Περιοχή στις τρεις πλευρές. Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου. Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας το ύψος και τη βάση του

Τύπος περιοχήςείναι απαραίτητο για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός σχήματος, το οποίο είναι μια συνάρτηση με πραγματική αξία που ορίζεται σε μια συγκεκριμένη κατηγορία ψηφίων του ευκλείδειου επιπέδου και ικανοποιεί 4 συνθήκες:

1. Θετικότητα - Η περιοχή δεν μπορεί να είναι μικρότερη από το μηδέν.
2. Κανονικοποίηση - ένα τετράγωνο με πλευρική μονάδα έχει εμβαδόν 1.
3. Συμφωνία - τα ομοιόμορφα σχήματα έχουν ίσο εμβαδόν.
4. Προσθετικότητα - το εμβαδόν της ένωσης 2 ψηφίων χωρίς κοινά εσωτερικά σημεία είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών αυτών των σχημάτων.

Τύποι για το εμβαδόν των γεωμετρικών σχημάτων.

Γεωμετρικό σχήμα	Τύπος	Σχέδιο
Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης των αποστάσεων μεταξύ των μέσων των απέναντι πλευρών ενός κυρτού τετράπλευρου θα είναι ίσο με την ημιπερίμετρό του.
Τομέας κύκλου. Το εμβαδόν ενός τομέα ενός κύκλου είναι ίσο με το γινόμενο του τόξου του και το μισό της ακτίνας του.
Τμήμα κύκλου. Για να λάβετε την περιοχή του τμήματος ASB, αρκεί να αφαιρέσετε την περιοχή του τριγώνου AOB από την περιοχή του τομέα AOB.	S = 1 / 2 R(s - AC)
Το εμβαδόν της έλλειψης είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών του κύριου και του δευτερεύοντος ημιάξονα της έλλειψης και του αριθμού pi.
Ελλειψη. Μια άλλη επιλογή για τον υπολογισμό του εμβαδού μιας έλλειψης είναι μέσω δύο από τις ακτίνες της.
Τρίγωνο. Μέσα από τη βάση και το ύψος. Τύπος για το εμβαδόν ενός κύκλου χρησιμοποιώντας την ακτίνα και τη διάμετρό του.
Τετράγωνο . Μέσα από την πλευρά του. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους της πλευράς του.
Τετράγωνο. Μέσα από τις διαγώνιες του. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι ίσο με το μισό του τετραγώνου του μήκους της διαγωνίου του.
Κανονικό πολύγωνο. Για να προσδιορίσετε το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου, είναι απαραίτητο να το διαιρέσετε σε ίσα τρίγωνα που θα είχαν μια κοινή κορυφή στο κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.	S= r p = 1/2 r n a

Μερικές φορές στη ζωή υπάρχουν καταστάσεις που πρέπει να εμβαθύνεις στη μνήμη σου αναζητώντας ξεχασμένες σχολικές γνώσεις. Για παράδειγμα, πρέπει να προσδιορίσετε την περιοχή ενός οικοπέδου με τριγωνικό σχήμα ή ήρθε η ώρα για άλλη ανακαίνιση σε διαμέρισμα ή ιδιωτικό σπίτι και πρέπει να υπολογίσετε πόσο υλικό θα χρειαστεί για μια επιφάνεια με ένα τριγωνικό σχήμα. Υπήρξε μια εποχή που μπορούσατε να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα σε λίγα λεπτά, αλλά τώρα προσπαθείτε απεγνωσμένα να θυμηθείτε πώς να προσδιορίσετε την περιοχή ενός τριγώνου;

Μην ανησυχείτε για αυτό! Σε τελική ανάλυση, είναι πολύ φυσιολογικό όταν ο εγκέφαλος ενός ατόμου αποφασίζει να μεταφέρει τη γνώση που δεν έχει χρησιμοποιηθεί από καιρό κάπου σε μια απομακρυσμένη γωνιά, από την οποία μερικές φορές δεν είναι τόσο εύκολο να την εξαγάγει κανείς. Για να μην χρειάζεται να παλεύετε με την αναζήτηση ξεχασμένων σχολικών γνώσεων για να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα, αυτό το άρθρο περιέχει διάφορες μεθόδους που διευκολύνουν την εύρεση της απαιτούμενης περιοχής ενός τριγώνου.

