Φυσικά θεμέλια και
Και τεχνολογία ηλεκτρονικών μέσων
Φυσικά Βασικά
Ο Ε.Ν. ΒΙΓΝΤΟΡΟΒΙΤΣ
Φροντιστήριο
"Βασικά Φυσικά"
MGUPI 2008
UDC 621.382Εγκρίθηκε από το Ακαδημαϊκό Συμβούλιο
ως εκπαιδευτικό βοήθημα
τεχνολογία ηλεκτρονικών μέσων
Φροντιστήριο
Μ. Εκδ. MGAPI, 2008
Επεξεργάστηκε από
καθ. Ryzhikova I.V.
Το εγχειρίδιο περιέχει σύντομο υλικό για τα φυσικά θεμέλια των διαδικασιών σχηματισμού των ιδιοτήτων των ηλεκτρονικών μέσων.
Το εγχειρίδιο απευθύνεται σε εκπαιδευτικούς, μηχανικούς και τεχνικούς εργαζόμενους και φοιτητές διαφόρων ειδικοτήτων
______________________________
@ Moscow State Academy of Instrument Engineering and Informatics, 2005
1. ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΟ ΦΑΣΜΑ ΦΟΡΕΩΝ ΦΟΡΕΩΝ
Το καθήκον που αντιμετωπίζουμε καταλήγει στην εξέταση των ιδιοτήτων και της συμπεριφοράς των φορτισμένων σωματιδίων σε ένα κρυσταλλικό στερεό.
Από τα μαθήματα της ατομικής φυσικής και της κβαντικής μηχανικής, είναι γνωστή η συμπεριφορά των ηλεκτρονίων σε ένα μεμονωμένο άτομο. Σε αυτή την περίπτωση, τα ηλεκτρόνια μπορεί να μην έχουν ενεργειακές τιμές ΜΙ,αλλά μόνο μερικά. Το ενεργειακό φάσμα των ηλεκτρονίων γίνεται διακριτό, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.1, V.Οι μεταβάσεις από το ένα επίπεδο ενέργειας στο άλλο συνδέονται με την απορρόφηση ή την απελευθέρωση ενέργειας.
Ρύζι. 1.1. Σχέδιο σχηματισμού ενεργειακών ζωνών σε κρυστάλλους:
α είναι η διάταξη των ατόμων σε ένα μονοδιάστατο κρύσταλλο. β - κατανομή πεδίου ενδοκρυσταλλικού δυναμικού. V -διάταξη των ενεργειακών επιπέδων σε ένα απομονωμένο άτομο. δ - θέση ενεργειακών ζωνών
Τίθεται το ερώτημα πώς θα αλλάξουν τα επίπεδα ηλεκτρονικής ενέργειας στα άτομα εάν τα άτομα έρθουν πιο κοντά το ένα στο άλλο, δηλαδή συμπυκνωθούν στη στερεά φάση. Μια απλοποιημένη εικόνα αυτού μονοδιάστατηο κρύσταλλος φαίνεται στο Σχ. 1.1, ΕΝΑ.
Δεν είναι δύσκολο να λάβουμε μια ποιοτική απάντηση σε αυτό το ερώτημα. Ας εξετάσουμε ποιες δυνάμεις δρουν σε ένα μεμονωμένο άτομο και ποιες δυνάμεις ενεργούν σε έναν κρύσταλλο. Σε ένα απομονωμένο άτομο υπάρχει μια δύναμη έλξης από τον πυρήνα του ατόμου όλων δικα τουςηλεκτρόνια και τη δύναμη απώθησης μεταξύ των ηλεκτρονίων. Σε έναν κρύσταλλο, λόγω της κοντινής απόστασης μεταξύ των ατόμων, προκύπτουν νέες δυνάμεις. Αυτές είναι οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ πυρήνων, μεταξύ ηλεκτρονίων που ανήκουν σε διαφορετικά άτομα και μεταξύ όλων των πυρήνων και όλων των ηλεκτρονίων. Υπό την επίδραση αυτών των πρόσθετων δυνάμεων, τα επίπεδα ενέργειας των ηλεκτρονίων σε κάθε άτομο του κρυστάλλου πρέπει να αλλάξουν κατά κάποιο τρόπο. Κάποια επίπεδα θα μειωθούν, άλλα θα αυξηθούν στην ενεργειακή κλίμακα. Αυτό είναι πρώτη συνέπεια φέρνοντας τα άτομα πιο κοντά μεταξύ τους. Δεύτερη συνέπεια Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα ηλεκτρονιακά κελύφη των ατόμων, ειδικά τα εξωτερικά, μπορούν όχι μόνο να έρθουν σε επαφή μεταξύ τους, αλλά μπορούν ακόμη και να επικαλύπτονται. Ως αποτέλεσμα αυτού, ένα ηλεκτρόνιο από ένα επίπεδο σε οποιοδήποτε άτομο μπορεί να μετακινηθεί σε ένα επίπεδο σε ένα γειτονικό άτομο χωρίς να ξοδέψει ενέργεια και, επομένως, να κινηθεί ελεύθερα από το ένα άτομο στο άλλο. Από αυτή την άποψη, δεν μπορεί να υποστηριχθεί ότι ένα δεδομένο ηλεκτρόνιο ανήκει σε ένα συγκεκριμένο άτομο, αντίθετα, το ηλεκτρόνιο σε μια τέτοια κατάσταση ανήκει σε όλα τα άτομα του κρυσταλλικού πλέγματος ταυτόχρονα. Με άλλα λόγια, τι συμβαίνει κοινωνικοποίηση ηλεκτρόνια. Φυσικά, η πλήρης κοινωνικοποίηση συμβαίνει μόνο με εκείνα τα ηλεκτρόνια που βρίσκονται στα εξωτερικά κελύφη ηλεκτρονίων. Όσο πιο κοντά βρίσκεται το κέλυφος του ηλεκτρονίου στον πυρήνα, τόσο ισχυρότερος ο πυρήνας συγκρατεί το ηλεκτρόνιο σε αυτό το επίπεδο και εμποδίζει την κίνηση των ηλεκτρονίων από το ένα άτομο στο άλλο.
Ο συνδυασμός και των δύο συνεπειών της προσέγγισης των ατόμων οδηγεί στην εμφάνιση στην ενεργειακή κλίμακα ολόκληρων ενεργειακών ζωνών αντί για μεμονωμένα επίπεδα (Εικ. 1.1, δ), δηλ. περιοχές τέτοιων ενεργειακών τιμών που μπορεί να έχει ένα ηλεκτρόνιο ενώ βρίσκεται εντός ένα συμπαγές σώμα. Το πλάτος της ζώνης πρέπει να εξαρτάται από τον βαθμό σύνδεσης μεταξύ του ηλεκτρονίου και του πυρήνα. Όσο μεγαλύτερη είναι αυτή η σύνδεση, τόσο μικρότερη είναι η διάσπαση του επιπέδου, δηλαδή τόσο στενότερη είναι η ζώνη. Ένα απομονωμένο άτομο έχει απαγορευμένες ενεργειακές τιμές που δεν μπορεί να έχει ένα ηλεκτρόνιο. Είναι φυσικό να περιμένουμε ότι κάτι παρόμοιο θα συμβεί σε ένα στερεό. Μεταξύ ζωνών (τώρα δεν είναι πλέον επίπεδα) ενδέχεται να υπάρχουν απαγορευμένες περιοχές. Είναι χαρακτηριστικό ότι εάν σε ένα μεμονωμένο άτομο οι αποστάσεις μεταξύ των επιπέδων είναι μικρές, τότε η απαγορευμένη περιοχή στον κρύσταλλο μπορεί να εξαφανιστεί λόγω της επικάλυψης των ζωνών ενέργειας που προκύπτουν.
