Τύπος για την εύρεση των συντεταγμένων του μέσου ενός διανύσματος. Τύποι για τη διαίρεση ενός τμήματος από αυτή την άποψη. Τύποι για τις συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματος

Εισαγωγή καρτεσιανών συντεταγμένων στο διάστημα. Απόσταση μεταξύ σημείων. Συντεταγμένες του μέσου του τμήματος.

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικός: Εξετάστε την έννοια του συστήματος συντεταγμένων και τις συντεταγμένες ενός σημείου στο χώρο. εξάγετε τον τύπο της απόστασης σε συντεταγμένες. εξάγετε τον τύπο για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος.

Εκπαιδευτικός: Να προωθήσει την ανάπτυξη της χωρικής φαντασίας των μαθητών. συμβάλλουν στην ανάπτυξη της επίλυσης προβλημάτων και στην ανάπτυξη της λογικής σκέψης των μαθητών.

Εκπαιδευτικός: Προώθηση της γνωστικής δραστηριότητας, του αισθήματος ευθύνης, της κουλτούρας της επικοινωνίας, της κουλτούρας του διαλόγου.

Εξοπλισμός: Είδη σχεδίου, παρουσίαση, κέντρο ψηφιακού σχεδιασμού

Τύπος μαθήματος: Μάθημα εκμάθησης νέου υλικού

Δομή μαθήματος:

Οργάνωση χρόνου.

Ενημέρωση βασικών γνώσεων.

Εκμάθηση νέου υλικού.

Ενημέρωση νέων γνώσεων

Περίληψη μαθήματος.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Μήνυμα από την ιστορία" Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων"(Μαθητής)

Κατά την επίλυση ενός γεωμετρικού, φυσικού, χημικού προβλήματος, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορα συστήματα συντεταγμένων: ορθογώνια, πολικά, κυλινδρικά, σφαιρικά.

Στο μάθημα της γενικής εκπαίδευσης μελετάται το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και στο διάστημα. Διαφορετικά, ονομάζεται καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων από τον Γάλλο επιστήμονα φιλόσοφο Rene Descartes (1596 - 1650), ο οποίος εισήγαγε πρώτος τις συντεταγμένες στη γεωμετρία.

(Η ιστορία του μαθητή για τον Ρενέ Ντεκάρτ.)

Ο Ρενέ Ντεκάρτ γεννήθηκε το 1596 στην πόλη Λάε στη νότια Γαλλία, σε οικογένεια ευγενών. Ο πατέρας μου ήθελε να κάνει τον Ρενέ αξιωματικό. Για να το κάνει αυτό, το 1613 έστειλε τον Ρενέ στο Παρίσι. Ο Ντεκάρτ χρειάστηκε να περάσει πολλά χρόνια στο στρατό, συμμετέχοντας σε στρατιωτικές εκστρατείες στην Ολλανδία, τη Γερμανία, την Ουγγαρία, την Τσεχία, την Ιταλία και στην πολιορκία του φρουρίου των Ουγενότων του Λα Ροσάλι. Αλλά ο Ρενέ ενδιαφερόταν για τη φιλοσοφία, τη φυσική και τα μαθηματικά. Λίγο μετά την άφιξή του στο Παρίσι, συνάντησε τον μαθητή του Βιέτα, έναν εξέχοντα μαθηματικό εκείνης της εποχής - τον Μερσέν, και στη συνέχεια άλλους μαθηματικούς στη Γαλλία. Ενώ ήταν στον στρατό, ο Ντεκάρτ αφιέρωσε όλο τον ελεύθερο χρόνο του στα μαθηματικά. Σπούδασε γερμανική άλγεβρα και γαλλικά και ελληνικά μαθηματικά.

Μετά την κατάληψη του La Rochalie το 1628, ο Descartes εγκατέλειψε το στρατό. Κάνει μοναχική ζωή για να υλοποιήσει τα εκτεταμένα σχέδιά του για επιστημονικό έργο.

Ο Ντεκάρτ ήταν ο μεγαλύτερος φιλόσοφος και μαθηματικός της εποχής του. Το πιο διάσημο έργο του Ντεκάρτ είναι η Γεωμετρία του. Ο Ντεκάρτ εισήγαγε ένα σύστημα συντεταγμένων που όλοι χρησιμοποιούν σήμερα. Καθιέρωσε μια αντιστοιχία μεταξύ αριθμών και γραμμικών τμημάτων και έτσι εισήγαγε την αλγεβρική μέθοδο στη γεωμετρία. Αυτές οι ανακαλύψεις του Ντεκάρτ έδωσαν τεράστια ώθηση στην ανάπτυξη τόσο της γεωμετρίας όσο και άλλων κλάδων των μαθηματικών και της οπτικής. Κατέστη δυνατή η γραφική απεικόνιση της εξάρτησης των ποσοτήτων στο επίπεδο συντεταγμένων, των αριθμών - ως τμήματα και η εκτέλεση αριθμητικών πράξεων σε τμήματα και άλλα γεωμετρικά μεγέθη, καθώς και διάφορες συναρτήσεις. Ήταν μια εντελώς νέα μέθοδος, που ξεχώριζε από ομορφιά, χάρη και απλότητα.

Επανάληψη. Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο.

Ερωτήσεις:

Τι ονομάζεται σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο;

Πώς καθορίζονται οι συντεταγμένες ενός σημείου σε ένα επίπεδο;

Ποιες είναι οι συντεταγμένες της προέλευσης;

Ποιος είναι ο τύπος για τις συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματος και την απόσταση μεταξύ σημείων σε ένα επίπεδο;

Εκμάθηση νέου υλικού:

Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο χώρο είναι ένα τρίο από αμοιβαία κάθετες γραμμές συντεταγμένων με κοινή αρχή. Η κοινή προέλευση υποδηλώνεται με το γράμμαΟ.

Ω - άξονας τετμημένης,

Oy – άξονας τεταγμένων,

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕz– άξονας εφαρμογής

Τρία επίπεδα που διέρχονται από τους άξονες συντεταγμένων Ox και Oy, Oy και Oz, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕzκαι Ox ονομάζονται επίπεδα συντεταγμένων: Oxy, Oyz, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕzΧ.