Είναι γνωστό ότι ένα τρίγωνο είναι ένας τύπος πολυγώνου που περιορίζεται στον ελάχιστο δυνατό αριθμό πλευρών. Καταρχήν, κάθε πολύγωνο μπορεί να χωριστεί σε πολλά τρίγωνα συνδέοντας τις κορυφές του με τμήματα που δεν τέμνουν τις πλευρές του. Επομένως, γνωρίζοντας το τρίγωνο, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή σχεδόν οποιουδήποτε αριθμού.

Μεταξύ όλων των πιθανών τριγώνων που εμφανίζονται στη ζωή, διακρίνονται οι ακόλουθοι συγκεκριμένοι τύποι: και ορθογώνια.

Ο ευκολότερος τρόπος υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου είναι όταν μία από τις γωνίες του είναι ορθή, δηλαδή στην περίπτωση ενός ορθογώνιου τριγώνου. Είναι εύκολο να δεις ότι είναι μισό ορθογώνιο. Επομένως, το εμβαδόν του είναι ίσο με το μισό του γινόμενου των πλευρών που σχηματίζουν ορθή γωνία μεταξύ τους.

Αν γνωρίζουμε το ύψος ενός τριγώνου, που έχει χαμηλώσει από μια από τις κορυφές του στην απέναντι πλευρά, και το μήκος αυτής της πλευράς, που ονομάζεται βάση, τότε το εμβαδόν υπολογίζεται ως το μισό του γινόμενου του ύψους και της βάσης. Αυτό γράφεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

S = 1/2*b*h, στην οποία

S είναι η απαιτούμενη περιοχή του τριγώνου.

b, h - αντίστοιχα, το ύψος και η βάση του τριγώνου.

Είναι τόσο εύκολο να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου επειδή το ύψος θα διχοτομήσει την αντίθετη πλευρά και μπορεί να μετρηθεί εύκολα. Εάν η περιοχή έχει προσδιοριστεί, τότε είναι βολικό να λαμβάνεται το μήκος μιας από τις πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ως το ύψος.

Όλα αυτά είναι φυσικά καλά, αλλά πώς να προσδιορίσετε εάν μία από τις γωνίες ενός τριγώνου είναι ορθή ή όχι; Αν το μέγεθος της φιγούρας μας είναι μικρό, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε γωνία κατασκευής, τρίγωνο σχεδίασης, καρτ ποστάλ ή άλλο αντικείμενο με ορθογώνιο σχήμα.

Τι γίνεται όμως αν έχουμε ένα τριγωνικό οικόπεδο; Σε αυτήν την περίπτωση, προχωρήστε ως εξής: μετρήστε από την κορυφή της υποτιθέμενης ορθής γωνίας στη μία πλευρά πολλαπλάσιο της απόστασης του 3 (30 cm, 90 cm, 3 m) και στην άλλη πλευρά μετρήστε πολλαπλάσιο της απόστασης του 4 στην ίδια αναλογία (40 cm, 160 cm, 4 m). Τώρα πρέπει να μετρήσετε την απόσταση μεταξύ των τελικών σημείων αυτών των δύο τμημάτων. Εάν το αποτέλεσμα είναι πολλαπλάσιο του 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), τότε μπορούμε να πούμε ότι η γωνία είναι ορθή.

Εάν το μήκος καθεμιάς από τις τρεις πλευρές του σχήματός μας είναι γνωστό, τότε το εμβαδόν του τριγώνου μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron. Για να έχει απλούστερη μορφή, χρησιμοποιείται μια νέα τιμή, η οποία ονομάζεται ημιπερίμετρος. Αυτό είναι το άθροισμα όλων των πλευρών του τριγώνου μας, χωρισμένες στο μισό. Αφού υπολογιστεί η ημιπερίμετρος, μπορείτε να αρχίσετε να προσδιορίζετε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπο:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), όπου

sqrt - τετραγωνική ρίζα;

p - ημιπεριμετρική τιμή (p = (a+b+c)/2);

α, β, γ - άκρες (πλευρές) του τριγώνου.