Ετσι, το ενεργειακό φάσμα των ηλεκτρονίων σε έναν κρύσταλλο έχει δομή ζώνης . . Μια ποσοτική λύση στο πρόβλημα του φάσματος των ηλεκτρονίων σε έναν κρύσταλλο χρησιμοποιώντας την εξίσωση Schrödinger οδηγεί επίσης στο συμπέρασμα ότι το ενεργειακό φάσμα των ηλεκτρονίων σε έναν κρύσταλλο έχει δομή ζώνης. Διαισθητικά, μπορεί κανείς να φανταστεί ότι η διαφορά στις ιδιότητες διαφορετικών κρυσταλλικών ουσιών συνδέεται σαφώς με τη διαφορετική δομή του φάσματος ενέργειας των ηλεκτρονίων (διαφορετικά πλάτη επιτρεπόμενων και απαγορευμένων ζωνών)
Η κβαντομηχανική, για να εξηγήσει μια σειρά από ιδιότητες της ύλης, θεωρεί τα στοιχειώδη σωματίδια, συμπεριλαμβανομένου του ηλεκτρονίου, τόσο ως σωματίδιο όσο και ως είδος κύματος. Δηλαδή, ένα ηλεκτρόνιο μπορεί ταυτόχρονα να χαρακτηριστεί από ενεργειακές τιμές μικαι ορμή p, καθώς και μήκος κύματος λ, συχνότητα ν και διάνυσμα κύματος k = p/h. Εν, E=hνΚαι p = h/λ.Τότε η κίνηση των ελεύθερων ηλεκτρονίων μπορεί να περιγραφεί από ένα επίπεδο κύμα, που ονομάζεται κύμα de Broglie, με σταθερό πλάτος.
|
|||||||||||||||||||||
Δομή ζώνης του φάσματος ηλεκτρονικής ενέργειας σε στερεά. Μοντέλα ελεύθερων και ισχυρά συνδεδεμένων ηλεκτρονίων
3.2. Δομή ζώνης του ενεργειακού φάσματος στο μοντέλο στενής σύζευξης
3.2.1. Σχηματισμός της δομής ζώνης του ενεργειακού φάσματος.
Έτσι, όταν σχηματίζεται ένας δεσμός μεταξύ δύο ατόμων, δύο μοριακά τροχιακά σχηματίζονται από δύο ατομικά τροχιακά: δεσμός και αντιδέσμευση με διαφορετικές ενέργειες.
Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει κατά τον σχηματισμό ενός κρυστάλλου. Δυνατό εδώ δύο διαφορετικές επιλογές: όταν προκύπτει μια μεταλλική κατάσταση όταν τα άτομα πλησιάζουν το ένα το άλλο και όταν προκύπτει μια κατάσταση ημιαγωγού ή διηλεκτρικής.
Μεταλλική κατάστασημπορεί να προκύψει μόνο ως αποτέλεσμα της επικάλυψης ατομικών τροχιακών και του σχηματισμού πολυκεντρικών τροχιακών, που οδηγεί σε πλήρη ή μερική συλλογικοποίηση των ηλεκτρονίων σθένους. Έτσι, ένα μέταλλο, που βασίζεται στην έννοια των αρχικά δεσμευμένων ατομικών τροχιακών ηλεκτρονίων, μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα σύστημα θετικά φορτισμένων ιόντων συνδυασμένων σε ένα γιγάντιο μόριο με ένα ενιαίο σύστημα πολυκεντρικών μοριακών τροχιακών.
Στα μέταλλα μετάπτωσης και των σπάνιων γαιών, εκτός από τον μεταλλικό δεσμό που προκύπτει κατά τη κολλεκτιβοποίηση ηλεκτρονίων, μπορεί να υπάρχει και ομοιοπολικούς κατευθυνόμενους δεσμούςμεταξύ γειτονικών ατόμων με πλήρως γεμάτα τροχιακά δεσμού.
Η κολεκτιβοποίηση των ηλεκτρονίων, η οποία εξασφαλίζει τη σύνδεση όλων των ατόμων στο πλέγμα, οδηγεί, όταν τα άτομα πλησιάζουν το ένα το άλλο, σε μια 2Ν-πλάσια (λαμβάνοντας υπόψη το σπιν) διάσπαση των επιπέδων ατομικής ενέργειας και στο σχηματισμό μιας δομής ζώνης του ηλεκτρονικό ενεργειακό φάσμα.
Μια ποιοτική απεικόνιση της αλλαγής στα διακριτά ενεργειακά επίπεδα μεμονωμένων ατόμων () με φθίνουσα διατομική απόσταση παρουσιάζεται στο Σχήμα 30α, η οποία δείχνει τη διάσπαση των ενεργειακών επιπέδων με το σχηματισμό στενών ενεργειακές ζώνες, που περιέχει 2Ν (συμπεριλαμβανομένου του σπιν) διαφορετικών ενεργειακών καταστάσεων (Εικ. 30α).
 |
| Ρύζι. τριάντα. |
Το πλάτος των ζωνών ενέργειας (), όπως θα φανεί παρακάτω, εξαρτάται από τον βαθμό επικάλυψης των κυματοσυναρτήσεων των ηλεκτρονίων γειτονικών ατόμων ή, με άλλα λόγια, από την πιθανότητα μεταφοράς ηλεκτρονίου σε γειτονικό άτομο. Γενικά, οι ενεργειακές ζώνες χωρίζονται με απαγορευμένα ενεργειακά διαστήματα, που ονομάζονται απαγορευμένες περιοχές(Εικ. 30α).
Όταν οι καταστάσεις s και p επικαλύπτονται, σχηματίζονται πολλές ζώνες «συγκόλλησης» και «χαλάρωσης». Από αυτή την άποψη, η μεταλλική κατάσταση προκύπτει εάν υπάρχουν ζώνες που δεν είναι πλήρως γεμάτες με ηλεκτρόνια. Ωστόσο, σε αντίθεση με την ασθενή σύζευξη (το μοντέλο των σχεδόν ελεύθερων ηλεκτρονίων), σε αυτή την περίπτωση είναι αδύνατο να θεωρηθούν οι κυματικές συναρτήσεις ηλεκτρονίων ως επίπεδα κύματα, γεγονός που περιπλέκει πολύ τη διαδικασία για την κατασκευή ισοενεργειακών επιφανειών. Η φύση του μετασχηματισμού των κυματοσυναρτήσεων των εντοπισμένων ηλεκτρονίων σε κυματοσυναρτήσεις τύπου Bloch που περιγράφουν τα πλανόδια ηλεκτρόνια απεικονίζεται στο Σχήμα 30b,c.
Εδώ πρέπει να τονιστεί για άλλη μια φορά ότι είναι η κολεκτιβοποίηση των ηλεκτρονίων, δηλαδή η ικανότητά τους να κινούνται στο κρυσταλλικό πλέγμα, που οδηγεί στη διάσπαση των ενεργειακών επιπέδων των δεσμευμένων καταστάσεων και στο σχηματισμό ενεργειακών ζωνών (Εικόνα 30γ).