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, κάθε σημείο M στο χώρο συνδέεται με ένα τριπλό αριθμών - τις συντεταγμένες του.

M(x,y,z), όπου x είναι η τετμημένη, y η τεταγμένη,z- αίτηση.

Σύστημα συντεταγμένων στο χώρο

Συντεταγμένες σημείων

Απόσταση μεταξύ σημείων

1 (Χ 1 ;y 1 ;z 1 ) και ένα 2 (Χ 2 ;y 2 ;z 2 )

Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων Α 1 και ένα 2 υπολογίζεται ως εξής:

Συντεταγμένες του μέσου του τμήματος στο διάστημα

Υπάρχουν δύο αυθαίρετα σημεία Α 1 (Χ 1 ;y 1 ;z 1 ) και ένα 2 (Χ 2 ;y 2 ;z 2 ). Τότε το μέσο του τμήματος Α 1 ΕΝΑ 2 θα υπάρχει ένα σημείο Γ με συντεταγμένες x, y, z, όπου

Απόκτηση δεξιοτήτων επίλυσης:

1) Να βρείτε τις συντεταγμένες των ορθογώνιων προβολών των σημείωνΕΝΑ (1, 3, 4) και

σι (5, -6, 2) σε:

ένα αεροπλάνοOxy ; β) αεροπλάνοOyz ; γ) άξοναΒόδι ; δ) άξοναςΟζ .

Απάντηση: α) (1, 3, 0), (5, -6, 0); β) (0, 3, 4), (0, -6, 2); γ) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

δ) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

2) Σε ποια απόσταση βρίσκεται το σημείοΕΝΑ (1, -2, 3) από το επίπεδο συντεταγμένων:

ΕΝΑ)Oxy ; σι)Oxz ; V)Oyz ?

Απάντηση: α) 3; β) 2; σε 1

3) Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος:

ΕΝΑ)ΑΒ , ΑνΕΝΑ (1, 2, 3) καισι (-1, 0, 1); σι)CD , Ανντο (3, 3, 0) καιρε (3, -1, 2).

Απάντηση: α) (1, 1, 2); β) (3, 1, 1).

5. Εργασία για το σπίτι: εγχειρίδιο A.V Pogorelov “Geometry 10-11” σελ. 23 – 25, σελ. 53 απαντήστε στις ερωτήσεις Νο. 1 – 3. №7, №10(1)

6. Περίληψη μαθήματος.

Τραπέζι

Στην επιφάνεια

Στο διάστημα

Ορισμός. Ένα σύστημα συντεταγμένων είναι ένα σύνολο δύο τεμνόμενων αξόνων συντεταγμένων, το σημείο στο οποίο τέμνονται αυτοί οι άξονες - η αρχή - και τμήματα μονάδας σε κάθε έναν από τους άξονες

Ορισμός. Ένα σύστημα συντεταγμένων είναι ένα σύνολο τριών αξόνων συντεταγμένων, το σημείο στο οποίο τέμνονται αυτοί οι άξονες - η αρχή των συντεταγμένων - και τμήματα μονάδων σε κάθε έναν από τους άξονες

2 άξονες,

OU - άξονας τεταγμένων,

OX - άξονας τετμημένης

3 άξονες,

OX - άξονας τετμημένης,

OU – άξονας τεταγμένων,

OZ - άξονας εφαρμογής.

Το OX είναι κάθετο στην ΟΑ

Το OX είναι κάθετο στο OU,

Το OX είναι κάθετο στο OZ,

Το Op-amp είναι κάθετο στο OZ

(O;O)

(OOO)

Κατεύθυνση, ενιαίο τμήμα

Απόσταση μεταξύ σημείων.

Απόσταση μεταξύ σημείων

Συντεταγμένες του μέσου του τμήματος.

Συντεταγμένες του μέσου του τμήματος

Ερωτήσεις:

Πώς εισάγεται το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων; Από τι αποτελείται;

Πώς καθορίζονται οι συντεταγμένες ενός σημείου στο χώρο;

Ποια είναι η συντεταγμένη του σημείου τομής των αξόνων συντεταγμένων;

Ποια είναι η απόσταση από την αρχή έως ένα δεδομένο σημείο;

Ποιος είναι ο τύπος για τις συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματος και την απόσταση μεταξύ σημείων στο χώρο;

Αξιολόγηση μαθητή

7.Αντανάκλαση

Στο μάθημα

Εμαθα …

Εμαθα…

Μου αρέσει…

Το βρήκα δύσκολο...

Η διάθεσή μου…

Βιβλιογραφία.

A.V. Πογκορέλοφ. Σχολικό βιβλίο 10-11. Μ. «Διαφωτισμός», 2010.

ΕΙΝΑΙ. Πετράκοφ. Μαθηματικοί σύλλογοι στις τάξεις 8-10. Μ, «Διαφωτισμός», 1987

• Συντεταγμένες του μέσου του τμήματος.

Στόχοι μαθήματος

• Διευρύνετε τους ορίζοντες των εννοιών σας.
• Εξοικειωθείτε με νέους ορισμούς και θυμηθείτε μερικούς ήδη μελετημένους.
• Μάθετε να εφαρμόζετε τις ιδιότητες των σχημάτων κατά την επίλυση προβλημάτων.
• Αναπτυξιακή - για να αναπτύξουν την προσοχή των μαθητών, την επιμονή, την επιμονή, τη λογική σκέψη, τη μαθηματική ομιλία.
• Εκπαιδευτικό - μέσα από το μάθημα, καλλιεργήστε μια προσεκτική στάση ο ένας προς τον άλλον, ενσταλάξτε την ικανότητα να ακούτε τους συντρόφους, την αμοιβαία βοήθεια και την ανεξαρτησία.

Στόχοι μαθήματος

• Δοκιμάστε τις δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων των μαθητών.

Πλάνο μαθήματος

1. Εισαγωγή.
2. Επανάληψη υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως.
3. Συντεταγμένες του μέσου του τμήματος.
4. Λογικά προβλήματα.

εισαγωγή

Πριν προχωρήσω στο υλικό για το ίδιο το θέμα, θα ήθελα να μιλήσω λίγο για ένα τμήμα όχι μόνο ως μαθηματικός ορισμός. Πολλοί επιστήμονες έχουν προσπαθήσει κοιτάξτε το τμήμα διαφορετικά, είδε κάτι ασυνήθιστο σε αυτόν. Κάποιοι ταλαντούχοι καλλιτέχνες έφτιαξαν γεωμετρικά σχήματα που μεταφέρουν διάθεση και συναισθήματα.