Τι γίνεται όμως αν το τρίγωνο έχει ακανόνιστο σχήμα; Υπάρχουν δύο πιθανοί τρόποι εδώ. Το πρώτο από αυτά είναι να προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε ένα τέτοιο σχήμα σε δύο ορθογώνια τρίγωνα, το άθροισμα των εμβαδών των οποίων υπολογίζεται χωριστά και στη συνέχεια προστίθεται. Ή, εάν η γωνία μεταξύ δύο πλευρών και το μέγεθος αυτών των πλευρών είναι γνωστά, τότε εφαρμόστε τον τύπο:

S = 0,5 * ab * sinC, όπου

α, β - πλευρές του τριγώνου.

c είναι το μέγεθος της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών.

Η τελευταία περίπτωση είναι σπάνια στην πράξη, αλλά παρ 'όλα αυτά, όλα είναι πιθανά στη ζωή, οπότε η παραπάνω φόρμουλα δεν θα είναι περιττή. Καλή τύχη με τους υπολογισμούς σας!

Ορισμός τριγώνου

Τρίγωνοείναι ένα γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται ως αποτέλεσμα της τομής τριών τμημάτων, τα άκρα των οποίων δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις πλευρές, τρεις κορυφές και τρεις γωνίες.

Ηλεκτρονική αριθμομηχανή

Τα τρίγωνα έρχονται σε διάφορους τύπους. Για παράδειγμα, υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο (ένα στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες), ισοσκελές (δύο πλευρές είναι ίσες σε αυτό) και ένα ορθογώνιο (στο οποίο μία από τις γωνίες είναι ευθεία, δηλαδή ίση με 90 μοίρες).

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί με διάφορους τρόπους, ανάλογα με το ποια στοιχεία του σχήματος είναι γνωστά από τις συνθήκες του προβλήματος, είτε πρόκειται για γωνίες, μήκη ή ακόμα και για τις ακτίνες των κύκλων που σχετίζονται με το τρίγωνο. Ας δούμε κάθε μέθοδο ξεχωριστά με παραδείγματα.

Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση τη βάση και το ύψος του

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ α ⋅η,

Α α ένα- βάση του τριγώνου.
ω ω η- το ύψος του τριγώνου που σύρεται στη δεδομένη βάση α.

Παράδειγμα

Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου αν είναι γνωστό το μήκος της βάσης του, ίσο με 10 (cm) και το ύψος που τραβιέται σε αυτή τη βάση, ίσο με 5 (cm).

Λύση

A = 10 a = 10 α =1 0
h = 5 h=5 h =5

Το αντικαθιστούμε στον τύπο για το εμβαδόν και παίρνουμε:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (βλ. πλ.)

Απάντηση: 25 (εκ. τετρ.)

Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση τα μήκη όλων των πλευρών

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

Α, β, γ α, β, γ α, β, γ- μήκη των πλευρών του τριγώνου.
σελ σελ Π- το μισό άθροισμα όλων των πλευρών του τριγώνου (δηλαδή το μισό της περιμέτρου του τριγώνου):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (α +β+ντο)

Αυτός ο τύπος ονομάζεται Η φόρμουλα του Heron.

Παράδειγμα

Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου αν είναι γνωστά τα μήκη των τριών πλευρών του, ίσα με 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm).

Λύση

A = 3 a=3 α =3
b = 4 b=4 β =4
c = 5 c=5 c =5

Ας βρούμε τη μισή περίμετρο σελ σελ Π:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Τότε, σύμφωνα με τον τύπο του Heron, το εμβαδόν του τριγώνου είναι:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (βλ. πλ.)

Απάντηση: 6 (βλ. τετράγωνο)

Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε μία πλευρά και δύο γωνίες

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\γάμα))S=2 ένα 2 ​ ⋅ αμαρτία (β + γ)αμαρτία β αμαρτία γ ​ ,

Α α ένα- μήκος της πλευράς του τριγώνου.
β , γ \βήτα, \γάμα β , γ - γωνίες δίπλα στο πλάι α α ένα.

Παράδειγμα

Δίνεται πλευρά τριγώνου ίση με 10 (cm) και δύο παρακείμενες γωνίες 30 μοιρών. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου.

Λύση

A = 10 a = 10 α =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Σύμφωνα με τον τύπο:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(2)\c2t) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\περίπου 14.4S=2 1 0 2 ​ ⋅ αμαρτία (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) αμαρτία 3 0 ∘ αμαρτία 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (βλ. πλ.)

