "The House of Four Dimensions" ("The House That Teal Built"), περιέγραψε ένα σπίτι που χτίστηκε ως ένα τεσεράκτο χωρίς τύλιγμα και στη συνέχεια, λόγω σεισμού, "δίπλωσε" στην τέταρτη διάσταση και έγινε "πραγματικό" τεσεράκτ. .
Το μυθιστόρημα Glory Road του Heinlein περιγράφει ένα υπερμεγέθη κουτί που ήταν μεγαλύτερο στο εσωτερικό παρά στο εξωτερικό.
Η ιστορία του Henry Kuttner "All Tenali Borogov" περιγράφει ένα εκπαιδευτικό παιχνίδι για παιδιά από το μακρινό μέλλον, παρόμοιο στη δομή με ένα tesseract.
Στο μυθιστόρημα του Alex Garland (), ο όρος "tesseract" χρησιμοποιείται για το τρισδιάστατο ξεδίπλωμα ενός τετραδιάστατου υπερκύβου, αντί του ίδιου του υπερκύβου. Αυτή είναι μια μεταφορά που έχει σχεδιαστεί για να δείξει ότι το γνωστικό σύστημα πρέπει να είναι ευρύτερο από το γνωστό.
Η πλοκή του Cube 2: Hypercube επικεντρώνεται σε οκτώ αγνώστους παγιδευμένους σε έναν «υπερκύβο», ή ένα δίκτυο συνδεδεμένων κύβων.
Η τηλεοπτική σειρά Andromeda χρησιμοποιεί γεννήτριες teseract ως συσκευή πλοκής. Έχουν σχεδιαστεί κυρίως για να χειρίζονται χώρο και χρόνο.
Πίνακας «The Crucifixion» (Corpus Hypercubus) του Salvador Dali ().
Το κόμικ Nextwave απεικονίζει ένα όχημα που περιλαμβάνει 5 ζώνες τεσεράκτ.
Στο άλμπουμ Voivod Nothingface μία από τις συνθέσεις ονομάζεται "In my hypercube".
Στο μυθιστόρημα Route Cube του Anthony Pearce, ένα από τα φεγγάρια της Διεθνούς Αναπτυξιακής Εταιρείας που βρίσκεται σε τροχιά ονομάζεται τεσεράκτο που έχει συμπιεστεί σε 3 διαστάσεις.
Στη σειρά "Black Hole School" στην τρίτη σεζόν υπάρχει ένα επεισόδιο "Tesseract". Ο Λούκας πατάει ένα μυστικό κουμπί και το σχολείο αρχίζει να «παίρνει σχήμα σαν μαθηματική ψηφίδα».
Ο όρος "tesseract" και το παράγωγό του "tesseract" βρίσκονται στην ιστορία της Madeleine L'Engle "A Wrinkle in Time".
Οι TesseracT είναι το όνομα ενός βρετανικού djent συγκροτήματος.
Στη σειρά ταινιών Marvel Cinematic Universe, το Tesseract είναι ένα βασικό στοιχείο της πλοκής, ένα κοσμικό τεχνούργημα σε σχήμα υπερκύβου.
Στην ιστορία του Robert Sheckley «Miss Mouse and the Fourth Dimension», ένας εσωτεριστικός συγγραφέας, γνωστός του συγγραφέα, προσπαθεί να δει το tesseract κοιτάζοντας επί ώρες τη συσκευή που σχεδίασε: μια μπάλα σε ένα πόδι με ράβδους κολλημένες σε αυτήν, οι οποίοι κύβοι είναι τοποθετημένοι, επικολλημένοι με κάθε λογής εσωτερικά σύμβολα. Η ιστορία αναφέρει το έργο του Hinton.
Στις ταινίες The First Avenger, The Avengers. Tesseract - η ενέργεια ολόκληρου του σύμπαντος

Αλλα ονόματα

Εξαδεκάχορον Εξαδεκάχορον)
Octochoron (Αγγλικά) Οκτάχορον)
Τετρακύβος
4-Κύβος
Υπερκύβος (αν δεν έχει καθοριστεί ο αριθμός των διαστάσεων)

Σημειώσεις

Βιβλιογραφία

Charles H. Hinton. Τέταρτη Διάσταση, 1904. ISBN 0-405-07953-2
Martin Gardner, Mathmatical Carnival, 1977. ISBN 0-394-72349-X
Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Συνδέσεις

Στα ρώσικα

Το πρόγραμμα Transformator4D. Σχηματισμός μοντέλων τρισδιάστατων προβολών τετραδιάστατων αντικειμένων (συμπεριλαμβανομένου του Υπερκύβου).
Ένα πρόγραμμα που υλοποιεί την κατασκευή ενός teseract και όλους τους συγγενικούς μετασχηματισμούς του, με πηγαίο κώδικα σε C++.

