Το εμβαδόν ενός κυκλικού τμήματος είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ του εμβαδού του αντίστοιχου κυκλικού τομέα και του εμβαδού του τριγώνου που σχηματίζεται από τις ακτίνες του τομέα που αντιστοιχεί στο τμήμα και τη χορδή που περιορίζει το τμήμα.
Παράδειγμα 1
Το μήκος της χορδής που υποτάσσει τον κύκλο είναι ίσο με την τιμή a. Το μέτρο βαθμών του τόξου που αντιστοιχεί στη συγχορδία είναι 60°. Βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος.
Λύση
Ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από δύο ακτίνες και μια χορδή είναι ισοσκελές, επομένως το υψόμετρο που σύρεται από την κορυφή της κεντρικής γωνίας προς την πλευρά του τριγώνου που σχηματίζεται από τη χορδή θα είναι επίσης η διχοτόμος της κεντρικής γωνίας, διαιρώντας τη στο μισό και διάμεσος, χωρίζοντας τη χορδή στη μέση. Γνωρίζοντας ότι το ημίτονο της γωνίας είναι ίσο με τον λόγο του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα, μπορούμε να υπολογίσουμε την ακτίνα:
Sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah, όπου h είναι το ύψος που τραβιέται από την κορυφή της κεντρικής γωνίας προς τη χορδή. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
Αντίστοιχα, S▲=√3/4*a².
Η περιοχή του τμήματος, που υπολογίζεται ως Sreg = Sc - S▲, ισούται με:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a²
Αντικαθιστώντας μια αριθμητική τιμή με την τιμή του a, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της περιοχής του τμήματος.
Παράδειγμα 2
Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με α. Το μέτρο μοιρών του τόξου που αντιστοιχεί στο τμήμα είναι 60°. Βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος.
Λύση:
Η περιοχή του τομέα που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη γωνία μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
Sc = πα²/360°*60° = πa²/6,
Το εμβαδόν του τριγώνου που αντιστοιχεί στον τομέα υπολογίζεται ως εξής:
S▲=1/2*ah, όπου h είναι το ύψος που τραβιέται από την κορυφή της κεντρικής γωνίας προς τη χορδή. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
Αντίστοιχα, S▲=√3/4*a².
Και τέλος, η περιοχή του τμήματος, που υπολογίζεται ως Sreg = Sc - S▲, ισούται με:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a².
Οι λύσεις και στις δύο περιπτώσεις είναι σχεδόν ίδιες. Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός τμήματος στην απλούστερη περίπτωση, αρκεί να γνωρίζουμε την τιμή της γωνίας που αντιστοιχεί στο τόξο του τμήματος και μία από τις δύο παραμέτρους - είτε την ακτίνα του κύκλου είτε το μήκος της χορδής που υποτάσσει το τόξο του κύκλου που σχηματίζει το τμήμα.
- 01.10.2018
Με βάση τη μονάδα Wi-Fi NodeMcu v3 με τσιπ ESP8266 (ESP-12e), μπορείτε να φτιάξετε (για παράδειγμα) ένα θερμόμετρο σε ψηφιακό αισθητήρα 18B20· οι πληροφορίες θερμοκρασίας θα σταλούν στη βάση δεδομένων MySQL χρησιμοποιώντας ένα αίτημα GET. Το παρακάτω σκίτσο σάς επιτρέπει να στέλνετε αιτήματα GET σε μια καθορισμένη σελίδα, στην περίπτωσή μου είναι test.php. #περιλαμβάνω
#περιλαμβάνω … - 22.09.2014
Αυτόματος σταθερός ροοστάτης ελεγχόμενος από φωτοαντίσταση R7, σχεδιασμένος για λειτουργία σε σκληρές συνθήκες κρύου και μέτρια ψυχρού κλίματος σε θερμοκρασίες περιβάλλοντος από -25 έως +45 ° C, σχετική υγρασία αέρα έως 85% σε θερμοκρασία +20 ° C και ατμοσφαιρική πίεση εντός 200 …900 mm Hg. Ένας ροοστάτης χρησιμοποιείται για τη ρύθμιση του φωτισμού ενός ατόμου...