Υπάρχουν πολλές θεωρίες για το πώς το χρώμα επηρεάζει τη διάθεσή μας και γιατί.

Το χρώμα γίνεται αισθητό και σχετίζεται στενά με τα συναισθήματά μας. Το χρώμα της φύσης, η αρχιτεκτονική, τα φυτά, τα ρούχα που μας περιβάλλουν επηρεάζουν σταδιακά τη διάθεσή μας.

Σύμφωνα με τους ειδικούς, τα χρώματα μπορούν να επηρεάσουν ένα άτομο.

• το κόκκινοτο χρώμα μπορεί να σου φτιάξει τη διάθεση και να σου δώσει δύναμη.
• Ροζτο χρώμα συμβολίζει την ειρήνη και την ηρεμία.
• Πορτοκάλιείναι ένα ζεστό, ανήσυχο χρώμα που δίνει ενέργεια και ανεβάζει τη διάθεση.
• Στην Αυτοκρατορική Κίνα κίτρινοςθεωρούνταν τόσο ιερό χρώμα που μόνο ο αυτοκράτορας μπορούσε να φορέσει κίτρινα ρούχα. Οι Αιγύπτιοι και οι Μάγια θεωρούσαν ότι το κίτρινο είναι το χρώμα του Ήλιου και σεβάστηκαν τη δύναμή του για τη διατήρηση της ζωής. Τα κίτρινα λουλούδια μπορούν να τονώσουν και να φέρουν χαρά όταν δεν αισθάνεστε καλά.
• Πράσινος- θεραπευτικό χρώμα. Προκαλεί αίσθημα ισορροπίας και αρμονίας.
• Μπλεενισχύει τη δημιουργικότητα.
• Βιολέτα- το χρώμα της στοχασμού, της πνευματικότητας και της ειρήνης. Συνδέεται με τη διαίσθηση και τη φροντίδα για τους άλλους.
• άσπροσυνήθως θεωρείται το χρώμα της αγνότητας και της αθωότητας. Συνδέεται επίσης με την έμπνευση, τη διορατικότητα, την πνευματικότητα και την αγάπη.

Αλλά υπάρχουν τόσοι πολλοί άνθρωποι και τόσες πολλές απόψεις. Ο καθένας έχει τη δική του αλήθεια.

Υπάρχει επίσης μια ενδιαφέρουσα θεωρία για το πώς συνδέεται το σχήμα μιας γραμμής ή τμήματος με τον χαρακτήρα του.

Το σχήμα, όπως και το χρώμα, είναι μια ιδιότητα ενός αντικειμένου. Μορφή- αυτά είναι τα εξωτερικά περιγράμματα ενός ορατού αντικειμένου, που αντανακλούν τις χωρικές του πτυχές (μορφή, μεταφρασμένη από τα λατινικά - εξωτερική εμφάνιση). Όλα όσα μας περιβάλλουν έχουν ένα συγκεκριμένο σχήμα. Η κατανόηση και η απεικόνιση της δομικής δομής και του σημασιολογικού περιεχομένου είναι καθήκον του καλλιτέχνη. Και εμείς, ως θεατές, πρέπει να μπορούμε να διαβάζουμε την εικόνα, να αποκρυπτογραφούμε τη φύση και το νόημα των διαφόρων μορφών. Σε ένα φύλλο χαρτιού και σε μια οθόνη υπολογιστή, σχηματίζεται ένα σχήμα όταν κλείνει μια γραμμή. Επομένως, η φύση της φόρμας εξαρτάται από τη φύση της γραμμής με την οποία σχηματίζεται.

Ποια από αυτές τις γραμμές μπορεί να εκφράσει ηρεμία, θυμό, αδιαφορία, ενθουσιασμό, χαρά;

Δεν μπορεί να υπάρξει σαφής απάντηση σε αυτή την περίπτωση. Για παράδειγμα, μια αγκαθωτή γραμμή μπορεί να εκφράσει θυμό, αγαλλίαση ή άγρια ​​χαρά που συνορεύει με την απερισκεψία.

Ποια διάθεση ή συναίσθημα αντιστοιχεί σε καθεμία από αυτές τις γραμμές;

Πώς εξαρτάται μια φόρμα από τη φύση της γραμμής με την οποία σχηματίζεται;

Επανάληψη υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως

Στο διάστημα

Υπάρχουν δύο αυθαίρετα σημεία A1(x 1 ;y 1 ;z 1) και A2(x 2 ;y 2 ;z 2). Τότε το μέσο του τμήματος A1A2 θα είναι το σημείο ΜΕμε συντεταγμένες x, y, z, όπου

Διαίρεση τμήματος σε δεδομένη αναλογία

Αν x 1 και y 1 είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α και x 2 και y 2 οι συντεταγμένες του σημείου Β, τότε οι συντεταγμένες x και y του σημείου C, που διαιρούν το τμήμα ΑΒ σε σχέση με το , καθορίζονται από τους τύπους

Το εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση τις γνωστές συντεταγμένες των κορυφών του A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3) υπολογίζεται με τον τύπο.

Ο αριθμός που λαμβάνεται χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο πρέπει να λαμβάνεται σε απόλυτη τιμή.

Παράδειγμα Νο. 1

Να βρείτε το μέσο του τμήματος ΑΒ.

Απάντηση:Οι συντεταγμένες του μέσου του τμήματος είναι ίσες με (1,5;2)

Παράδειγμα Νο. 2.

Να βρείτε το μέσο του τμήματος ΑΒ.

Απάντηση:Οι συντεταγμένες του μέσου του τμήματος είναι (21;0)

Παράδειγμα Νο. 3.

Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ αν AC=5,5 και CB=19,5.

A(1;7), B(43;-4)

Απάντηση:Συντεταγμένες του σημείου Γ(10.24;4.58)

Καθήκοντα

Εργασία Νο. 1

Βρείτε το μέσο του τμήματος DB.

Εργασία Νο. 2.

Βρείτε το μέσο του τμήματος CD.