Ημιαγωγός (Και διηλεκτρικό) κατάστασηπαρέχεται από κατευθυνόμενους ομοιοπολικούς δεσμούς. Σχεδόν όλα είναι ατομικά ημιαγωγώνέχουν ένα πλέγμα τύπου διαμαντιού, στο οποίο κάθε ζεύγος ατόμων έχει έναν ομοιοπολικό δεσμό που σχηματίζεται ως αποτέλεσμα του υβριδισμού sp 3 [Ν.Ε., 2000]. Κάθε τροχιακό sp 3 που δεσμεύει γειτονικά άτομα περιέχει δύο ηλεκτρόνια, έτσι ώστε όλα τα συνδετικά τροχιακά να είναι πλήρως γεμάτα.
Σημειώστε ότι στο μοντέλο των εντοπισμένων δεσμών μεταξύ ζευγών γειτονικών ατόμων, ο σχηματισμός κρυσταλλικού πλέγματος δεν πρέπει να οδηγεί σε διάσπαση των ενεργειακών επιπέδων των τροχιακών δεσμών. Στην πραγματικότητα, ένα ενιαίο σύστημα επικαλυπτόμενων τροχιακών sp 3 σχηματίζεται στο κρυσταλλικό πλέγμα, αφού η πυκνότητα ηλεκτρονίων ενός ζεύγους ηλεκτρονίων σε δεσμούς συγκεντρώνεται όχι μόνο στην περιοχή του χώρου μεταξύ των ατόμων, αλλά είναι μη μηδενική έξω από αυτές τις περιοχές. Ως αποτέλεσμα της αλληλεπικάλυψης των κυματικών συναρτήσεων, τα επίπεδα ενέργειας των τροχιακών δεσμών και αντιδεσμών στον κρύσταλλο χωρίζονται σε στενές μη επικαλυπτόμενες ζώνες: μια πλήρως γεμάτη ζώνη σύνδεσης και μια ελεύθερη ζώνη αντιδέσμευσης που βρίσκεται υψηλότερα σε ενέργεια. Αυτές οι ζώνες χωρίζονται από ένα ενεργειακό κενό.
Σε θερμοκρασίες διαφορετικές από το μηδέν, υπό την επίδραση της ενέργειας της θερμικής κίνησης των ατόμων, οι ομοιοπολικοί δεσμοί μπορούν να σπάσουν και τα απελευθερωμένα ηλεκτρόνια να μεταφερθούν στην ανώτερη ζώνη σε τροχιακά αντιδέσμευσης, στα οποία οι ηλεκτρονικές καταστάσεις δεν εντοπίζονται. Έτσι συμβαίνει μετεγκατάστασηδεσμευμένα ηλεκτρόνια και ο σχηματισμός ενός συγκεκριμένου αριθμού, ανάλογα με τη θερμοκρασία και το διάκενο ζώνης, πλανόδιων ηλεκτρονίων. Τα συλλεκτικά ηλεκτρόνια μπορούν να κινηθούν στο κρυσταλλικό πλέγμα, σχηματίζοντας μια ζώνη αγωγιμότητας με αντίστοιχο νόμο διασποράς. Ωστόσο, τώρα, όπως και στην περίπτωση των μετάλλων μετάπτωσης, η κίνηση αυτών των ηλεκτρονίων στο πλέγμα δεν περιγράφεται από επίπεδα κινούμενα κύματα, αλλά από πιο σύνθετες κυματοσυναρτήσεις που λαμβάνουν υπόψη τις κυματοσυναρτήσεις των δεσμευμένων ηλεκτρονικών καταστάσεων.
Όταν ένα ηλεκτρόνιο διεγείρεται από έναν από τους ομοιοπολικούς δεσμούς, τρύπα - μια κενή ηλεκτρονική κατάσταση στην οποία έχει εκχωρηθεί χρέωση+q.Ως αποτέλεσμα της μετάβασης ενός ηλεκτρονίου από γειτονικούς δεσμούς σε αυτή την κατάσταση, η οπή εξαφανίζεται, αλλά ταυτόχρονα εμφανίζεται μια μη γεμάτη κατάσταση στον γειτονικό δεσμό. Με αυτόν τον τρόπο η τρύπα μπορεί να κινηθεί γύρω από τον κρύσταλλο. Ακριβώς όπως τα ηλεκτρόνια, οι αποτοποθετημένες οπές σχηματίζουν το δικό τους φάσμα ζώνης με τον αντίστοιχο νόμο διασποράς. Σε ένα εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο, οι μεταβάσεις των ηλεκτρονίων σε έναν ελεύθερο δεσμό επικρατούν προς την αντίθετη κατεύθυνση του πεδίου, έτσι ώστε οι οπές να κινούνται κατά μήκος του πεδίου, δημιουργώντας ηλεκτρικό ρεύμα. Έτσι, κατά τη διάρκεια της θερμικής διέγερσης, δύο τύποι φορέων ρεύματος εμφανίζονται στους ημιαγωγούς - ηλεκτρόνια και οπές. Η συγκέντρωσή τους εξαρτάται από τη θερμοκρασία, η οποία είναι χαρακτηριστική για τον τύπο αγωγιμότητας των ημιαγωγών.
Βιβλιογραφία: [W Harrison, 1972, κεφ. II, 6.7; D. G. Knorre et al., 1990; K.V.Shalimova, 1985, 2.4; J. Ziman et al., 1972, κεφ. 8, 1]
3.2.2. Κυματική συνάρτηση ηλεκτρονίου σε κρύσταλλο
Στο μοντέλο στενής δέσμευσης, η κυματική συνάρτηση ενός ηλεκτρονίου σε έναν κρύσταλλο μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός ατομικών συναρτήσεων:
 |
Οπου r- διάνυσμα ακτίνας του ηλεκτρονίου, r ι- διάνυσμα ακτίνας ιτο άτομο του πλέγματος.
Εφόσον η κυματική συνάρτηση των πλανόδιων ηλεκτρονίων σε έναν κρύσταλλο πρέπει να έχει τη μορφή Bloch (2.1), τότε ο συντελεστής ΜΕ _( ι) με ατομική συνάρτηση σε ιΟ κόμβος του κρυσταλλικού πλέγματος πρέπει να έχει τη μορφή συντελεστή φάσης, δηλαδή
ανάλογος του Τ: n ~T. Κατά συνέπεια, ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας θα πρέπει να είναι αντιστρόφως ανάλογος της θερμοκρασίας, η οποία είναι σε ποιοτική συμφωνία με το πείραμα. Σε θερμοκρασίες κάτω από τη θερμοκρασία Debye, το l είναι πρακτικά ανεξάρτητο από το T και η θερμική αγωγιμότητα καθορίζεται εξ ολοκλήρου από την εξάρτηση της θερμοχωρητικότητας του κρυστάλλου από το T, C V ~ T 3. Επομένως, σε χαμηλές θερμοκρασίες λ ~ T 3. Η χαρακτηριστική εξάρτηση της θερμικής αγωγιμότητας από τη θερμοκρασία παρουσιάζεται στο Σχήμα 9.