- 25.09.2014
Για να αποφύγετε ζημιά στην καλωδίωση κατά τις εργασίες επισκευής, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε μια συσκευή για τον εντοπισμό κρυφών καλωδίων. Η συσκευή ανιχνεύει όχι μόνο τη θέση της κρυφής καλωδίωσης, αλλά και τη θέση της ζημιάς στην κρυφή καλωδίωση. Η συσκευή είναι ένας ενισχυτής ήχου· στο πρώτο στάδιο, χρησιμοποιείται ένα τρανζίστορ πεδίου για την αύξηση της αντίστασης εισόδου. Στο δεύτερο στάδιο του op-amp. Αισθητήρας -...
- 03.10.2014
Η προτεινόμενη συσκευή σταθεροποιεί τάση έως 24V και ρεύμα έως 2Α με προστασία βραχυκυκλώματος. Σε περίπτωση ασταθούς εκκίνησης του σταθεροποιητή, θα πρέπει να χρησιμοποιείται συγχρονισμός από μια αυτόνομη γεννήτρια παλμών (Εικ. 2. Το κύκλωμα σταθεροποιητή φαίνεται στο Σχ. 1. Στο VT1 VT2 συναρμολογείται μια σκανδάλη Schmitt, η οποία ελέγχει ένα ισχυρό ρυθμιστικό τρανζίστορ VT3. Λεπτομέρειες: Το VT3 είναι εξοπλισμένο με ψύκτρα...
Ο κύκλος, τα μέρη του, τα μεγέθη και οι σχέσεις τους είναι πράγματα που συναντά συνεχώς ένας κοσμηματοπώλης. Δαχτυλίδια, βραχιόλια, κάστες, σωλήνες, μπάλες, σπείρες - πρέπει να γίνουν πολλά στρογγυλά πράγματα. Πώς μπορείτε να τα υπολογίσετε όλα αυτά, ειδικά αν είχατε την τύχη να παραλείψετε τα μαθήματα γεωμετρίας στο σχολείο;
Ας δούμε πρώτα ποια μέρη έχει ένας κύκλος και πώς ονομάζονται.
- Ένας κύκλος είναι μια γραμμή που περικλείει έναν κύκλο.
- Το τόξο είναι μέρος ενός κύκλου.
- Η ακτίνα είναι ένα τμήμα που συνδέει το κέντρο ενός κύκλου με οποιοδήποτε σημείο του κύκλου.
- Μια χορδή είναι ένα τμήμα που συνδέει δύο σημεία σε έναν κύκλο.
- Ένα τμήμα είναι ένα μέρος ενός κύκλου που οριοθετείται από μια χορδή και ένα τόξο.
- Ένας τομέας είναι ένα μέρος ενός κύκλου που οριοθετείται από δύο ακτίνες και ένα τόξο.
Οι ποσότητες που μας ενδιαφέρουν και οι ονομασίες τους:
Ας δούμε τώρα ποια προβλήματα που σχετίζονται με μέρη ενός κύκλου πρέπει να λυθούν.
- Βρείτε το μήκος της ανάπτυξης οποιουδήποτε μέρους του δαχτυλιδιού (βραχιόλι). Δεδομένης της διαμέτρου και της χορδής (επιλογή: διάμετρος και κεντρική γωνία), βρείτε το μήκος του τόξου.
- Υπάρχει ένα σχέδιο σε ένα αεροπλάνο, πρέπει να μάθετε το μέγεθός του σε προβολή αφού το λυγίσετε σε ένα τόξο. Λαμβάνοντας υπόψη το μήκος και τη διάμετρο του τόξου, βρείτε το μήκος της χορδής.
- Μάθετε το ύψος του εξαρτήματος που λαμβάνεται λυγίζοντας ένα επίπεδο τεμάχιο εργασίας σε ένα τόξο. Επιλογές δεδομένων πηγής: μήκος και διάμετρος τόξου, μήκος τόξου και χορδή. βρείτε το ύψος του τμήματος.