Πώς φτιάχνονται τα αγάλματα.

Λέγεται για πολλούς διάσημους γλύπτες ότι όταν ρωτήθηκαν πώς καταφέρνουν να φτιάχνουν τόσο υπέροχα αγάλματα, η απάντηση ήταν: «Παίρνω ένα μπλοκ μάρμαρο και του κόβω οτιδήποτε περιττό». Μπορείτε να το διαβάσετε σε διάφορα βιβλία για τον Μιχαήλ Άγγελο, για τον Θόρβαλντσεν, για τον Ροντέν.

Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε περιορισμένο επίπεδο γεωμετρικό σχήμα: πρέπει να πάρετε ένα τετράγωνο στο οποίο βρίσκεται και, στη συνέχεια, να κόψετε ό,τι δεν είναι απαραίτητο. Ωστόσο, είναι απαραίτητο να αποκόψετε όχι αμέσως, αλλά σταδιακά, σε κάθε βήμα απορρίπτοντας ένα κομμάτι σε σχήμα κύκλου. Σε αυτή την περίπτωση, ο ίδιος ο κύκλος πετιέται και το όριο του - ο κύκλος - παραμένει στο σχήμα.

Με την πρώτη ματιά, φαίνεται ότι μόνο οι αριθμοί ενός συγκεκριμένου τύπου μπορούν να ληφθούν με αυτόν τον τρόπο. Αλλά το όλο θέμα είναι ότι δεν απορρίπτουν έναν ή δύο κύκλους, αλλά ένα άπειρο, ή ακριβέστερα, ένα μετρήσιμο σύνολο κύκλων. Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να πάρετε οποιαδήποτε φιγούρα. Για να πειστούμε γι' αυτό, αρκεί να λάβουμε υπόψη ότι το σύνολο των κύκλων για τους οποίους τόσο η ακτίνα όσο και οι δύο συντεταγμένες του κέντρου είναι λογικές είναι μετρήσιμο.

Και τώρα, για να πάρουμε οποιοδήποτε σχήμα, αρκεί να πάρουμε το τετράγωνο που το περιέχει (ένα μπλοκ από μάρμαρο) και να σχεδιάσουμε όλους τους κύκλους του παραπάνω τύπου που δεν περιέχουν ούτε ένα σημείο του σχήματος που χρειαζόμαστε. Εάν ρίχνετε κύκλους όχι από ένα τετράγωνο, αλλά από ολόκληρο το επίπεδο, τότε χρησιμοποιώντας την περιγραφόμενη τεχνική μπορείτε να αποκτήσετε απεριόριστες φιγούρες.

Ερωτήσεις

1. Τι είναι ένα τμήμα;
   
2. Από τι αποτελείται το τμήμα;
3. Πώς μπορείτε να βρείτε το μέσο ενός τμήματος;

Κατάλογος πηγών που χρησιμοποιήθηκαν

1. Kuznetsov A.V., δάσκαλος μαθηματικών (τάξεις 5-9), Κίεβο
2. «Ενιαία Κρατική Εξέταση 2006. Μαθηματικά. Εκπαιδευτικό και εκπαιδευτικό υλικό για την προετοιμασία των μαθητών / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. «Επίλυση των βασικών αγωνιστικών προβλημάτων στα μαθηματικά της συλλογής που επιμελήθηκε ο Μ. Ι. Σκαναβή»
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometry, 7 – 9: εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα"

Δουλέψαμε στο μάθημα

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Τατιάνα Προσνιάκοβα

Υπάρχει μια ολόκληρη ομάδα εργασιών (που περιλαμβάνονται στους τύπους προβλημάτων εξέτασης) που σχετίζονται με το επίπεδο συντεταγμένων. Πρόκειται για προβλήματα που κυμαίνονται από τα πιο βασικά, τα οποία επιλύονται προφορικά (καθορισμός τεταγμένης ή τετμημένης ενός δεδομένου σημείου ή συμμετρικού σημείου σε ένα δεδομένο σημείο και άλλα), που τελειώνουν με εργασίες που απαιτούν γνώσεις υψηλής ποιότητας, κατανόηση και καλές δεξιότητες (προβλήματα που σχετίζονται με τον γωνιακό συντελεστή ευθείας γραμμής).

Σταδιακά θα τα εξετάσουμε όλα. Σε αυτό το άρθρο, θα ξεκινήσουμε με τα βασικά. Αυτές είναι απλές εργασίες για τον προσδιορισμό: η τετμημένη και η τεταγμένη ενός σημείου, το μήκος ενός τμήματος, το μέσο ενός τμήματος, το ημίτονο ή συνημίτονο της κλίσης μιας ευθείας γραμμής.Οι περισσότεροι άνθρωποι δεν θα ενδιαφέρονται για αυτές τις εργασίες. Θεωρώ όμως απαραίτητο να τα αναφέρω.

Γεγονός είναι ότι δεν πηγαίνουν όλοι σχολείο. Πολλοί άνθρωποι δίνουν τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους 3-4 ή περισσότερα χρόνια μετά την αποφοίτησή τους και θυμούνται αόριστα τι είναι το τετμημένο και το τεταγμένο. Θα αναλύσουμε επίσης άλλες εργασίες που σχετίζονται με το επίπεδο συντεταγμένων, μην το χάσετε, εγγραφείτε σε ενημερώσεις ιστολογίου. Τώρα νλίγη θεωρία.

Ας κατασκευάσουμε το σημείο Α στο επίπεδο συντεταγμένων με συντεταγμένες x=6, y=3.

Λένε ότι η τετμημένη του σημείου Α ισούται με έξι, η τεταγμένη του σημείου Α είναι ίση με τρία.

Για να το θέσω απλά, ο άξονας ox είναι ο άξονας της τετμημένης, ο άξονας y είναι ο άξονας των τεταγμένων.

Δηλαδή, η τετμημένη είναι ένα σημείο στον άξονα x στο οποίο προβάλλεται ένα σημείο που δίνεται στο επίπεδο συντεταγμένων. Η τεταγμένη είναι το σημείο στον άξονα y στο οποίο προβάλλεται το καθορισμένο σημείο.