Απάντηση: 14.4 (βλ. τετρ.)

Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε τρεις πλευρές και την ακτίνα του κυκλικού κύκλου

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Rα ⋅ β ⋅ γ​ ,

Α, β, γ α, β, γ α, β, γ- πλευρές του τριγώνου.
R R R- ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου γύρω από το τρίγωνο.

Παράδειγμα

Ας πάρουμε τους αριθμούς από το δεύτερο πρόβλημά μας και ας προσθέσουμε την ακτίνα σε αυτούς R R Rκύκλους. Αφήστε το να είναι ίσο με 10 (εκ.).

Λύση

A = 3 a=3 α =3
b = 4 b=4 β =4
c = 5 c=5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (βλ. πλ.)

Απάντηση: 1,5 (cm2)

Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε τρεις πλευρές και την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου

S = p ⋅ r S=p\cdot rμικρό= Π⋅ r,

σελ σελΠ- η μισή περίμετρος του τριγώνου:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)Π= 2 ένα+ σι+ ντο​ ,

α, β, γ α, β, γένα, σι, ντο- πλευρές του τριγώνου.
r rr- την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο.

Παράδειγμα

Έστω η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου 2 (cm). Θα πάρουμε τα μήκη των πλευρών από το προηγούμενο πρόβλημα.

Λύση

$έ\nu \alpha =3b\; =\; 4\; b=4\sigma \iota =4c\; =\; 5\; c=5\nu \tau o=5r\; =\; 2\; r=2r=2$

$\Pi =23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12μικρό= 6 ⋅ 2 = 1 2 (βλ. πλ.)

Απάντηση: 12 (εκ. τετρ.)

Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)μικρό= 2 1 ​ ⋅ σι⋅ ντο⋅ αμαρτία(α ) ,

β , γ β, γσι, ντο- πλευρές του τριγώνου.

α\άλφαα - γωνία μεταξύ των πλευρών β βσιΚαι γ γντο.

Παράδειγμα

Οι πλευρές του τριγώνου είναι 5 (cm) και 6 (cm), η γωνία μεταξύ τους είναι 30 μοίρες. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου.

Λύση

$\sigma \iota =5c\; =\; 6\; c=6\nu \tau o=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5μικρό= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ αμαρτία(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (βλ. πλ.)

Απάντηση: 7,5 (εκ. τετρ.)

Όπως ίσως θυμάστε από το πρόγραμμα σπουδών της σχολικής σας γεωμετρίας, ένα τρίγωνο είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται από τρία τμήματα που συνδέονται με τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία γραμμή. Ένα τρίγωνο σχηματίζει τρεις γωνίες, εξ ου και το όνομα του σχήματος. Ο ορισμός μπορεί να είναι διαφορετικός. Ένα τρίγωνο μπορεί επίσης να ονομαστεί πολύγωνο με τρεις γωνίες, η απάντηση θα είναι επίσης σωστή. Τα τρίγωνα χωρίζονται ανάλογα με τον αριθμό των ίσων πλευρών και το μέγεθος των γωνιών στα σχήματα. Έτσι, τα τρίγωνα διακρίνονται σε ισοσκελή, ισόπλευρα και σκαλοειδή, καθώς και σε ορθογώνια, οξέα και αμβλεία αντίστοιχα.

Υπάρχουν πολλοί τύποι για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου. Επιλέξτε πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου, δηλ. Ποια φόρμουλα θα χρησιμοποιήσετε εξαρτάται από εσάς. Αλλά αξίζει να σημειωθεί μόνο μερικές από τις σημειώσεις που χρησιμοποιούνται σε πολλούς τύπους για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου. Λοιπόν, θυμηθείτε:

S είναι το εμβαδόν του τριγώνου,

α, β, γ είναι οι πλευρές του τριγώνου,

h είναι το ύψος του τριγώνου,

R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου,

p είναι η ημιπερίμετρος.