Στα μέταλλα, εκτός από τη θερμική αγωγιμότητα του πλέγματος, είναι επίσης απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η θερμική αγωγιμότητα λόγω μεταφοράς θερμότητας από ελεύθερα ηλεκτρόνια. Αυτό εξηγεί την υψηλή θερμική αγωγιμότητα των μετάλλων σε σύγκριση με τα αμέταλλα.
3. Ηλεκτρονική δομή κρυστάλλων.
3.1.Κίνηση ηλεκτρονίων σε περιοδικό πεδίο. Δομή ζώνης του ενεργειακού φάσματος των ηλεκτρονίων σε έναν κρύσταλλο. Λειτουργίες Bloch. Καμπύλες διασποράς. Αποτελεσματική μάζα.
Σε ένα στερεό, οι αποστάσεις μεταξύ των ατόμων είναι συγκρίσιμες με τα μεγέθη τους. Επομένως, τα ηλεκτρονιακά κελύφη των γειτονικών ατόμων επικαλύπτονται εν μέρει μεταξύ τους και τουλάχιστον τα ηλεκτρόνια σθένους κάθε ατόμου βρίσκονται σε ένα αρκετά ισχυρό πεδίο γειτονικών ατόμων. Μια ακριβής περιγραφή της κίνησης όλων των ηλεκτρονίων, λαμβάνοντας υπόψη την αλληλεπίδραση Coulomb των ηλεκτρονίων μεταξύ τους και με τους ατομικούς πυρήνες, είναι ένα εξαιρετικά δύσκολο έργο ακόμη και για ένα μόνο άτομο. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιείται συνήθως η μέθοδος αυτοσυνεπούς πεδίου, στην οποία το πρόβλημα περιορίζεται στην περιγραφή της κίνησης κάθε μεμονωμένου ηλεκτρονίου στο ενεργό πεδίο δυναμικού που δημιουργείται από τους ατομικούς πυρήνες και το μέσο όρο πεδίου των υπολοίπων ηλεκτρονίων.
Ας εξετάσουμε πρώτα τη δομή των ενεργειακών επιπέδων ενός κρυστάλλου, με βάση την προσέγγιση στενής δέσμευσης, στην οποία υποτίθεται ότι η ενέργεια δέσμευσης ενός ηλεκτρονίου με το άτομό του υπερβαίνει σημαντικά την κινητική ενέργεια της κίνησής του από άτομο σε άτομο. Σε μεγάλες αποστάσεις μεταξύ των ατόμων, καθένα από αυτά έχει ένα σύστημα στενών ενεργειακών επιπέδων που αντιστοιχούν στις δεσμευμένες καταστάσεις του ηλεκτρονίου και του ιόντος. Καθώς τα άτομα πλησιάζουν, το πλάτος και το ύψος των φραγμών δυναμικού μεταξύ τους μειώνεται και χάρη στο φαινόμενο της σήραγγας, τα ηλεκτρόνια μπορούν να μετακινηθούν από
το ένα άτομο στο άλλο, το οποίο συνοδεύεται από διεύρυνση των ενεργειακών επιπέδων και μετατροπή τους σε ενεργειακές ζώνες.(Εικ. 10). Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τα ασθενώς δεσμευμένα ηλεκτρόνια σθένους, τα οποία είναι σε θέση να κινούνται εύκολα γύρω από τον κρύσταλλο από άτομο σε άτομο και σε κάποιο βαθμό γίνονται παρόμοια με τα ελεύθερα ηλεκτρόνια. Τα ηλεκτρόνια βαθύτερων ενεργειακών επιπέδων είναι το καθένα πολύ πιο ισχυρά συνδεδεμένα με το δικό του άτομο. Σχηματίζουν στενές ενεργειακές ζώνες με ευρύ φάσμα απαγορευμένων ενεργειών. Στο Σχ. Το Σχήμα 10 δείχνει συμβατικά τις καμπύλες δυναμικού και τα επίπεδα ενέργειας για έναν κρύσταλλο Na. Η γενική φύση του φάσματος ενέργειας των ηλεκτρονίων ανάλογα με τη διαπυρηνική απόσταση, d, παρουσιάζεται στο Σχήμα 11. Σε ορισμένες περιπτώσεις, τα ανώτερα επίπεδα διευρύνονται τόσο πολύ που οι γειτονικές ενεργειακές ζώνες επικαλύπτονται μεταξύ τους. Στο Σχ. 11 αυτό συμβαίνει όταν d = d1.
Με βάση τη σχέση αβεβαιότητας Heisenberg–Bohr, το πλάτος της ενεργειακής ζώνης, Δε, σχετίζεται με τον χρόνο παραμονής τ ενός ηλεκτρονίου σε μια συγκεκριμένη θέση πλέγματος με τη σχέση: ∆ε τ > h. Λόγω του φαινομένου της σήραγγας, ένα ηλεκτρόνιο μπορεί να διαρρεύσει μέσω ενός φραγμού δυναμικού. Σύμφωνα με την εκτίμηση, στη διατομική απόσταση d ~ 1Aτ ~ 10 -15 s, και επομένως ∆ε ~ h/τ ~ 10 -19 J ~ 1 eV, δηλ. Το χάσμα ζώνης είναι της τάξης ενός ή περισσοτέρων eV. Αν ένας κρύσταλλος αποτελείται από άτομα Ν, τότε κάθε ενεργειακή ζώνη αποτελείται από Ν υποεπίπεδα. Ένας κρύσταλλος μεγέθους 1 cm3 περιέχει N~ 1022 άτομα. Κατά συνέπεια, με πλάτος ζώνης ~ 1 eV, η απόσταση μεταξύ των υποεπιπέδων είναι ~ 10 -22 eV, η οποία είναι σημαντικά μικρότερη από την ενέργεια της θερμικής κίνησης υπό κανονικές συνθήκες. Αυτή η απόσταση είναι τόσο ασήμαντη που στις περισσότερες περιπτώσεις οι ζώνες μπορούν να θεωρηθούν πρακτικά συνεχείς.
Σε έναν ιδανικό κρύσταλλο, οι ατομικοί πυρήνες βρίσκονται στους κόμβους του κρυσταλλικού πλέγματος, σχηματίζοντας μια αυστηρά περιοδική δομή. Σύμφωνα με αυτό, η δυναμική ενέργεια του ηλεκτρονίου, V(r), εξαρτάται επίσης περιοδικά από τις χωρικές συντεταγμένες, δηλ. έχει μεταφραστική συμμετρία:
πλέγματα, a i (i = 1,2,3,...) – διανύσματα των κύριων μεταφράσεων.
Οι κυματικές συναρτήσεις και τα επίπεδα ενέργειας σε ένα περιοδικό πεδίο (1) προσδιορίζονται με την επίλυση της εξίσωσης Schrödinger
που αντιπροσωπεύει το γινόμενο της εξίσωσης ενός επιπέδου κινούμενου κύματος, ei kr, με έναν περιοδικό παράγοντα, u k (r) = u k (r + a n), με την περίοδο πλέγματος. Οι συναρτήσεις (3) ονομάζονται συναρτήσεις Bloch.