Μήκος τμήματος στο επίπεδο συντεταγμένων

Τύπος για τον προσδιορισμό του μήκους ενός τμήματος εάν οι συντεταγμένες των άκρων του είναι γνωστές:

Όπως μπορείτε να δείτε, το μήκος ενός τμήματος είναι το μήκος της υποτείνουσας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ίσα σκέλη

X B - X A και U B - U A

* * *

Η μέση του τμήματος. Οι συντεταγμένες της.

Τύπος για την εύρεση των συντεταγμένων του μέσου ενός τμήματος:

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία

Ο τύπος για την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία έχει τη μορφή:

όπου (x 1;y 1) και (x 2;y 2 ) συντεταγμένες δεδομένων σημείων.

Αντικαθιστώντας τις τιμές συντεταγμένων στον τύπο, ανάγεται στη μορφή:

y = kx + b, όπου k είναι η κλίση της ευθείας

Θα χρειαστούμε αυτές τις πληροφορίες κατά την επίλυση μιας άλλης ομάδας προβλημάτων που σχετίζονται με το επίπεδο συντεταγμένων. Θα υπάρξει ένα άρθρο σχετικά με αυτό, μην το χάσετε!

Τι άλλο μπορείτε να προσθέσετε;

Η γωνία κλίσης μιας ευθείας γραμμής (ή τμήματος) είναι η γωνία μεταξύ του άξονα oX και αυτής της ευθείας, που κυμαίνεται από 0 έως 180 μοίρες.

Ας εξετάσουμε τα καθήκοντα.

Από το σημείο (6;8) πέφτει κάθετος στον άξονα των τεταγμένων. Να βρείτε τη τεταγμένη της βάσης της καθέτου.

Η βάση της καθέτου που χαμηλώνει στον άξονα των τεταγμένων θα έχει συντεταγμένες (0,8). Η τεταγμένη ισούται με οκτώ.

Απάντηση: 8

Βρείτε την απόσταση από το σημείο ΕΝΑμε συντεταγμένες (6;8) προς τον άξονα τεταγμένων.

Η απόσταση από το σημείο Α έως τον άξονα τεταγμένης είναι ίση με την τετμημένη του σημείου Α.

Απάντηση: 6.

ΕΝΑ(6;8) σε σχέση με τον άξονα Βόδι.

Ένα σημείο συμμετρικό προς το σημείο Α σε σχέση με τον άξονα oX έχει συντεταγμένες (6;– 8).

Η τεταγμένη ισούται με μείον οκτώ.

Απάντηση: – 8

Να βρείτε τη τεταγμένη ενός σημείου συμμετρικού προς το σημείο ΕΝΑ(6;8) σε σχέση με την προέλευση.

Ένα σημείο συμμετρικό προς το σημείο Α σε σχέση με την αρχή έχει συντεταγμένες (– 6;– 8).

Η τεταγμένη του είναι – 8.

Απάντηση: -8

Βρείτε την τετμημένη του μέσου του τμήματος που συνδέει τα σημείαΟ(0;0) και ΕΝΑ(6;8).

Για να λυθεί το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου του τμήματος. Οι συντεταγμένες των άκρων του τμήματός μας είναι (0;0) και (6;8).

Υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Πήραμε (3;4). Η τετμημένη ισούται με τρία.

Απάντηση: 3

*Η τετμημένη του μέσου ενός τμήματος μπορεί να προσδιοριστεί χωρίς υπολογισμό χρησιμοποιώντας έναν τύπο κατασκευάζοντας αυτό το τμήμα σε ένα επίπεδο συντεταγμένων σε ένα φύλλο χαρτιού σε ένα τετράγωνο. Η μέση του τμήματος θα είναι εύκολο να προσδιοριστεί από τα κελιά.

Βρείτε την τετμημένη του μέσου του τμήματος που συνδέει τα σημεία ΕΝΑ(6;8) και σι(–2;2).

Για να λυθεί το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου του τμήματος. Οι συντεταγμένες των άκρων του τμήματός μας είναι (–2;2) και (6;8).

Υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Πήραμε (2,5). Η τετμημένη ισούται με δύο.

Απάντηση: 2

*Η τετμημένη του μέσου ενός τμήματος μπορεί να προσδιοριστεί χωρίς υπολογισμό χρησιμοποιώντας έναν τύπο κατασκευάζοντας αυτό το τμήμα σε ένα επίπεδο συντεταγμένων σε ένα φύλλο χαρτιού σε ένα τετράγωνο.

Βρείτε το μήκος του τμήματος που συνδέει τα σημεία (0;0) και (6;8).

Το μήκος του τμήματος στις δεδομένες συντεταγμένες των άκρων του υπολογίζεται από τον τύπο:

στην περίπτωσή μας έχουμε Ο(0;0) και Α(6;8). Που σημαίνει,

*Η σειρά των συντεταγμένων δεν έχει σημασία κατά την αφαίρεση. Μπορείτε να αφαιρέσετε την τετμημένη και τη τεταγμένη του σημείου Α από την τετμημένη και τη τεταγμένη του σημείου Ο:

Απάντηση: 10

Βρείτε το συνημίτονο της κλίσης του τμήματος που συνδέει τα σημεία Ο(0;0) και ΕΝΑ(6;8), με άξονα x.

Η γωνία κλίσης ενός τμήματος είναι η γωνία μεταξύ αυτού του τμήματος και του άξονα oX.

Από το σημείο Α χαμηλώνουμε μια κάθετη στον άξονα oX:

Δηλαδή, η γωνία κλίσης ενός τμήματος είναι η γωνίαSAIσε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΟ.

Το συνημίτονο οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι

αναλογία διπλανού ποδιού προς υπόταση

Πρέπει να βρούμε την υποτείνουσαΟΑ.

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών.

Έτσι, το συνημίτονο της γωνίας κλίσης είναι 0,6

Απάντηση: 0,6

Από το σημείο (6;8) πέφτει μια κάθετη στον άξονα της τετμημένης. Να βρείτε το τετμημένο της βάσης της καθέτου.

Μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης χαράσσεται από το σημείο (6;8). Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου τομής του με τον άξονα OU.

Βρείτε την απόσταση από το σημείο ΕΝΑμε συντεταγμένες (6;8) προς τον άξονα της τετμημένης.

Βρείτε την απόσταση από το σημείο ΕΝΑμε συντεταγμένες (6;8) προς την αρχή.