Εδώ είναι οι βασικές σημειώσεις που μπορεί να σας φανούν χρήσιμες εάν έχετε ξεχάσει εντελώς το μάθημα γεωμετρίας σας. Παρακάτω είναι οι πιο κατανοητές και απλές επιλογές για τον υπολογισμό της άγνωστης και μυστηριώδους περιοχής ενός τριγώνου. Δεν είναι δύσκολο και θα είναι χρήσιμο τόσο για τις ανάγκες του σπιτιού σας όσο και για τη βοήθεια των παιδιών σας. Ας θυμηθούμε πώς να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός τριγώνου όσο πιο εύκολα γίνεται:

Στην περίπτωσή μας, το εμβαδόν του τριγώνου είναι: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 τετραγωνικά cm. Θυμηθείτε ότι η περιοχή μετριέται σε τετραγωνικά εκατοστά (sqcm).

Ορθογώνιο τρίγωνο και το εμβαδόν του.

Ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο μια γωνία είναι ίση με 90 μοίρες (εξ ου και ορθό). Μια ορθή γωνία σχηματίζεται από δύο κάθετες ευθείες (στην περίπτωση τριγώνου, δύο κάθετα τμήματα). Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μπορεί να υπάρχει μόνο μία ορθή γωνία, γιατί... το άθροισμα όλων των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι ίσο με 180 μοίρες. Αποδεικνύεται ότι 2 άλλες γωνίες πρέπει να διαιρούν τις υπόλοιπες 90 μοίρες, για παράδειγμα 70 και 20, 45 και 45, κ.λπ. Έτσι, θυμάστε το κύριο πράγμα, το μόνο που μένει είναι να μάθετε πώς να βρείτε την περιοχή ενός ορθογώνιου τριγώνου. Ας φανταστούμε ότι έχουμε ένα τέτοιο ορθογώνιο τρίγωνο μπροστά μας και πρέπει να βρούμε το εμβαδόν του S.

1. Ο απλούστερος τρόπος προσδιορισμού του εμβαδού ενός ορθογώνιου τριγώνου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Στην περίπτωσή μας, το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου είναι: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 τετραγωνικά cm.

Κατ 'αρχήν, δεν υπάρχει πλέον καμία ανάγκη να επαληθεύσουμε την περιοχή του τριγώνου με άλλους τρόπους, επειδή Μόνο αυτό θα είναι χρήσιμο και θα βοηθήσει στην καθημερινή ζωή. Υπάρχουν όμως και επιλογές για τη μέτρηση της περιοχής ενός τριγώνου μέσω οξειών γωνιών.

2. Για άλλες μεθόδους υπολογισμού, πρέπει να έχετε έναν πίνακα συνημιτόνων, ημιτόνων και εφαπτομένων. Κρίνετε μόνοι σας, εδώ είναι μερικές επιλογές για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ορθογωνίου τριγώνου που μπορείτε ακόμα να χρησιμοποιήσετε:

Αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε τον πρώτο τύπο και με μερικές μικρές κηλίδες (τον σχεδιάσαμε σε ένα σημειωματάριο και χρησιμοποιήσαμε έναν παλιό χάρακα και μοιρογνωμόνιο), αλλά πήραμε τον σωστό υπολογισμό:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Λάβαμε τα ακόλουθα αποτελέσματα: 3,6=3,7, αλλά λαμβάνοντας υπόψη τη μετατόπιση των κελιών, μπορούμε να συγχωρήσουμε αυτήν την απόχρωση.

Ισοσκελές τρίγωνο και το εμβαδόν του.

Εάν αντιμετωπίζετε το καθήκον να υπολογίσετε τον τύπο για ένα ισοσκελές τρίγωνο, τότε ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε τον κύριο και αυτό που θεωρείται ο κλασικός τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου.

Αλλά πρώτα, πριν βρούμε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου, ας μάθουμε τι είδους σχήμα είναι. Ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο δύο πλευρές έχουν το ίδιο μήκος. Αυτές οι δύο πλευρές ονομάζονται πλευρικές, η τρίτη πλευρά ονομάζεται βάση. Μην συγχέετε ένα ισοσκελές τρίγωνο με ένα ισόπλευρο τρίγωνο, δηλ. ένα κανονικό τρίγωνο με και τις τρεις πλευρές ίσες. Σε ένα τέτοιο τρίγωνο δεν υπάρχουν ιδιαίτερες τάσεις στις γωνίες, ή μάλλον στο μέγεθός τους. Ωστόσο, οι γωνίες στη βάση σε ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ίσες, αλλά διαφορετικές από τη γωνία μεταξύ ίσων πλευρών. Έτσι, γνωρίζετε ήδη τον πρώτο και κύριο τύπο, μένει να μάθετε ποιοι άλλοι τύποι για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι γνωστοί.

Έννοια της περιοχής

Η έννοια της περιοχής οποιουδήποτε γεωμετρικού σχήματος, ιδιαίτερα ενός τριγώνου, θα συσχετιστεί με ένα σχήμα όπως ένα τετράγωνο. Για τη μονάδα εμβαδού οποιουδήποτε γεωμετρικού σχήματος θα πάρουμε το εμβαδόν ενός τετραγώνου του οποίου η πλευρά είναι ίση με ένα. Για πληρότητα, ας υπενθυμίσουμε δύο βασικές ιδιότητες για την έννοια των εμβαδών των γεωμετρικών σχημάτων.

Ιδιοκτησία 1:Αν τα γεωμετρικά σχήματα είναι ίσα, τότε τα εμβαδά τους είναι επίσης ίσα.

Ιδιοκτησία 2:Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να χωριστεί σε πολλά σχήματα. Επιπλέον, το εμβαδόν του αρχικού σχήματος είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών όλων των σχημάτων που το αποτελούν.

Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 1

Προφανώς, μία από τις πλευρές του τριγώνου είναι μια διαγώνιος ενός ορθογωνίου, η μία πλευρά του οποίου έχει μήκος $5$ (καθώς υπάρχουν $5$ κελιά) και η άλλη είναι $6$ (αφού υπάρχουν $6$ κελιά). Επομένως, το εμβαδόν αυτού του τριγώνου θα είναι ίσο με το μισό ενός τέτοιου ορθογωνίου. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι

Τότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με

Απάντηση: $15 $.

Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε διάφορες μεθόδους για την εύρεση των εμβαδών των τριγώνων, δηλαδή χρησιμοποιώντας το ύψος και τη βάση, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron και το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας το ύψος και τη βάση του

Θεώρημα 1

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το μισό γινόμενο του μήκους μιας πλευράς και του ύψους σε αυτήν την πλευρά.

Μαθηματικά μοιάζει με αυτό

$S=\frac(1)(2)αh$

όπου $a$ είναι το μήκος της πλευράς, $h$ είναι το ύψος που τραβιέται προς αυτήν.

Απόδειξη.

Θεωρήστε ένα τρίγωνο $ABC$ στο οποίο $AC=α$. Το ύψος $BH$ τραβιέται σε αυτήν την πλευρά, το οποίο είναι ίσο με $h$. Ας το φτιάξουμε στο τετράγωνο $AXYC$ όπως στο Σχήμα 2.

Το εμβαδόν του ορθογωνίου $AXBH$ είναι $h\cdot AH$ και το εμβαδόν του ορθογωνίου $HBYC$ είναι $h\cdot HC$. Επειτα

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Επομένως, το απαιτούμενο εμβαδόν του τριγώνου, από την ιδιότητα 2, είναι ίσο με

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Παράδειγμα 2

Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου στο παρακάτω σχήμα εάν το κελί έχει εμβαδόν ίσο με ένα

Η βάση αυτού του τριγώνου είναι ίση με $9$ (αφού $9$ είναι $9$ τετράγωνα). Το ύψος είναι επίσης $9 $. Στη συνέχεια, με το Θεώρημα 1, παίρνουμε

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Απάντηση: $40,5 $.

Η φόρμουλα του Heron

Θεώρημα 2

Αν μας δοθούν τρεις πλευρές τριγώνου $α$, $β$ και $γ$, τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί ως εξής

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

εδώ το $ρ$ σημαίνει την ημιπερίμετρο αυτού του τριγώνου.

Απόδειξη.

Σκεφτείτε το ακόλουθο σχήμα:

Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, από το τρίγωνο $ABH$ προκύπτει

Από το τρίγωνο $CBH$, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Από αυτές τις δύο σχέσεις προκύπτει η ισότητα

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Αφού $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, τότε $α+β+γ=2ρ$, που σημαίνει

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Με το Θεώρημα 1, παίρνουμε

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$