Η ζωή θα σας δώσει άλλα παραδείγματα, αλλά τα έδωσα μόνο για να δείξω την ανάγκη να ορίσετε κάποιες δύο παραμέτρους για να βρείτε όλες τις άλλες. Αυτό θα κάνουμε. Δηλαδή, θα πάρουμε πέντε παραμέτρους του τμήματος: D, L, X, φ και H. Στη συνέχεια, επιλέγοντας όλα τα πιθανά ζεύγη από αυτές, θα τα θεωρήσουμε αρχικά δεδομένα και θα βρούμε όλες τις υπόλοιπες με καταιγισμό ιδεών.
Για να μην επιβαρύνω άσκοπα τον αναγνώστη, δεν θα δώσω αναλυτικές λύσεις, αλλά θα παρουσιάσω μόνο τα αποτελέσματα με τη μορφή τύπων (όσες περιπτώσεις δεν υπάρχει επίσημη λύση, θα τις συζητήσω στην πορεία).
Και μια ακόμη σημείωση: για τις μονάδες μέτρησης. Όλες οι ποσότητες, εκτός από την κεντρική γωνία, μετρώνται στις ίδιες αφηρημένες μονάδες. Αυτό σημαίνει ότι εάν, για παράδειγμα, καθορίσετε μια τιμή σε χιλιοστά, τότε η άλλη δεν χρειάζεται να καθοριστεί σε εκατοστά και οι προκύπτουσες τιμές θα μετρηθούν στα ίδια χιλιοστά (και οι περιοχές σε τετραγωνικά χιλιοστά). Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για ίντσες, πόδια και ναυτικά μίλια.
Και μόνο η κεντρική γωνία σε όλες τις περιπτώσεις μετριέται σε μοίρες και τίποτα άλλο. Επειδή, κατά κανόνα, οι άνθρωποι που σχεδιάζουν κάτι στρογγυλό δεν έχουν την τάση να μετρούν τις γωνίες σε ακτίνια. Η φράση «γωνία πι επί τέσσερα» μπερδεύει πολλούς, ενώ η «γωνία σαράντα πέντε μοίρες» είναι κατανοητή σε όλους, αφού είναι μόλις πέντε μοίρες υψηλότερη από το κανονικό. Ωστόσο, σε όλους τους τύπους θα υπάρχει μια ακόμη γωνία - α - ως ενδιάμεση τιμή. Στην έννοια, αυτή είναι η μισή της κεντρικής γωνίας, μετρημένη σε ακτίνια, αλλά δεν μπορείτε με ασφάλεια να εμβαθύνετε σε αυτό το νόημα.
1. Δίνεται η διάμετρος D και το μήκος τόξου L
; μήκος χορδής 
;
ύψος τμήματος 
; επίκεντρη γωνία 
.
2. Δίνεται διάμετρος D και μήκος χορδής X
; μήκος τόξου ;
ύψος τμήματος ; επίκεντρη γωνία 
.
Εφόσον η χορδή χωρίζει τον κύκλο σε δύο τμήματα, αυτό το πρόβλημα δεν έχει μία, αλλά δύο λύσεις. Για να πάρετε το δεύτερο, πρέπει να αντικαταστήσετε τη γωνία α στους παραπάνω τύπους με τη γωνία .
3. Δίνεται η διάμετρος D και η κεντρική γωνία φ
; μήκος τόξου ;
μήκος χορδής ; ύψος τμήματος .
4. Δίνεται η διάμετρος D και το ύψος του τμήματος H
; μήκος τόξου ;
μήκος χορδής ; επίκεντρη γωνία .
6. Δίνεται μήκος τόξου L και κεντρική γωνία φ
; διάμετρος ;
μήκος χορδής ; ύψος τμήματος .
8. Δίνεται το μήκος χορδής Χ και η κεντρική γωνία φ
; μήκος τόξου 
;
διάμετρος ; ύψος τμήματος .
9. Δίνεται το μήκος της χορδής Χ και το ύψος του τμήματος Η
; μήκος τόξου ;
διάμετρος ; επίκεντρη γωνία .
10. Δίνεται η κεντρική γωνία φ και το ύψος του τμήματος Η
; διάμετρος 
;
μήκος τόξου ; μήκος χορδής .
Ο προσεκτικός αναγνώστης δεν μπορούσε παρά να παρατηρήσει ότι έχασα δύο επιλογές:
5. Δίνεται μήκος τόξου L και μήκος χορδής X
7. Δίνεται το μήκος του τόξου L και το ύψος του τμήματος Η
Αυτές είναι μόνο εκείνες οι δύο δυσάρεστες περιπτώσεις που το πρόβλημα δεν έχει λύση που θα μπορούσε να γραφτεί με τη μορφή τύπου. Και το έργο δεν είναι τόσο σπάνιο. Για παράδειγμα, έχετε ένα επίπεδο κομμάτι μήκους L και θέλετε να το λυγίσετε έτσι ώστε το μήκος του να γίνει X (ή το ύψος του να γίνει H). Τι διάμετρο να πάρω το μανδρέλι (εγκάρσια ράβδος);
Αυτό το πρόβλημα καταλήγει στην επίλυση των εξισώσεων: 
; - στην επιλογή 5
; - στην επιλογή 7
και παρόλο που δεν μπορούν να λυθούν αναλυτικά, μπορούν εύκολα να λυθούν προγραμματικά. Και ξέρω ακόμη πού μπορώ να βρω ένα τέτοιο πρόγραμμα: σε αυτόν ακριβώς τον ιστότοπο, με το όνομα . Κάνει όλα όσα σας λέω εκτενώς εδώ σε μικροδευτερόλεπτα.
Για να ολοκληρώσουμε την εικόνα, ας προσθέσουμε στα αποτελέσματα των υπολογισμών μας την περιφέρεια και τις τρεις τιμές περιοχής - κύκλος, τομέας και τμήμα. (Οι περιοχές θα μας βοηθήσουν πολύ κατά τον υπολογισμό της μάζας όλων των στρογγυλών και ημικυκλικών μερών, αλλά περισσότερα για αυτό σε ξεχωριστό άρθρο.) Όλες αυτές οι ποσότητες υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους ίδιους τύπους:
περιφέρεια ;
περιοχή ενός κύκλου 
;
τομέα 
;
περιοχή τμήματος 
;
Και εν κατακλείδι, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά την ύπαρξη ενός απολύτως δωρεάν προγράμματος που εκτελεί όλους τους παραπάνω υπολογισμούς, απαλλάσσοντάς σας από την ανάγκη να θυμάστε τι είναι το arctangent και πού να το αναζητήσετε.
Η μαθηματική αξία της περιοχής είναι γνωστή από την αρχαία Ελλάδα. Ακόμη και σε εκείνους τους μακρινούς χρόνους, οι Έλληνες ανακάλυψαν ότι μια περιοχή είναι ένα συνεχές τμήμα μιας επιφάνειας, η οποία περιορίζεται από όλες τις πλευρές από ένα κλειστό περίγραμμα. Αυτή είναι μια αριθμητική τιμή που μετριέται σε τετραγωνικές μονάδες. Το εμβαδόν είναι ένα αριθμητικό χαρακτηριστικό τόσο των επίπεδων γεωμετρικών σχημάτων (επιπεδομετρικά) όσο και των επιφανειών των σωμάτων στο χώρο (ογκομετρικά).
Επί του παρόντος, βρίσκεται όχι μόνο στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών στα μαθήματα γεωμετρίας και μαθηματικών, αλλά και στην αστρονομία, την καθημερινή ζωή, τις κατασκευές, την ανάπτυξη σχεδίου, την κατασκευή και πολλά άλλα ανθρώπινα μαθήματα. Πολύ συχνά καταφεύγουμε στον υπολογισμό των περιοχών των τμημάτων σε ένα προσωπικό οικόπεδο κατά το σχεδιασμό μιας περιοχής τοπίου ή κατά τη διάρκεια εργασιών ανακαίνισης σε έναν υπερσύγχρονο σχεδιασμό δωματίου. Επομένως, η γνώση μεθόδων υπολογισμού διαφόρων περιοχών θα είναι χρήσιμη πάντα και παντού.
Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κυκλικού τμήματος και ενός τμήματος σφαίρας, πρέπει να κατανοήσετε τους γεωμετρικούς όρους που θα χρειαστούν κατά την υπολογιστική διαδικασία.
Πρώτα απ 'όλα, ένα τμήμα ενός κύκλου είναι ένα θραύσμα μιας επίπεδης φιγούρας ενός κύκλου, το οποίο βρίσκεται μεταξύ του τόξου ενός κύκλου και της χορδής που το κόβει. Αυτή η έννοια δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του τομέα. Αυτά είναι τελείως διαφορετικά πράγματα.
Μια χορδή είναι ένα τμήμα που συνδέει δύο σημεία που βρίσκονται σε έναν κύκλο.
Η κεντρική γωνία σχηματίζεται μεταξύ δύο τμημάτων - ακτίνων. Μετριέται σε μοίρες από το τόξο στο οποίο στηρίζεται.
Ένα τμήμα μιας σφαίρας σχηματίζεται όταν ένα τμήμα αποκόπτεται από κάποιο επίπεδο.Σε αυτή την περίπτωση, η βάση του σφαιρικού τμήματος είναι ένας κύκλος και το ύψος είναι η κάθετη που εκπέμπεται από το κέντρο του κύκλου μέχρι την τομή με την επιφάνεια της σφαίρας. Αυτό το σημείο τομής ονομάζεται κορυφή του τμήματος της μπάλας.
Για να προσδιορίσετε την περιοχή ενός τμήματος σφαίρας, πρέπει να γνωρίζετε τον κύκλο αποκοπής και το ύψος του σφαιρικού τμήματος. Το γινόμενο αυτών των δύο συστατικών θα είναι η περιοχή του τμήματος της σφαίρας: S=2πRh, όπου h είναι το ύψος του τμήματος, 2πR είναι η περιφέρεια και R είναι η ακτίνα του μεγάλου κύκλου.
Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τμήματος κύκλου, μπορείτε να καταφύγετε στους ακόλουθους τύπους:
1. Για να βρείτε το εμβαδόν ενός τμήματος με τον απλούστερο τρόπο, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τη διαφορά μεταξύ του εμβαδού του τομέα στον οποίο είναι εγγεγραμμένο το τμήμα και του οποίου η βάση είναι η χορδή του τμήματος: S1 = S2 -S3, όπου S1 είναι η περιοχή του τμήματος, S2 είναι η περιοχή του τομέα και S3 είναι το εμβαδόν τρίγωνο.
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν κατά προσέγγιση τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κυκλικού τμήματος: S=2/3*(a*h), όπου a είναι η βάση του τριγώνου ή h το ύψος του τμήματος, που είναι το αποτέλεσμα της διαφοράς μεταξύ της ακτίνας του κύκλου και
2. Το εμβαδόν ενός τμήματος διαφορετικού από ένα ημικύκλιο υπολογίζεται ως εξής: S = (π R2:360)*α ± S3, όπου π R2 είναι η περιοχή του κύκλου, α είναι το μέτρο μοίρας της κεντρικής γωνίας, που περιέχει το τόξο του τμήματος του κύκλου, S3 είναι η περιοχή του τριγώνου που σχηματίστηκε μεταξύ των δύο ακτίνων του ο κύκλος και η χορδή, που έχει γωνία στο κεντρικό σημείο του κύκλου και δύο κορυφές στα σημεία επαφής των ακτίνων με τον κύκλο.
Αν η γωνία α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 μοίρες, εφαρμόζεται το σύμβολο συν.
3. Μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τμήματος χρησιμοποιώντας άλλες μεθόδους χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία. Κατά κανόνα, λαμβάνεται ως βάση ένα τρίγωνο. Εάν η κεντρική γωνία μετρηθεί σε μοίρες, τότε είναι αποδεκτός ο ακόλουθος τύπος: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, όπου R2 είναι το τετράγωνο της ακτίνας του κύκλου, α είναι το μοίρα μέτρο της κεντρικής γωνίας.
4. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τμήματος χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν άλλο τύπο, με την προϋπόθεση ότι η κεντρική γωνία μετριέται σε ακτίνια: S= R2 * (α - sin α)/2, όπου R2 είναι το τετράγωνο του η ακτίνα του κύκλου, α είναι το μέτρο της μοίρας της κεντρικής γωνίας.
- Σε επαφή με 0
- Google+ 0
- Εντάξει 0
- Facebook 0