Πολύ συχνά στο Πρόβλημα Γ2 πρέπει να εργαστείτε με σημεία που διχοτομούν ένα τμήμα. Οι συντεταγμένες τέτοιων σημείων υπολογίζονται εύκολα εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των άκρων του τμήματος.

Έστω λοιπόν το τμήμα να ορίζεται από τα άκρα του - σημεία A = (x a; y a; z a) και B = (x b; y b; z b). Στη συνέχεια, οι συντεταγμένες του μέσου του τμήματος - ας το συμβολίσουμε με το σημείο H - μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των συντεταγμένων των άκρων του.

· Εργο . Ο μοναδιαίος κύβος ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 τοποθετείται σε ένα σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε οι άξονες x, y και z να κατευθύνονται κατά μήκος των άκρων AB, AD και AA 1, αντίστοιχα, και η αρχή συμπίπτει με το σημείο A. Το σημείο K είναι το μέσο της άκρης A 1 B 1 . Βρείτε τις συντεταγμένες αυτού του σημείου.

Λύση. Δεδομένου ότι το σημείο K είναι το μέσο του τμήματος A 1 B 1, οι συντεταγμένες του είναι ίσες με τον αριθμητικό μέσο όρο των συντεταγμένων των άκρων. Ας γράψουμε τις συντεταγμένες των άκρων: A 1 = (0; 0; 1) και B 1 = (1; 0; 1). Τώρα ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ:

Απάντηση: K = (0,5; 0; 1)

· Εργο . Ο μοναδιαίος κύβος ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 τοποθετείται σε ένα σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε οι άξονες x, y και z να κατευθύνονται κατά μήκος των άκρων AB, AD και AA 1, αντίστοιχα, και η αρχή να συμπίπτει με το σημείο Α. Βρείτε το συντεταγμένες του σημείου L στο οποίο τέμνουν διαγώνιες του τετραγώνου A 1 B 1 C 1 D 1 .

Λύση. Από το μάθημα της επιπεδομετρίας γνωρίζουμε ότι το σημείο τομής των διαγωνίων ενός τετραγώνου ισαπέχει από όλες τις κορυφές του. Συγκεκριμένα, A 1 L = C 1 L, δηλ. Το σημείο L είναι το μέσο του τμήματος A 1 C 1. Αλλά A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), οπότε έχουμε:

Απάντηση: L = (0,5; 0,5; 1)

Τα απλούστερα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας.
Ενέργειες με διανύσματα σε συντεταγμένες

Συνιστάται ιδιαίτερα να μάθετε πώς να επιλύετε τις εργασίες που θα εξεταστούν πλήρως αυτόματα και τους τύπους απομνημονεύω, δεν χρειάζεται καν να το θυμάστε επίτηδες, θα το θυμούνται μόνοι τους =) Αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς άλλα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας βασίζονται στα πιο απλά στοιχειώδη παραδείγματα και θα είναι ενοχλητικό να αφιερώνετε επιπλέον χρόνο τρώγοντας πιόνια . Δεν χρειάζεται να κουμπώσετε τα πάνω κουμπιά στο πουκάμισό σας, πολλά πράγματα σας είναι γνωστά από το σχολείο.

Η παρουσίαση του υλικού θα ακολουθήσει παράλληλη πορεία -τόσο για το αεροπλάνο όσο και για το διάστημα. Για το λόγο ότι όλες οι φόρμουλες... θα το δείτε μόνοι σας.

Μετά από επίπονη δουλειά, ξαφνικά παρατήρησα ότι το μέγεθος των ιστοσελίδων είναι αρκετά μεγάλο, και αν τα πράγματα συνεχίσουν έτσι, τότε μπορώ ήσυχα να ξεφύγω =) Ως εκ τούτου, φέρνω στην προσοχή σας ένα σύντομο δοκίμιο αφιερωμένο σε ένα πολύ κοινό γεωμετρικό πρόβλημα - σχετικά με τη διαίρεση ενός τμήματος από αυτή την άποψηκαι, ως ειδική περίπτωση, σχετικά με τη διαίρεση ενός τμήματος στη μέση.

Για τον ένα ή τον άλλο λόγο, αυτό το έργο δεν χωρούσε σε άλλα μαθήματα, αλλά τώρα υπάρχει μια μεγάλη ευκαιρία να το εξετάσετε λεπτομερώς και χαλαρά. Τα καλά νέα είναι ότι θα κάνουμε ένα διάλειμμα από τα διανύσματα και θα επικεντρωθούμε σε σημεία και τμήματα.

Τύποι για τη διαίρεση ενός τμήματος από αυτή την άποψη

Η έννοια της διαίρεσης ενός τμήματος από αυτή την άποψη

Συχνά δεν χρειάζεται να περιμένετε καθόλου για αυτό που υποσχέθηκε, ας δούμε αμέσως μερικά σημεία και, προφανώς, το απίστευτο - το τμήμα:

Το πρόβλημα που εξετάζεται ισχύει τόσο για τμήματα του επιπέδου όσο και για τμήματα του χώρου. Δηλαδή, το τμήμα επίδειξης μπορεί να τοποθετηθεί όπως επιθυμείτε σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα. Για ευκολία εξήγησης, το σχεδίασα οριζόντια.

Τι θα κάνουμε με αυτό το τμήμα; Αυτή τη φορά για να κόψετε. Κάποιος κόβει έναν προϋπολογισμό, κάποιος κόβει έναν σύζυγο, κάποιος κόβει καυσόξυλα και θα αρχίσουμε να κόβουμε το τμήμα σε δύο μέρη. Το τμήμα χωρίζεται σε δύο μέρη χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο σημείο, το οποίο, φυσικά, βρίσκεται απευθείας σε αυτό:

Σε αυτό το παράδειγμα, το σημείο διαιρεί το τμήμα με τέτοιο τρόπο ώστε το τμήμα να είναι το μισό του μήκους του τμήματος. Μπορείτε επίσης να πείτε ότι ένα σημείο διαιρεί ένα τμήμα σε αναλογία ("ένα προς δύο"), μετρώντας από την κορυφή.

Σε στεγνή μαθηματική γλώσσα, αυτό το γεγονός γράφεται ως εξής: , ή πιο συχνά με τη μορφή της συνήθους αναλογίας: . Η αναλογία των τμημάτων συνήθως συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα «λάμδα», σε αυτήν την περίπτωση: .