Στο V(r) = 0, η εξίσωση (2) έχει μια λύση με τη μορφή επίπεδου κύματος:
όπου m είναι η μάζα των σωματιδίων. Απεικονίζεται η εξάρτηση της ενέργειας Ε από τον αριθμό κύματος καμπύλη διασποράς. Σύμφωνα με το (5), στην περίπτωση ενός ελεύθερου ηλεκτρονίου, αυτό είναι μια παραβολή. Κατ' αναλογία με την ελεύθερη κίνηση, το διάνυσμα στην εξίσωση (3) ονομάζεται διάνυσμα κύματος, аp = h k – οιονεί ορμή.
Στην προσέγγιση ασθενούς σύζευξης, λαμβάνεται υπόψη η κίνηση σχεδόν ελεύθερων ηλεκτρονίων, τα οποία επηρεάζονται από το διαταραγμένο πεδίο του περιοδικού δυναμικού των ιοντικών πυρήνων. Σε αντίθεση με την ελεύθερη κίνηση, σε ένα περιοδικό πεδίο η εξίσωση V(r) (2) δεν έχει λύσεις για όλες τις τιμές του E. Οι περιοχές επιτρεπόμενων ενεργειών εναλλάσσονται με περιοχές απαγορευμένων ενεργειών. Στο μοντέλο ασθενούς σύζευξης, αυτό εξηγείται από την ανάκλαση Bragg των ηλεκτρονιακών κυμάτων στον κρύσταλλο.
Ας εξετάσουμε αυτό το ζήτημα με περισσότερες λεπτομέρειες. Η συνθήκη για τη μέγιστη ανάκλαση των κυμάτων ηλεκτρονίων σε έναν κρύσταλλο (συνθήκη Wulff–Bragg) προσδιορίζεται από τον τύπο (17) μέρος I. Θεωρώντας ότι G = n g, παίρνουμε:
Ας εξετάσουμε ένα σύστημα πεπερασμένων διαστημάτων που δεν περιέχουν τιμές του k που ικανοποιούν τη σχέση (7):
( - n g /2 Η περιοχή μεταβολής του k στον τρισδιάστατο k - χώρος, που δίνεται από τον τύπο (8) για όλες τις πιθανές κατευθύνσεις, καθορίζει τα όρια της νης ζώνης Brillouin. Μέσα σε κάθε ζώνη Brillouin (n= 1,2,3,...) η ενέργεια των ηλεκτρονίων είναι συνεχής συνάρτηση του k, και στα όρια των ζωνών υφίσταται ασυνέχεια. Πράγματι, εάν η προϋπόθεση (7) πληρούται για το πλάτος του συμβάντος, ψ k (r) = uk (r) ei kr και αντανακλάται ψ -k (r) = u - k (r) e -i kr τα κύματα θα είναι ίδια, u k (r) = u -k (r). Αυτά τα κύματα δίνουν δύο λύσεις στην εξίσωση Schrödinger: Αυτή η συνάρτηση περιγράφει τη συσσώρευση αρνητικού φορτίου σε θετικά ιόντα, όπου η δυναμική ενέργεια είναι η μικρότερη. Ομοίως, από τον τύπο (9β) παίρνουμε: ρ 2 (r) = |ψ 2 (r)|2 =4 u g/2 2 (r)sin 2 (gr/2) Αυτή η συνάρτηση περιγράφει μια κατανομή ηλεκτρονίων στην οποία βρίσκονται κυρίως σε περιοχές που αντιστοιχούν στο μέσο των αποστάσεων μεταξύ των ιόντων. Σε αυτή την περίπτωση, η δυνητική ενέργεια θα είναι μεγαλύτερη. Η συνάρτηση ψ 2 θα αντιστοιχεί στην ενέργεια Ε2 > Ε1. κενά ζώνης πλάτους Π.χ. Η ενέργεια E`1 καθορίζει το άνω όριο της πρώτης ζώνης και η ενέργεια E2 καθορίζει το κάτω όριο της δεύτερης ζώνης. Αυτό σημαίνει ότι όταν τα ηλεκτρονιακά κύματα διαδίδονται στους κρυστάλλους, προκύπτουν ενεργειακές περιοχές για τις οποίες δεν υπάρχουν λύσεις στην εξίσωση Schrödinger που να έχουν κυματική φύση. Δεδομένου ότι η φύση της εξάρτησης της ενέργειας από το διάνυσμα κύματος επηρεάζει σημαντικά τη δυναμική των ηλεκτρονίων σε έναν κρύσταλλο, είναι ενδιαφέρον να εξετάσουμε, ως παράδειγμα, την απλούστερη περίπτωση μιας γραμμικής αλυσίδας ατόμων που βρίσκονται σε απόσταση a το ένα από το άλλο κατά μήκος του άξονα x. Στην περίπτωση αυτή g = 2π /a. Το σχήμα 12 δείχνει τις καμπύλες διασποράς για τις πρώτες τρεις μονοδιάστατες ζώνες Brillouin: (- π/α< k <π
/a), (-2π
/a < k < -π
/a; π/
a < k < 2π
/a), (-3π/
a < k < -2π
/a; 2π
/a < k < 3π
/a). К запрещенным зонам относятся области энергии Е`1
< E < E2
, E`2
< μι< E3
и т.д. Στο Σχ. 12 παρουσιάζονται κύκλωμα εκτεταμένης ζώνης, στην οποία βρίσκονται διαφορετικές ενεργειακές ζώνες στο χώρο VC σε διαφορετικές ζώνες Brillouin. Ωστόσο, είναι πάντα δυνατό, και συχνά βολικό, να επιλέξετε ένα διάνυσμα κύματος έτσι ώστε το άκρο του να βρίσκεται μέσα στην πρώτη ζώνη Brillouin. Ας γράψουμε τη συνάρτηση Bloch ως: βρίσκονται στην πρώτη ζώνη Brillouin. Αντικαθιστώντας το k στον τύπο (11), παίρνουμε: έχει τη μορφή συνάρτησης Bloch με τον πολλαπλασιαστή Bloch (13). Ο δείκτης n δείχνει τώρα τον αριθμό της ενεργειακής ζώνης στην οποία ανήκει η δεδομένη συνάρτηση. Η διαδικασία για να φέρουμε ένα αυθαίρετο διάνυσμα κύματος στην πρώτη ζώνη Brillouin ονομάζεται διαγράμματα των δεδομένων ζωνών. Σε αυτό το σχήμα, το vectork παίρνει τις τιμές -g/2< k < g/2
, но одному и тому же значениюк
будут отвечать различные значения энергии, каждое из которых будет соответствовать одной из зон. На рисунке 13 представлена схема приведенных зон для одномерной решетки, соответствующая расширенной зонной схеме на рисунке 12. Έτσι, η ύπαρξη ενεργειακών χασμάτων οφείλεται στην ανάκλαση Bragg των ηλεκτρονιακών κυμάτων de Broglie από κρυσταλλικά επίπεδα. Τα σημεία θραύσης καθορίζονται από τις συνθήκες μέγιστης ανάκλασης κύματος. Σύμφωνα με τους νόμους της κβαντικής μηχανικής, η μεταφορική κίνηση ενός ηλεκτρονίου θεωρείται ως η κίνηση ενός πακέτου κυμάτων με κυματικά διανύσματα κοντά στο διάνυσμα k. Η ομαδική ταχύτητα του κυματοειδούς πακέτου, v , δίνεται από Το ενεργειακό φάσμα των ηλεκτρονίων σε ένα στερεό διαφέρει σημαντικά από το ενεργειακό φάσμα των ελεύθερων ηλεκτρονίων (το οποίο είναι συνεχές) ή το φάσμα των ηλεκτρονίων που ανήκουν σε μεμονωμένα μεμονωμένα άτομα (διακεκριμένο με ένα συγκεκριμένο σύνολο διαθέσιμων επιπέδων) - αποτελείται από μεμονωμένες επιτρεπόμενες ενεργειακές ζώνες χωρίζονται από απαγορευμένες ενεργειακές ζώνες. Σύμφωνα με τα κβαντομηχανικά αξιώματα του Bohr, σε ένα απομονωμένο άτομο η ενέργεια ενός ηλεκτρονίου μπορεί να λάβει αυστηρά διακριτές τιμές (το ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε ένα από τα τροχιακά). Στην περίπτωση ενός συστήματος πολλών ατόμων που ενώνονται με έναν χημικό δεσμό, τα τροχιακά των ηλεκτρονίων χωρίζονται σε ποσότητα ανάλογη με τον αριθμό των ατόμων, σχηματίζοντας τα λεγόμενα μοριακά τροχιακά. Με μια περαιτέρω αύξηση του συστήματος στο μακροσκοπικό επίπεδο, ο αριθμός των τροχιακών γίνεται πολύ μεγάλος και η διαφορά στις ενέργειες των ηλεκτρονίων που βρίσκονται σε γειτονικά τροχιακά είναι αντίστοιχα πολύ μικρή - τα επίπεδα ενέργειας χωρίζονται σε δύο σχεδόν συνεχή διακριτά σύνολα - ενέργεια ζώνες. Η υψηλότερη από τις επιτρεπόμενες ζώνες ενέργειας σε ημιαγωγούς και διηλεκτρικά, στα οποία σε θερμοκρασία 0 K όλες οι ενεργειακές καταστάσεις καταλαμβάνονται από ηλεκτρόνια, ονομάζεται ζώνη σθένους, η επόμενη είναι ζώνη αγωγιμότητας. Στους αγωγούς, η ζώνη αγωγιμότητας είναι η υψηλότερη επιτρεπόμενη ζώνη στην οποία τα ηλεκτρόνια βρίσκονται σε θερμοκρασία 0 K. Βασίζεται στην αρχή της σχετικής θέσης αυτών των ζωνών ότι όλα τα στερεά χωρίζονται σε τρεις μεγάλες ομάδες (βλ. σχήμα): Η θεωρία ζωνών είναι η βάση της σύγχρονης θεωρίας των στερεών. Κατέστησε δυνατή την κατανόηση της φύσης και την εξήγηση των σημαντικότερων ιδιοτήτων των μετάλλων, των ημιαγωγών και των διηλεκτρικών. Το διάκενο ζωνών (το ενεργειακό χάσμα μεταξύ των ζωνών σθένους και αγωγιμότητας) είναι μια βασική ποσότητα στη θεωρία ζωνών και καθορίζει τις οπτικές και ηλεκτρικές ιδιότητες ενός υλικού. Για παράδειγμα, στους ημιαγωγούς, η αγωγιμότητα μπορεί να αυξηθεί δημιουργώντας ένα επιτρεπτό επίπεδο ενέργειας στο διάκενο ζώνης μέσω ντόπινγκ - προσθέτοντας ακαθαρσίες στη σύνθεση του αρχικού υλικού βάσης για να αλλάξουν οι φυσικές και χημικές του ιδιότητες. Σε αυτή την περίπτωση, ο ημιαγωγός λέγεται ότι είναι ακαθαρσία. Έτσι δημιουργούνται όλες οι συσκευές ημιαγωγών: ηλιακά κύτταρα, δίοδοι, στερεά κατάσταση κ.λπ. Η μετάβαση ενός ηλεκτρονίου από τη ζώνη σθένους στη ζώνη αγωγιμότητας ονομάζεται διαδικασία δημιουργίας φορέων φορτίου (αρνητικό - ηλεκτρόνιο και θετικό - οπή ), και η αντίστροφη μετάβαση ονομάζεται διαδικασία ανασυνδυασμού. Η θεωρία ζωνών έχει όρια εφαρμογής, τα οποία βασίζονται σε τρεις κύριες υποθέσεις: α) το δυναμικό του κρυσταλλικού πλέγματος είναι αυστηρά περιοδικό. β) η αλληλεπίδραση μεταξύ των ελεύθερων ηλεκτρονίων μπορεί να μειωθεί σε ένα αυτοσυνεπές δυναμικό ενός ηλεκτρονίου (και το υπόλοιπο μέρος θεωρείται με τη μέθοδο της θεωρίας διαταραχών). γ) η αλληλεπίδραση με τα φωνόνια είναι ασθενής (και μπορεί να εξεταστεί με χρήση της θεωρίας διαταραχών). Το 1928-1931 Η θεωρία ζωνών είναι η βάση των σύγχρονων ιδεών σχετικά με τους μηχανισμούς διαφόρων φυσικών φαινομένων που συμβαίνουν σε μια στερεά κρυσταλλική ουσία όταν εκτίθεται σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Αυτή είναι η θεωρία των ηλεκτρονίων που κινούνται σε ένα περιοδικό πεδίο δυναμικού ενός κρυσταλλικού πλέγματος. Σε ένα απομονωμένο άτομο, το ενεργειακό φάσμα των ηλεκτρονίων είναι διακριτό στη φύση, δηλαδή, τα ηλεκτρόνια μπορούν να καταλάβουν μόνο πολύ συγκεκριμένα επίπεδα ενέργειας. Μερικά από αυτά τα επίπεδα είναι γεμάτα στην κανονική, μη διεγερμένη κατάσταση του ατόμου, μπορούν να βρεθούν σε άλλα επίπεδα μόνο όταν το άτομο υπόκειται σε εξωτερική ενεργειακή επιρροή, δηλ. όταν είναι διεγερμένο. Προσπαθώντας για μια σταθερή κατάσταση, το άτομο εκπέμπει περίσσεια ενέργειας τη στιγμή της μετάβασης των ηλεκτρονίων από διεγερμένες καταστάσεις σε επίπεδα στα οποία η ενέργειά του είναι ελάχιστη. Οι μεταβάσεις από το ένα επίπεδο ενέργειας στο άλλο συνδέονται πάντα με την απορρόφηση ή την απελευθέρωση ενέργειας. Σε ένα απομονωμένο άτομο, υπάρχει μια δύναμη έλξης από τον πυρήνα του ατόμου για όλα τα ηλεκτρόνια του και μια δύναμη απώθησης μεταξύ των ηλεκτρονίων. Εάν υπάρχει ένα σύστημα N πανομοιότυπων ατόμων, αρκετά απομακρυσμένα μεταξύ τους (για παράδειγμα, μια αέρια ουσία), τότε πρακτικά δεν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ των ατόμων και τα επίπεδα ενέργειας των ηλεκτρονίων παραμένουν αμετάβλητα. Όταν μια αέρια ουσία συμπυκνώνεται σε ένα υγρό και στη συνέχεια κατά τον σχηματισμό ενός κρυσταλλικού πλέγματος ενός στερεού, όλα τα ηλεκτρονικά επίπεδα που υπάρχουν σε άτομα αυτού του τύπου (τόσο γεμάτα με ηλεκτρόνια όσο και μη γεμάτα) μετατοπίζονται ελαφρά λόγω της δράσης γειτονικών ατόμων. ο ένας πάνω στον άλλο. Σε έναν κρύσταλλο, λόγω της κοντινής απόστασης μεταξύ των ατόμων, υπάρχουν δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ ηλεκτρονίων που ανήκουν σε διαφορετικά άτομα και μεταξύ όλων των πυρήνων και όλων των ηλεκτρονίων. Υπό την επίδραση αυτών των πρόσθετων δυνάμεων, τα επίπεδα ενέργειας των ηλεκτρονίων σε καθένα από τα άτομα του κρυστάλλου αλλάζουν: η ενέργεια ορισμένων επιπέδων μειώνεται, ενώ άλλα αυξάνεται. Σε αυτή την περίπτωση, τα εξωτερικά κελύφη ηλεκτρονίων των ατόμων μπορούν όχι μόνο να έρθουν σε επαφή μεταξύ τους, αλλά και να επικαλύπτονται. Συγκεκριμένα, η έλξη ηλεκτρονίων ενός ατόμου από τον πυρήνα ενός γειτονικού ατόμου μειώνει το ύψος του φραγμού δυναμικού που χωρίζει τα ηλεκτρόνια των μεμονωμένων ατόμων. Δηλαδή, όταν τα άτομα έρχονται πιο κοντά μεταξύ τους, τα κελύφη των ηλεκτρονίων επικαλύπτονται και αυτό, με τη σειρά του, αλλάζει σημαντικά τη φύση της κίνησης των ηλεκτρονίων. Ως αποτέλεσμα, ένα ηλεκτρόνιο από ένα επίπεδο σε οποιοδήποτε άτομο μπορεί να μετακινηθεί σε ένα επίπεδο σε ένα γειτονικό άτομο χωρίς να ξοδέψει ενέργεια, και έτσι να μετακινηθεί ελεύθερα από το ένα άτομο στο άλλο. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται κοινή χρήση ηλεκτρονίων - κάθε ηλεκτρόνιο ανήκει σε όλα τα άτομα του κρυσταλλικού πλέγματος. Η πλήρης κοινωνικοποίηση συμβαίνει με τα ηλεκτρόνια των εξωτερικών φλοιών ηλεκτρονίων. Χάρη στην επικάλυψη των φλοιών, τα ηλεκτρόνια μπορούν να μετακινηθούν από το ένα άτομο στο άλλο χωρίς να αλλάξουν ενέργεια μέσω ανταλλαγής, δηλαδή να κινηθούν σε όλο τον κρύσταλλο. Η αλληλεπίδραση ανταλλαγής είναι καθαρά κβαντικής φύσης και είναι συνέπεια της δυσδιάκρισης των ηλεκτρονίων. Ως αποτέλεσμα της σύγκλισης των ατόμων στην ενεργειακή κλίμακα, αντί για μεμονωμένα επίπεδα, εμφανίζονται ενεργειακές ζώνες, δηλ. περιοχές τέτοιων ενεργειακών τιμών που μπορεί να έχει ένα ηλεκτρόνιο ενώ βρίσκεται μέσα σε ένα στερεό σώμα. Το πλάτος της ζώνης πρέπει να εξαρτάται από τον βαθμό σύνδεσης μεταξύ του ηλεκτρονίου και του πυρήνα. Όσο μεγαλύτερη είναι αυτή η σύνδεση, τόσο μικρότερη είναι η διάσπαση του επιπέδου, τόσο στενότερη είναι η ζώνη. Σε ένα απομονωμένο άτομο υπάρχουν απαγορευμένες τιμές ενέργειας που δεν μπορεί να έχει ένα ηλεκτρόνιο σε ένα στερεό μπορεί να υπάρχουν απαγορευμένες ζώνες. Το ενεργειακό φάσμα των ηλεκτρονίων σε έναν κρύσταλλο έχει δομή ζώνης. Οι επιτρεπόμενες ενεργειακές ζώνες χωρίζονται με απαγορευμένα ενεργειακά διαστήματα. Το πλάτος των επιτρεπόμενων ενεργειακών ζωνών δεν εξαρτάται από το μέγεθος του κρυστάλλου, αλλά καθορίζεται μόνο από τη φύση των ατόμων που σχηματίζουν το στερεό και τη συμμετρία του κρυσταλλικού πλέγματος. Εάν EA είναι η ενέργεια ανταλλαγής αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο γειτονικών ατόμων, τότε για κρυστάλλους με απλό κυβικό πλέγμα, όπου κάθε άτομο έχει 6 πλησιέστερους γείτονες (αριθμός συντονισμού = 6), ο διαχωρισμός των επιπέδων σε ζώνες θα είναι 12 EA, για μια όψη -κεντρικό πλέγμα (CN = 12 ) το πλάτος της ενεργειακής επιτρεπόμενης ζώνης θα είναι 24 EA, και στο κέντρο στο σώμα (CN = 8) - 16 EA. Δεδομένου ότι η ενέργεια ανταλλαγής της ΕΑ εξαρτάται από τον βαθμό επικάλυψης των φλοιών ηλεκτρονίων, τα επίπεδα ενέργειας των εσωτερικών φλοιών, τα οποία εντοπίζονται πιο έντονα κοντά στον πυρήνα, διαιρούνται λιγότερο από τα επίπεδα των ηλεκτρονίων σθένους. Όχι μόνο τα κανονικά (στάσιμα) αλλά και τα διεγερμένα επίπεδα ενέργειας υπόκεινται σε διάσπαση σε ζώνη. Το πλάτος των επιτρεπόμενων ζωνών αυξάνεται καθώς ανεβαίνετε στην ενεργειακή κλίμακα και το μέγεθος των απαγορευμένων ενεργειακών κενών μειώνεται ανάλογα. Κάθε ζώνη αποτελείται από πολλά επίπεδα ενέργειας. Ο αριθμός τους καθορίζεται από τον αριθμό των ατόμων που αποτελούν το στερεό, δηλ. σε έναν κρύσταλλο πεπερασμένου μεγέθους, η απόσταση μεταξύ των επιπέδων είναι αντιστρόφως ανάλογη με τον αριθμό των ατόμων. Σύμφωνα με την αρχή Pauli, κάθε ενεργειακό επίπεδο μπορεί να περιέχει όχι περισσότερα από δύο ηλεκτρόνια, με αντίθετα σπιν. Επομένως, ο αριθμός των ηλεκτρονικών καταστάσεων στη ζώνη αποδεικνύεται πεπερασμένος και ίσος με τον αριθμό των αντίστοιχων ατομικών καταστάσεων. Ο αριθμός των ηλεκτρονίων που γεμίζουν μια δεδομένη ενεργειακή ζώνη αποδεικνύεται επίσης πεπερασμένος. Όταν τα άτομα Ν έρχονται πιο κοντά μεταξύ τους, εμφανίζονται Ν υποεπίπεδα σε κάθε ζώνη. Ένας κρύσταλλος με όγκο 1 cm 3 περιέχει 10 22 -10 23 άτομα. Πειραματικά δεδομένα δείχνουν ότι η ενεργειακή έκταση της ζώνης ηλεκτρονίων σθένους δεν υπερβαίνει μερικά ηλεκτρονβολτ. Συνεπάγεται ότι τα επίπεδα στη ζώνη διαχωρίζονται σε ενέργεια κατά 10 -22 - 10 -23 eV, δηλαδή τα επίπεδα βρίσκονται τόσο κοντά που ακόμη και σε χαμηλές θερμοκρασίες αυτή η ζώνη μπορεί να θεωρηθεί ως ζώνη συνεχών επιτρεπόμενων ενεργειών, μια τέτοια ενεργειακή ζώνη χαρακτηρίζεται από σχεδόν συνεχές φάσμα. Μια αμελητέα μικρή ενεργειακή πρόσκρουση είναι αρκετή για να προκαλέσει τη μετάβαση των ηλεκτρονίων από το ένα επίπεδο στο άλλο, εάν υπάρχουν ελεύθερες καταστάσεις εκεί. Δηλαδή, λόγω της μικρής διαφοράς στην ενέργεια δύο γειτονικών υποεπιπέδων, τα τροχιακά των ηλεκτρονίων σθένους σε έναν κρύσταλλο γίνονται αντιληπτά ως μια συνεχής ζώνη και όχι ως ένα σύνολο διακριτών ενεργειακών επιπέδων. Πιο αυστηρά, μπορούμε να μιλήσουμε μόνο για την πιθανότητα ενός ηλεκτρονίου να βρίσκεται σε ένα συγκεκριμένο σημείο του χώρου. Αυτή η πιθανότητα περιγράφεται χρησιμοποιώντας τις κυματοσυναρτήσεις x, οι οποίες λαμβάνονται με την επίλυση της κυματικής εξίσωσης Schrödinger. Όταν τα άτομα αλληλεπιδρούν και δημιουργούνται χημικοί δεσμοί, αλλάζουν και οι κυματοσυναρτήσεις των ηλεκτρονίων σθένους. Η εξαγωγή του ενεργειακού φάσματος των ηλεκτρονίων σε έναν κρύσταλλο από τα ενεργειακά επίπεδα σε μεμονωμένα άτομα ονομάζεται προσέγγιση στενής δέσμευσης. Ισχύει περισσότερο για ηλεκτρόνια που βρίσκονται σε βαθιά επίπεδα και λιγότερο επιρρεπή σε εξωτερικές επιδράσεις. Στα σύνθετα άτομα, η ενέργεια των ηλεκτρονίων καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθμό n και τον τροχιακό κβαντικό αριθμό l. Λαμβάνοντας υπόψη τις αλληλεπιδράσεις σε έναν κρύσταλλο (προσέγγιση ασθενούς σύζευξης) δείχνει ότι κατά τον σχηματισμό ενός κρυστάλλου, τα ατομικά επίπεδα χωρίζονται σε N(2l+1) υποεπίπεδα, στα οποία μπορούν να εντοπιστούν 2N(2l+1) ηλεκτρόνια. Όπως τα επίπεδα ενέργειας σε μεμονωμένα άτομα, οι ενεργειακές ζώνες μπορεί να είναι πλήρως γεμάτες, μερικώς γεμάτες ή κενές. Τα εσωτερικά κελύφη σε μεμονωμένα άτομα είναι γεμάτα, οπότε και οι αντίστοιχες ζώνες αποδεικνύονται γεμάτες. Η ανώτερη από τις γεμάτες ζώνες ονομάζεται ζώνη σθένους. Αυτή η ζώνη αντιστοιχεί στα ενεργειακά επίπεδα των ηλεκτρονίων του εξωτερικού κελύφους σε μεμονωμένα άτομα. Η ελεύθερη, μη γεμάτη ζώνη που βρίσκεται πλησιέστερα σε αυτήν ονομάζεται ζώνη αγωγιμότητας. Ανάμεσά τους υπάρχει μια απαγορευμένη ζώνη. Η πλήρωση της ζώνης αγωγιμότητας ξεκινά όταν τα ηλεκτρόνια στη ζώνη σθένους λαμβάνουν πρόσθετη ενέργεια επαρκή για να ξεπεράσουν ένα ενεργειακό φράγμα ίσο με το διάκενο ζώνης. Η απουσία ενεργειακών επιπέδων στο διάκενο ζώνης είναι χαρακτηριστική μόνο των τέλειων κρυστάλλων. Οποιαδήποτε παραβίαση της ιδεατότητας του περιοδικού πεδίου στον κρύσταλλο συνεπάγεται παραβίαση της ιδεατότητας της δομής της ζώνης. Σε ένα πραγματικό κρύσταλλο υπάρχουν πάντα ελαττώματα στο κρυσταλλικό πλέγμα. Εάν ο αριθμός των ελαττωμάτων στον κρύσταλλο είναι μικρός, τότε θα βρίσκονται σε σημαντικές αποστάσεις το ένα από το άλλο και θα εντοπιστούν. Επομένως, η ενεργειακή κατάσταση μόνο εκείνων των ηλεκτρονίων που βρίσκονται στην περιοχή του ελαττώματος θα αλλάξει, γεγονός που θα οδηγήσει στο σχηματισμό τοπικών ενεργειακών καταστάσεων που υπερτίθενται στην ιδανική δομή ζώνης. Ο αριθμός τέτοιων καταστάσεων είτε είναι ίσος με τον αριθμό των ελαττωμάτων είτε τον υπερβαίνει εάν πολλές τέτοιες καταστάσεις συνδέονται με το ελάττωμα. Η τοποθεσία των τοπικών κρατών περιορίζεται στην περιοχή κοντά στο ελάττωμα. Τα ηλεκτρόνια που βρίσκονται σε αυτά τα ενεργειακά επίπεδα συνδέονται με ελαττώματα και επομένως δεν μπορούν να συμμετέχουν στην ηλεκτρική αγωγιμότητα. Δηλαδή, τα επίπεδα των ελαττωμάτων στα οποία βρίσκονται βρίσκονται στο διάκενο ζώνης του κρυστάλλου. Με την αύξηση της θερμοκρασίας, το πλάτος των θερμικών δονήσεων των ατόμων αυξάνεται, ο βαθμός αλληλεπίδρασής τους και ο βαθμός διάσπασης των ενεργειακών επιπέδων αυξάνεται. Επομένως, οι επιτρεπόμενες ζώνες γίνονται ευρύτερες και οι απαγορευμένες, κατά συνέπεια, στενότερες. Όταν αλλάζουν οι διατομικές αποστάσεις, ανάλογα με τη φύση της διαίρεσης των επιπέδων, το χάσμα ζώνης μπορεί είτε να αυξηθεί είτε να μειωθεί. Αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα, υπό την επίδραση της πίεσης στον κρύσταλλο. Η θεωρία ζωνών καθιστά δυνατή τη διαμόρφωση ενός κριτηρίου που καθιστά δυνατή τη διαίρεση των στερεών σε δύο κατηγορίες - μέταλλα και ημιαγωγούς (διηλεκτρικά). Η θεωρία ζωνών αναπτύχθηκε αρχικά για κρυσταλλικά στερεά, αλλά τα τελευταία χρόνια οι ιδέες της έχουν αρχίσει να επεκτείνονται σε άμορφες ουσίες.
εικονογραφήσεις
Συγγραφέας
Εφαρμόστηκαν αλλαγές
Πηγές