Στα Αγγλικά

Mushware Limited - πρόγραμμα εξόδου tesseract ( Tesseract Trainer, άδεια συμβατή με GPLv2) και shooter πρώτου προσώπου σε τετραδιάστατο χώρο ( Αδαναξής; Τα γραφικά είναι κυρίως τρισδιάστατα. Υπάρχει μια έκδοση GPL στα αποθετήρια του λειτουργικού συστήματος).

Πολύεδρα

Σωστός
(Πλατωνικά στερεά)

Αστρικό δωδεκάεδρο Αστρικό εικοσιδωδεκάεδρο Αστρικό εικοσάεδρο Αστρικό πολύεδρο Αστρικό οκτάεδρο

Κυρτός

Αρχιμήδεια στερεά	Cubooctahedron Icosidodecahedron Περικομμένο τετράεδρο Περικομμένο οκτάεδρο Περικομμένο οκτάεδρο Περικομμένο εικοσάεδρο Περικομμένο κύβος Περικομμένο δωδεκάεδρο ron Περικομμένο κυβοκτάεδρο Περικομμένο εικοσιδωδεκάεδρο Κανονικό πρίσμα Αντιπρισμός
Καταλανικά σώματα	Ρομβοδωδεκάεδρο Rhombothriacontahedron Triakisthettrahedron Tetrakishexahedron Pentakisdodecahedron Triakisoctahedron Triakisicosahedron Deltoidal icositetrahedron Deltoidal hexexontahedron Pentagonal icositetrahedronca Pentagonihedahedron edron
Χωρίς πλήρη χωρική συμμετρία	Πυραμιδικό Πρίσμα Διπυραμιδικό Αντιπρισμα Ζονοέδρο Παραλληλεπίπεδο Ρομβοέδρο Πρισματοειδές Κόλουρη πυραμίδα
Πενταγδοδεκάεδρο Παραλληλόεδρο

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι,
θεωρήματα,
θεωρίες

Αλλα

Εάν σας συνέβη ένα ασυνήθιστο περιστατικό, είδατε ένα παράξενο πλάσμα ή ένα ακατανόητο φαινόμενο, μπορείτε να μας στείλετε την ιστορία σας και θα δημοσιευτεί στην ιστοσελίδα μας ===> .

Το δόγμα των πολυδιάστατων χώρων άρχισε να εμφανίζεται στα μέσα του 19ου αιώνα. Η ιδέα του τετραδιάστατου χώρου δανείστηκε από επιστήμονες από συγγραφείς επιστημονικής φαντασίας. Στα έργα τους μίλησαν στον κόσμο για τα εκπληκτικά θαύματα της τέταρτης διάστασης.

Οι ήρωες των έργων τους, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του τετραδιάστατου χώρου, μπορούσαν να φάνε το περιεχόμενο ενός αυγού χωρίς να καταστρέψουν το κέλυφος και να πιουν ένα ποτό χωρίς να ανοίξουν το καπάκι του μπουκαλιού. Οι κλέφτες αφαίρεσαν τον θησαυρό από το χρηματοκιβώτιο μέσω της τέταρτης διάστασης. Οι χειρουργοί έκαναν επεμβάσεις σε εσωτερικά όργανα χωρίς να κόψουν τον ιστό του σώματος του ασθενούς.

Tesseract

Στη γεωμετρία, ένας υπερκύβος είναι μια n-διάστατη αναλογία ενός τετραγώνου (n = 2) και ενός κύβου (n = 3). Το τετραδιάστατο ανάλογο του συνηθισμένου τρισδιάστατου κύβου μας είναι γνωστό ως tesseract. Το τεσεράκτο είναι στον κύβο όπως ο κύβος στο τετράγωνο. Πιο τυπικά, ένα τεσεράκτο μπορεί να περιγραφεί ως ένα κανονικό κυρτό τετραδιάστατο πολύεδρο του οποίου το όριο αποτελείται από οκτώ κυβικά κύτταρα.

Κάθε ζεύγος μη παράλληλων τρισδιάστατων όψεων τέμνεται για να σχηματίσει όψεις 2Δ (τετράγωνα) και ούτω καθεξής. Τέλος, το tesseract έχει 8 τρισδιάστατες όψεις, 24 όψεις 2D, 32 ακμές και 16 κορυφές.
Παρεμπιπτόντως, σύμφωνα με το Oxford Dictionary, η λέξη tesseract επινοήθηκε και χρησιμοποιήθηκε το 1888 από τον Charles Howard Hinton (1853-1907) στο βιβλίο του A New Age of Thought. Αργότερα, κάποιοι ονόμασαν την ίδια φιγούρα τετρακύβο (ελληνικά tetra - τέσσερα) - τετραδιάστατο κύβο.

Κατασκευή και περιγραφή

Ας προσπαθήσουμε να φανταστούμε πώς θα μοιάζει ένας υπερκύβος χωρίς να αφήνουμε τρισδιάστατο χώρο.
Σε ένα μονοδιάστατο "χώρο" - σε μια ευθεία - επιλέγουμε ένα τμήμα AB μήκους L. Σε ένα δισδιάστατο επίπεδο σε απόσταση L από το AB, σχεδιάζουμε ένα τμήμα DC παράλληλο σε αυτό και συνδέουμε τα άκρα τους. Το αποτέλεσμα είναι ένα τετράγωνο CDBA. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη λειτουργία με το επίπεδο, λαμβάνουμε έναν τρισδιάστατο κύβο CDBAGHFE. Και μετατοπίζοντας τον κύβο στην τέταρτη διάσταση (κάθετα στις τρεις πρώτες) κατά μια απόσταση L, παίρνουμε τον υπερκύβο CDBAGHFEKLJIOPNM.

Ακριβώς όπως ένας τρισδιάστατος κύβος σχηματίζεται από ένα τετράγωνο που μετατοπίζεται κατά το μήκος της όψης του, ένας κύβος που μετατοπίζεται στην τέταρτη διάσταση θα σχηματίσει έναν υπερκύβο. Περιορίζεται από οκτώ κύβους, οι οποίοι σε προοπτική θα μοιάζουν με κάποια μάλλον περίπλοκη φιγούρα. Ο ίδιος ο τετραδιάστατος υπερκύβος μπορεί να χωριστεί σε έναν άπειρο αριθμό κύβων, όπως ένας τρισδιάστατος κύβος μπορεί να «κοπεί» σε άπειρο αριθμό επίπεδων τετραγώνων.

Υπερκύβος στην τέχνη

Το Tesseract είναι μια τόσο ενδιαφέρουσα φιγούρα που έχει προσελκύσει επανειλημμένα την προσοχή συγγραφέων και κινηματογραφιστών.
Ο Robert E. Heinlein ανέφερε τους υπερκύβους αρκετές φορές. Στο The House That Teal Built (1940), περιέγραψε ένα σπίτι που χτίστηκε ως μη τυλιγμένο τεσεράκτ και στη συνέχεια, λόγω σεισμού, «δίπλωσε» στην τέταρτη διάσταση για να γίνει ένα «πραγματικό» τεσεράκτ. Το μυθιστόρημα Glory Road του Heinlein περιγράφει ένα υπερμεγέθη κουτί που ήταν μεγαλύτερο στο εσωτερικό παρά στο εξωτερικό.

Η ιστορία του Henry Kuttner "All Tenali Borogov" περιγράφει ένα εκπαιδευτικό παιχνίδι για παιδιά από το μακρινό μέλλον, παρόμοιο στη δομή με ένα tesseract.

Η πλοκή του Cube 2: Hypercube επικεντρώνεται σε οκτώ αγνώστους παγιδευμένους σε έναν «υπερκύβο», ή ένα δίκτυο συνδεδεμένων κύβων.

Ένας παράλληλος κόσμος

Οι μαθηματικές αφαιρέσεις δημιούργησαν την ιδέα της ύπαρξης παράλληλων κόσμων. Αυτά νοούνται ως πραγματικότητες που υπάρχουν ταυτόχρονα με τη δική μας, αλλά ανεξάρτητα από αυτήν. Ένας παράλληλος κόσμος μπορεί να έχει διαφορετικά μεγέθη: από μια μικρή γεωγραφική περιοχή έως ένα ολόκληρο σύμπαν. Σε έναν παράλληλο κόσμο, τα γεγονότα συμβαίνουν με τον δικό τους τρόπο· μπορεί να διαφέρει από τον κόσμο μας, τόσο σε μεμονωμένες λεπτομέρειες όσο και σχεδόν σε όλα. Επιπλέον, οι φυσικοί νόμοι ενός παράλληλου κόσμου δεν είναι απαραίτητα παρόμοιοι με τους νόμους του Σύμπαντος μας.

Αυτό το θέμα είναι πρόσφορο έδαφος για συγγραφείς επιστημονικής φαντασίας.

Ο πίνακας του Σαλβαδόρ Νταλί «Η Σταύρωση» απεικονίζει ένα τεσεράκτ. «Σταύρωση ή Υπερκυβικό Σώμα» είναι ένας πίνακας του Ισπανού καλλιτέχνη Σαλβαδόρ Νταλί, ζωγραφισμένος το 1954. Απεικονίζει τον σταυρωμένο Ιησού Χριστό σε σαρωτική σάρωση. Ο πίνακας φυλάσσεται στο Μητροπολιτικό Μουσείο Τέχνης της Νέας Υόρκης

Όλα ξεκίνησαν το 1895, όταν ο H.G. Wells, με την ιστορία του «The Door in the Wall», άνοιξε την ύπαρξη παράλληλων κόσμων στην επιστημονική φαντασία. Το 1923, ο Wells επέστρεψε στην ιδέα των παράλληλων κόσμων και τοποθέτησε σε έναν από αυτούς μια ουτοπική χώρα όπου πηγαίνουν οι χαρακτήρες του μυθιστορήματος Men Like Gods.

Το μυθιστόρημα δεν πέρασε απαρατήρητο. Το 1926, εμφανίστηκε η ιστορία του G. Dent «Ο Αυτοκράτορας της Χώρας «If»» Στην ιστορία του Dent, για πρώτη φορά, προέκυψε η ιδέα ότι θα μπορούσαν να υπάρχουν χώρες (κόσμοι) των οποίων η ιστορία θα μπορούσε να είναι διαφορετική από την ιστορία των πραγματικών χωρών. Και οι κόσμοι αυτοί δεν είναι λιγότερο πραγματικοί από τον δικό μας.

Το 1944, ο Χόρχε Λουίς Μπόρχες δημοσίευσε την ιστορία «The Garden of Forking Paths» στο βιβλίο του Fictional Stories. Εδώ η ιδέα του χρόνου διακλάδωσης εκφράστηκε τελικά με απόλυτη σαφήνεια.
Παρά την εμφάνιση των έργων που αναφέρονται παραπάνω, η ιδέα πολλών κόσμων άρχισε να αναπτύσσεται σοβαρά στην επιστημονική φαντασία μόνο στα τέλη της δεκαετίας του σαράντα του 20ου αιώνα, περίπου την ίδια στιγμή που προέκυψε μια παρόμοια ιδέα στη φυσική.

Ένας από τους πρωτοπόρους της νέας κατεύθυνσης στην επιστημονική φαντασία ήταν ο John Bixby, ο οποίος πρότεινε στην ιστορία "One Way Street" (1954) ότι μεταξύ των κόσμων μπορείτε να κινηθείτε μόνο προς μια κατεύθυνση - μόλις πάτε από τον κόσμο σας σε έναν παράλληλο, δεν θα επιστρέψεις, αλλά θα μετακινηθείς από τον έναν κόσμο στον άλλο. Ωστόσο, η επιστροφή στον δικό του κόσμο δεν αποκλείεται επίσης - γι 'αυτό είναι απαραίτητο να κλείσει το σύστημα των κόσμων.

Το μυθιστόρημα του Clifford Simak A Ring Around the Sun (1982) περιγράφει πολλούς πλανήτες Γη, ο καθένας που υπάρχει στον δικό του κόσμο, αλλά στην ίδια τροχιά, και αυτοί οι κόσμοι και αυτοί οι πλανήτες διαφέρουν μεταξύ τους μόνο με μια μικρή χρονική μετατόπιση (μικρο δευτερολέπτου). Οι πολυάριθμες Γη που επισκέπτεται ο ήρωας του μυθιστορήματος αποτελούν ένα ενιαίο σύστημα κόσμων.

Ο Alfred Bester εξέφρασε μια ενδιαφέρουσα άποψη για τη διακλάδωση των κόσμων στην ιστορία του «The Man Who Killed Mohammed» (1958). «Αλλάζοντας το παρελθόν», υποστήριξε ο ήρωας της ιστορίας, «το αλλάζεις μόνο για τον εαυτό σου». Με άλλα λόγια, μετά από μια αλλαγή στο παρελθόν, προκύπτει ένας κλάδος της ιστορίας στον οποίο μόνο για τον χαρακτήρα που έκανε την αλλαγή υπάρχει αυτή η αλλαγή.

Η ιστορία των αδελφών Strugatsky «Monday Begins on Saturday» (1962) περιγράφει τα ταξίδια των χαρακτήρων σε διαφορετικές εκδοχές του μέλλοντος που περιγράφονται από συγγραφείς επιστημονικής φαντασίας - σε αντίθεση με τα ταξίδια σε διαφορετικές εκδοχές του παρελθόντος που υπήρχαν ήδη στην επιστημονική φαντασία.

Ωστόσο, ακόμη και μια απλή λίστα όλων των έργων που αγγίζουν το θέμα των παράλληλων κόσμων θα έπαιρνε πολύ χρόνο. Και παρόλο που οι συγγραφείς επιστημονικής φαντασίας, κατά κανόνα, δεν τεκμηριώνουν επιστημονικά το αξίωμα της πολυδιάστασης, έχουν δίκιο για ένα πράγμα - αυτή είναι μια υπόθεση που έχει δικαίωμα ύπαρξης.
Η τέταρτη διάσταση του τεσεράκτου μας περιμένει ακόμα να την επισκεφτούμε.

Βίκτορ Σαβίνοφ

Σύνολο:0
Σε επαφή με 0
Google+ 0
Εντάξει 0
Facebook 0