Είναι εύκολο να συνθέσετε την αναλογία με διαφορετική σειρά: - αυτή η σημείωση σημαίνει ότι το τμήμα είναι διπλάσιο από το τμήμα, αλλά αυτό δεν έχει καμία θεμελιώδη σημασία για την επίλυση προβλημάτων. Μπορεί να είναι έτσι, ή μπορεί να είναι έτσι.

Φυσικά, το τμήμα μπορεί εύκολα να διαιρεθεί από κάποια άλλη άποψη, και για να ενισχύσουμε την έννοια, το δεύτερο παράδειγμα:

Εδώ ισχύει η ακόλουθη αναλογία: . Αν κάνουμε την αναλογία αντίστροφα, τότε παίρνουμε: .

Αφού καταλάβουμε τι σημαίνει η διαίρεση ενός τμήματος από αυτή την άποψη, προχωράμε στην εξέταση πρακτικών προβλημάτων.

Εάν είναι γνωστά δύο σημεία του επιπέδου, τότε οι συντεταγμένες του σημείου που διαιρεί το τμήμα σε σχέση με εκφράζονται με τους τύπους:

Από πού προήλθαν αυτοί οι τύποι; Κατά τη διάρκεια της αναλυτικής γεωμετρίας, αυτοί οι τύποι προέρχονται αυστηρά χρησιμοποιώντας διανύσματα (πού θα ήμασταν χωρίς αυτά; =)). Επιπλέον, ισχύουν όχι μόνο για το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, αλλά και για ένα αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων (βλ. μάθημα Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτων). Αυτό είναι ένα τόσο καθολικό έργο.

Παράδειγμα 1

Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου που διαιρεί το τμήμα στη σχέση αν τα σημεία είναι γνωστά

Λύση: Σε αυτό το πρόβλημα. Χρησιμοποιώντας τους τύπους για τη διαίρεση ενός τμήματος σε αυτή τη σχέση, βρίσκουμε το σημείο:

Απάντηση:

Δώστε προσοχή στην τεχνική υπολογισμού: πρώτα πρέπει να υπολογίσετε χωριστά τον αριθμητή και τον παρονομαστή ξεχωριστά. Το αποτέλεσμα είναι συχνά (αλλά όχι πάντα) ένα κλάσμα τριών ή τεσσάρων ορόφων. Μετά από αυτό, απαλλαγούμε από την πολυώροφη δομή του κλάσματος και πραγματοποιούμε τις τελικές απλοποιήσεις.

Η εργασία δεν απαιτεί σχέδιο, αλλά είναι πάντα χρήσιμο να το κάνετε σε πρόχειρη μορφή:

Πράγματι, η σχέση ικανοποιείται, δηλαδή, το τμήμα είναι τρεις φορές μικρότερο από το τμήμα . Εάν η αναλογία δεν είναι προφανής, τότε τα τμήματα μπορούν πάντα να μετρηθούν ανόητα με έναν συνηθισμένο χάρακα.

Εξίσου πολύτιμο δεύτερη λύση: σε αυτό η αντίστροφη μέτρηση ξεκινά από ένα σημείο και η ακόλουθη σχέση είναι δίκαιη: (με ανθρώπινα λόγια, ένα τμήμα είναι τρεις φορές μεγαλύτερο από ένα τμήμα ). Σύμφωνα με τους τύπους για τη διαίρεση ενός τμήματος από αυτή την άποψη:

Απάντηση:

Σημειώστε ότι στους τύπους είναι απαραίτητο να μετακινήσετε τις συντεταγμένες του σημείου στην πρώτη θέση, αφού το μικρό θρίλερ ξεκίνησε με αυτό.

Είναι επίσης σαφές ότι η δεύτερη μέθοδος είναι πιο ορθολογική λόγω απλούστερων υπολογισμών. Ωστόσο, αυτό το πρόβλημα συχνά επιλύεται με τον «παραδοσιακό» τρόπο. Για παράδειγμα, εάν σύμφωνα με τη συνθήκη δίνεται ένα τμήμα, τότε υποτίθεται ότι θα σχηματίσετε μια αναλογία εάν δοθεί ένα τμήμα, τότε η αναλογία υπονοείται «σιωπηρά».

Και έδωσα τη δεύτερη μέθοδο για τον λόγο ότι συχνά προσπαθούν να μπερδέψουν σκόπιμα τις συνθήκες του προβλήματος. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο είναι πολύ σημαντικό να πραγματοποιηθεί ένα πρόχειρο σχέδιο προκειμένου, πρώτον, να αναλυθεί σωστά η κατάσταση και, δεύτερον, για λόγους επαλήθευσης. Είναι κρίμα να κάνεις λάθη σε ένα τόσο απλό έργο.

Παράδειγμα 2

Δίνονται βαθμοί . Εύρημα:

α) ένα σημείο που διαιρεί το τμήμα σε σχέση με ;
β) ένα σημείο που διαιρεί το τμήμα σε σχέση με .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Μερικές φορές υπάρχουν προβλήματα όπου ένα από τα άκρα του τμήματος είναι άγνωστο:

Παράδειγμα 3

Το σημείο ανήκει στο τμήμα. Είναι γνωστό ότι ένα τμήμα είναι διπλάσιο από ένα τμήμα. Βρείτε το σημείο αν .

Λύση: Από την συνθήκη προκύπτει ότι το σημείο διαιρεί το τμήμα στον λόγο , μετρώντας από την κορυφή , δηλαδή ισχύει η αναλογία: . Σύμφωνα με τους τύπους για τη διαίρεση ενός τμήματος από αυτή την άποψη:

Τώρα δεν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου :, αλλά αυτό δεν είναι ιδιαίτερο πρόβλημα, αφού μπορούν να εκφραστούν εύκολα από τους παραπάνω τύπους. Δεν κοστίζει τίποτα η έκφραση με γενικούς όρους, είναι πολύ πιο εύκολο να αντικαταστήσετε συγκεκριμένους αριθμούς και να υπολογίσετε προσεκτικά τους υπολογισμούς:

Απάντηση:

Για να ελέγξετε, μπορείτε να πάρετε τα άκρα του τμήματος και, χρησιμοποιώντας τύπους με άμεση σειρά, να βεβαιωθείτε ότι η σχέση καταλήγει πραγματικά σε ένα σημείο. Και, φυσικά, φυσικά, ένα σχέδιο δεν θα είναι περιττό. Και για να σας πείσω επιτέλους για τα οφέλη ενός καρώ σημειωματάριου, ενός απλού μολυβιού και ενός χάρακα, σας προτείνω ένα δύσκολο πρόβλημα να λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 4

Τελεία . Το τμήμα είναι μιάμιση φορά μικρότερο από το τμήμα. Βρείτε ένα σημείο αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των σημείων .

Η λύση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος. Παρεμπιπτόντως, δεν είναι το μόνο αν ακολουθήσετε διαφορετικό μονοπάτι από το δείγμα, δεν θα είναι λάθος, το κύριο πράγμα είναι ότι οι απαντήσεις ταιριάζουν.

Για τα χωρικά τμήματα όλα θα είναι ακριβώς τα ίδια, θα προστεθεί μόνο μία ακόμη συντεταγμένη.

Εάν είναι γνωστά δύο σημεία στο χώρο, τότε οι συντεταγμένες του σημείου που διαιρεί το τμήμα σε σχέση με εκφράζονται με τους τύπους:
.

Παράδειγμα 5

Δίνονται βαθμοί. Να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου που ανήκει στο τμήμα αν είναι γνωστό ότι .

Λύση: Η συνθήκη υποδηλώνει τη σχέση: . Αυτό το παράδειγμα λήφθηκε από ένα πραγματικό τεστ και ο συγγραφέας του επέτρεψε στον εαυτό του μια μικρή φάρσα (σε περίπτωση που κάποιος σκοντάψει) - θα ήταν πιο λογικό να γράψει την αναλογία στη συνθήκη ως εξής: .

Σύμφωνα με τους τύπους για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος:

Απάντηση:

Τα τρισδιάστατα σχέδια για σκοπούς επιθεώρησης είναι πολύ πιο δύσκολο να παραχθούν. Ωστόσο, μπορείτε πάντα να κάνετε ένα σχηματικό σχέδιο για να κατανοήσετε τουλάχιστον τη συνθήκη - ποια τμήματα πρέπει να συσχετιστούν.

Όσο για τα κλάσματα στην απάντηση, μην εκπλαγείτε, είναι συνηθισμένο πράγμα. Το έχω πει πολλές φορές, αλλά θα το επαναλάβω: στα ανώτερα μαθηματικά συνηθίζεται να χρησιμοποιούνται συνηθισμένα κανονικά και ακατάλληλα κλάσματα. Η απάντηση βρίσκεται στη φόρμα θα κάνει, αλλά η επιλογή με ακατάλληλα κλάσματα είναι πιο τυπική.

Εργασία προθέρμανσης για ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 6

Δίνονται βαθμοί. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου αν είναι γνωστό ότι διαιρεί το τμήμα στην αναλογία.

Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος. Εάν είναι δύσκολο να πλοηγηθείτε στις αναλογίες, κάντε ένα σχηματικό σχέδιο.

Σε ανεξάρτητη και δοκιμαστική εργασία, τα παραδείγματα που εξετάζονται βρίσκονται τόσο μόνα τους όσο και ως αναπόσπαστο μέρος μεγαλύτερων εργασιών. Με αυτή την έννοια, το πρόβλημα της εύρεσης του κέντρου βάρους ενός τριγώνου είναι χαρακτηριστικό.

Δεν βλέπω πολύ νόημα στην ανάλυση του τύπου της εργασίας όπου ένα από τα άκρα του τμήματος είναι άγνωστο, καθώς όλα θα είναι παρόμοια με την επίπεδη περίπτωση, εκτός από το ότι υπάρχουν λίγοι περισσότεροι υπολογισμοί. Ας θυμηθούμε καλύτερα τα σχολικά μας χρόνια:

Τύποι για τις συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματος

Ακόμη και οι μη εκπαιδευμένοι αναγνώστες μπορούν να θυμηθούν πώς να χωρίσουν ένα τμήμα στη μέση. Το πρόβλημα της διαίρεσης ενός τμήματος σε δύο ίσα μέρη είναι μια ειδική περίπτωση διαίρεσης ενός τμήματος από αυτή την άποψη. Το πριόνι με δύο χέρια λειτουργεί με τον πιο δημοκρατικό τρόπο και κάθε γείτονας στο γραφείο παίρνει το ίδιο ραβδί:

Την πανηγυρική αυτή ώρα τα τύμπανα χτυπούσαν, καλωσορίζοντας τη σημαντική αναλογία. Και γενικές φόρμουλες μεταμορφώθηκε από θαύμα σε κάτι οικείο και απλό:

Ένα βολικό σημείο είναι το γεγονός ότι οι συντεταγμένες των άκρων του τμήματος μπορούν να αναδιαταχθούν ανώδυνα:

Σε γενικούς τύπους, ένα τόσο πολυτελές δωμάτιο, όπως καταλαβαίνετε, δεν λειτουργεί. Και εδώ δεν υπάρχει ιδιαίτερη ανάγκη γι 'αυτό, επομένως είναι ένα ωραίο μικρό πράγμα.

Για τη χωρική περίπτωση, ισχύει μια προφανής αναλογία. Αν δίνονται τα άκρα ενός τμήματος, τότε οι συντεταγμένες του μέσου του εκφράζονται με τους τύπους:

Παράδειγμα 7

Ένα παραλληλόγραμμο ορίζεται από τις συντεταγμένες των κορυφών του. Να βρείτε το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Λύση: Όσοι επιθυμούν μπορούν να ολοκληρώσουν την κλήρωση. Συνιστώ ιδιαίτερα γκράφιτι σε όσους έχουν ξεχάσει τελείως το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας.

Σύμφωνα με τη γνωστή ιδιότητα, οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διαιρούνται στο μισό με το σημείο τομής τους, οπότε το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με δύο τρόπους.

Μέθοδος ένα: Θεωρήστε αντίθετες κορυφές . Χρησιμοποιώντας τους τύπους για τη διαίρεση ενός τμήματος στο μισό, βρίσκουμε το μέσο της διαγωνίου: