Ένα τρίγωνο στο οποίο δύο πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους ονομάζεται ισοσκελές. Αυτές οι πλευρές ονομάζονται πλευρικές και η τρίτη πλευρά ονομάζεται βάση. Σε αυτό το άρθρο θα σας πούμε για τις ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου.
Θεώρημα 1
Οι γωνίες κοντά στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους
Απόδειξη του θεωρήματος.
Ας πούμε ότι έχουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC του οποίου η βάση είναι AB. Ας δούμε το τρίγωνο BAC. Αυτά τα τρίγωνα, με το πρώτο πρόσημο, είναι ίσα μεταξύ τους. Αυτό ισχύει, γιατί BC = AC, AC = BC, γωνία ACB = γωνία ACB. Από αυτό προκύπτει ότι γωνία BAC = γωνία ABC, γιατί αυτές είναι οι αντίστοιχες γωνίες των ίσων τριγώνων μας. Εδώ είναι η ιδιότητα των γωνιών ενός ισοσκελούς τριγώνου.
Θεώρημα 2
Η διάμεσος σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, που έλκεται στη βάση του, είναι επίσης το ύψος και η διχοτόμος
Απόδειξη του θεωρήματος.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC, του οποίου η βάση είναι ΑΒ, και το CD είναι η διάμεσος που σχεδιάσαμε στη βάση του. Στα τρίγωνα ACD και BCD, γωνία CAD = γωνία CBD, ως οι αντίστοιχες γωνίες στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου (Θεώρημα 1). Και πλευρά AC = πλευρά BC (εξ ορισμού ισοσκελούς τριγώνου). Πλευρά ΑΔ = πλευρά ΒΔ, επειδή το σημείο Δ διαιρεί το τμήμα ΑΒ σε ίσα μέρη. Από αυτό προκύπτει ότι τρίγωνο ACD = τρίγωνο BCD.
Από την ισότητα αυτών των τριγώνων έχουμε την ισότητα των αντίστοιχων γωνιών. Δηλαδή, γωνία ACD = γωνία BCD και γωνία ADC = γωνία BDC. Από την ισότητα 1 προκύπτει ότι το CD είναι διχοτόμος. Και η γωνία ADC και η γωνία BDC είναι γειτονικές γωνίες, και από την ισότητα 2 προκύπτει ότι είναι και οι δύο ορθές γωνίες. Αποδεικνύεται ότι το CD είναι το ύψος του τριγώνου. Αυτή είναι η ιδιότητα της μέσης ενός ισοσκελούς τριγώνου.
Και τώρα λίγα για τα σημάδια ενός ισοσκελούς τριγώνου.
Θεώρημα 3
Αν δύο γωνίες σε ένα τρίγωνο είναι ίσες μεταξύ τους, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές
Απόδειξη του θεωρήματος.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τρίγωνο ABC στο οποίο γωνία CAB = γωνία CBA. Τρίγωνο ABC = τρίγωνο BAC σύμφωνα με το δεύτερο κριτήριο ισότητας μεταξύ τριγώνων. Αυτό είναι αλήθεια, γιατί ΑΒ = ΒΑ. γωνία CBA = γωνία CAB, γωνία CAB = γωνία CBA. Από αυτή την ισότητα τριγώνων έχουμε την ισότητα των αντίστοιχων πλευρών του τριγώνου - AC = BC. Τότε αποδεικνύεται ότι το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές.
Θεώρημα 4
Αν σε οποιοδήποτε τρίγωνο η διάμεσος του είναι και το ύψος του, τότε ένα τέτοιο τρίγωνο είναι ισοσκελές
Απόδειξη του θεωρήματος.
Στο τρίγωνο ABC θα σχεδιάσουμε το διάμεσο CD. Θα είναι και το ύψος. Ορθογώνιο τρίγωνο ACD = ορθογώνιο τρίγωνο BCD, αφού το πόδι CD είναι κοινό σε αυτούς, και σκέλος AD = σκέλος BD. Από αυτό προκύπτει ότι οι υποτείνυσές τους είναι ίσες μεταξύ τους, όπως αντίστοιχα μέρη ίσων τριγώνων. Αυτό σημαίνει ότι ΑΒ = Π.Χ.
Θεώρημα 5
Εάν τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες με τρεις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα
Απόδειξη του θεωρήματος.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τρίγωνο ABC και ένα τρίγωνο A1B1C1 έτσι ώστε οι πλευρές AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Ας εξετάσουμε την απόδειξη αυτού του θεωρήματος με αντίφαση.
Ας υποθέσουμε ότι αυτά τα τρίγωνα δεν είναι ίσα μεταξύ τους. Από εδώ έχουμε ότι η γωνία BAC δεν είναι ίση με τη γωνία B1A1C1, η γωνία ABC δεν είναι ίση με τη γωνία A1B1C1, η γωνία ACB δεν είναι ίση με τη γωνία A1C1B1 ταυτόχρονα. Διαφορετικά, αυτά τα τρίγωνα θα ήταν ίσα σύμφωνα με τα κριτήρια που συζητήθηκαν παραπάνω.
Ας υποθέσουμε ότι τρίγωνο A1B1C2 = τρίγωνο ABC. Σε ένα τρίγωνο, η κορυφή C2 βρίσκεται με την κορυφή C1 σε σχέση με την ευθεία γραμμή A1B1 στο ίδιο ημιεπίπεδο. Υποθέσαμε ότι οι κορυφές C2 και C1 δεν συμπίπτουν. Ας υποθέσουμε ότι το σημείο D είναι το μέσο του τμήματος C1C2. Άρα έχουμε ισοσκελή τρίγωνα B1C1C2 και A1C1C2, που έχουν κοινή βάση C1C2. Αποδεικνύεται ότι οι διάμεσοί τους B1D και A1D είναι επίσης τα ύψη τους. Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία γραμμή B1D και η ευθεία A1D είναι κάθετες στην ευθεία C1C2.
Τα B1D και A1D έχουν διαφορετικά σημεία B1 και A1 και συνεπώς δεν μπορούν να συμπίπτουν. Αλλά μέσα από το σημείο Δ της ευθείας C1C2 μπορούμε να σχεδιάσουμε μόνο μία ευθεία κάθετη σε αυτό. Έχουμε μια αντίφαση.
Τώρα ξέρετε ποιες είναι οι ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου!
Ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι το απλούστερο πολύγωνο με τρεις γωνίες και τρεις πλευρές. Πριν καταλάβετε πώς να βρείτε τις γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου, πρέπει να γνωρίζετε τις ιδιότητες αυτού του γεωμετρικού σχήματος.
Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου
Ας δούμε τις ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου.
- Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι δύο πλευρές είναι ίσες. Η τρίτη πλευρά του είναι η βάση.
- Οι γωνίες στη βάση ενός τέτοιου τριγώνου είναι ίσες.
- Η διχοτόμος, η διάμεσος και το ύψος από τις γωνίες προς την αντίθετη πλευρά του γεωμετρικού σχήματος είναι επίσης ίσα μεταξύ τους.
- Η διχοτόμος, η διάμεσος και το ύψος από την επάνω γωνία έως τη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι τα ίδια.
- Εάν εγγράψετε έναν κύκλο μέσα σε ένα ισοσκελές τρίγωνο και τον περιγράψετε επίσης γύρω από ένα τέτοιο σχήμα, τα κέντρα τους θα βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
- Οι γωνίες στη βάση μπορούν να είναι μόνο οξείες.
Έτσι, αν δύο γωνίες σε ένα τρίγωνο είναι ίσες και το υψόμετρο του συμπίπτει με τη διάμεσο και τη διχοτόμο, αυτό είναι ισοσκελές. Αυτό είναι το κύριο χαρακτηριστικό ενός ισοσκελούς τριγώνου.
Τώρα, ας δούμε πώς να βρούμε τις γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου. Αν ένα τέτοιο τρίγωνο είναι και ορθογώνιο, τότε η εύρεση των δύο γωνιών του δεν φαίνεται δύσκολη, αφού θα είναι πάντα ίσες με 45 μοίρες, κάτι που προκύπτει από τις ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά ενός ισοσκελούς τριγώνου.
- Γνωρίζοντας μία από τις γωνίες, μπορείτε πάντα να υπολογίσετε την απαιτούμενη. Για παράδειγμα, η γωνία στη βάση θα συμβολίζεται με το γράμμα α, η γωνία στην κορυφή του σχήματος θα συμβολίζεται με το γράμμα β. Άρα η γωνία α θα είναι ίση με: (π - β)/2, όπου π είναι σταθερή τιμή.
- Οι γωνίες μπορούν επίσης να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τόξο. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να περιγράψετε έναν κύκλο γύρω από ένα τέτοιο τρίγωνο με ακτίνα, τον οποίο συμβολίζουμε με το κεφαλαίο γράμμα R. Στη συνέχεια, γωνία α = arcsin(a/2R) και γωνία β = arcsin(b/2R), όπου α και β είναι οι πλευρές του τριγώνου.
Παράδειγμα λύσης προβλήματος
Είναι απαραίτητο να βρούμε τις γωνίες σε ένα ισοσκελές τρίγωνο εάν είναι γνωστό ότι η γωνία στη βάση του είναι 15 μοίρες μεγαλύτερη από τη γωνία απέναντι από τη βάση.
Λύση: Ας συμβολίσουμε την αντίθετη γωνία β, τότε η γωνία στη βάση θα είναι ίση με: β + 15. Επειδή το άθροισμα σε ένα τρίγωνο είναι πάντα ίσο με 180 μοίρες, βρίσκουμε:
β + 2x (β +15) = 180;
β + 2 β + 30 = 180;
Έτσι, η γωνία στη βάση είναι 50 μοίρες, που σημαίνει ότι οι άλλες δύο γωνίες θα είναι ίσες με 65 μοίρες η καθεμία. Τώρα γνωρίζετε τους κανόνες για το πώς να βρείτε τις γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου. Σας ευχόμαστε καλή τύχη σε όλους τους υπολογισμούς σας!
Αυτό το μάθημα θα καλύψει το θέμα «Ισοσκελές τρίγωνο και οι ιδιότητές του». Θα μάθετε πώς μοιάζουν τα ισοσκελή και ισόπλευρα τρίγωνα και πώς χαρακτηρίζονται. Να αποδείξετε το θεώρημα για την ισότητα των γωνιών στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου. Εξετάστε επίσης το θεώρημα για τη διχοτόμο (διάμεσο και υψόμετρο) που σύρεται στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου. Στο τέλος του μαθήματος, θα λύσετε δύο προβλήματα χρησιμοποιώντας τον ορισμό και τις ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου.
Ορισμός:Ισοσκελήςονομάζεται τρίγωνο του οποίου οι δύο πλευρές είναι ίσες.
Ρύζι. 1. Ισοσκελές τρίγωνο
AB = AC - πλευρές. π.Χ. - θεμελίωση.
Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσο με το μισό γινόμενο της βάσης και του ύψους του.
Ορισμός:Ισόπλευροςονομάζεται τρίγωνο στο οποίο και οι τρεις πλευρές είναι ίσες.
Ρύζι. 2. Ισόπλευρο τρίγωνο
AB = BC = SA.
Θεώρημα 1:Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες της βάσης είναι ίσες.
Δεδομένος: AB = AC.
Αποδεικνύω:∠B =∠C.
Ρύζι. 3. Σχέδιο για το θεώρημα
Απόδειξη:τρίγωνο ABC = τρίγωνο ACB σύμφωνα με το πρώτο πρόσημο (δύο ίσες πλευρές και η μεταξύ τους γωνία). Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι όλα τα αντίστοιχα στοιχεία είναι ίσα. Αυτό σημαίνει ∠B = ∠C, που είναι αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.
Θεώρημα 2:Σε ισοσκελές τρίγωνο διαχωριστική γραμμήτραβιέται στη βάση είναι διάμεσοςΚαι ύψος.
Δεδομένος: AB = AC, ∠1 = ∠2.
Αποδεικνύω:ВD = DC, AD κάθετα στο BC.
Ρύζι. 4. Σχέδιο για το Θεώρημα 2
Απόδειξη:τρίγωνο ADB = τρίγωνο ADC σύμφωνα με το πρώτο πρόσημο (AD - γενικά, AB = AC κατά συνθήκη, ∠BAD = ∠DAC). Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι όλα τα αντίστοιχα στοιχεία είναι ίσα. BD = DC αφού βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες. Άρα η AD είναι η διάμεσος. Επίσης ∠3 = ∠4 αφού βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές. Αλλά, εξάλλου, είναι ίσοι συνολικά. Επομένως, ∠3 = ∠4 = . Αυτό σημαίνει ότι το AD είναι το ύψος του τριγώνου, το οποίο έπρεπε να αποδείξουμε.
Στη μοναδική περίπτωση a = b = . Σε αυτή την περίπτωση, οι ευθείες AC και BD ονομάζονται κάθετες.
Εφόσον η διχοτόμος, το ύψος και η διάμεσος είναι το ίδιο τμήμα, ισχύουν επίσης οι ακόλουθες δηλώσεις:
Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου που έλκεται στη βάση είναι η διάμεσος και η διχοτόμος.
Η διάμεσος ενός ισοσκελούς τριγώνου που τραβιέται στη βάση είναι το υψόμετρο και η διχοτόμος.
Παράδειγμα 1:Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η βάση έχει το μισό μέγεθος της πλευράς, και η περίμετρος είναι 50 εκ. Βρείτε τις πλευρές του τριγώνου.
Δεδομένος: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.
Εύρημα: BC, AC, AB.
Λύση:
Ρύζι. 5. Σχέδιο για παράδειγμα 1
Ας συμβολίσουμε τη βάση BC ως a, τότε AB = AC = 2a.
2a + 2a + a = 50.
5a = 50, a = 10.
Απάντηση: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.
Παράδειγμα 2:Να αποδείξετε ότι σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι ίσες.
Δεδομένος: AB = BC = SA.
Αποδεικνύω:∠A = ∠B = ∠C.
Απόδειξη:
Ρύζι. 6. Σχέδιο για παράδειγμα
∠B = ∠C, αφού AB = AC, και ∠A = ∠B, αφού AC = BC.
Επομένως, ∠A = ∠B = ∠C, που είναι αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.
Απάντηση:Αποδεδειγμένος.
Στο σημερινό μάθημα εξετάσαμε ένα ισοσκελές τρίγωνο και μελετήσαμε τις βασικές του ιδιότητες. Στο επόμενο μάθημα θα λύσουμε προβλήματα σχετικά με το θέμα των ισοσκελές τριγώνων, για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ισοσκελούς και ισόπλευρου τριγώνου.
- Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. και άλλα.Γεωμετρία 7. - Μ.: Εκπαίδευση.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. και άλλα Γεωμετρία 7. 5η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Γεωμετρία 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, επιμ. Sadovnichego V.A. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.
- Λεξικά και εγκυκλοπαίδειες για τον Ακαδημαϊκό ().
- Φεστιβάλ παιδαγωγικών ιδεών «Ανοιχτό μάθημα» ().
- Kaknauchit.ru ().
1. Νο. 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Γεωμετρία 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, επιμ. Sadovnichego V.A. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.
2. Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 35 cm, και η βάση είναι τρεις φορές μικρότερη από την πλευρά. Βρείτε τις πλευρές του τριγώνου.
3. Δίνονται: ΑΒ = Π.Χ. Να αποδείξετε ότι ∠1 = ∠2.
4. Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 20 cm, η μία πλευρά του είναι διπλάσια από την άλλη. Βρείτε τις πλευρές του τριγώνου. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;
Μεταξύ όλων των τριγώνων, υπάρχουν δύο ειδικοί τύποι: ορθογώνια τρίγωνα και ισοσκελές τρίγωνα. Γιατί είναι τόσο ιδιαίτεροι αυτοί οι τύποι τριγώνων; Λοιπόν, πρώτον, τέτοια τρίγωνα εξαιρετικά συχνά αποδεικνύονται οι κύριοι χαρακτήρες στα προβλήματα της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στο πρώτο μέρος. Και δεύτερον, προβλήματα σχετικά με ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα είναι πολύ πιο εύκολο να λυθούν από άλλα προβλήματα γεωμετρίας. Απλά πρέπει να γνωρίζετε μερικούς κανόνες και ιδιότητες. Όλα τα πιο ενδιαφέροντα πράγματα συζητούνται στο αντίστοιχο θέμα, αλλά τώρα ας δούμε τα ισοσκελή τρίγωνα. Και καταρχήν τι είναι ισοσκελές τρίγωνο; Ή, όπως λένε οι μαθηματικοί, ποιος είναι ο ορισμός του ισοσκελούς τριγώνου;
Δείτε πώς φαίνεται:
Όπως ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει ειδικά ονόματα για τις πλευρές του. Λέγονται δύο ίσες πλευρές πλευρέςκαι το τρίτο μέρος - βάση.
Και πάλι προσοχή στην εικόνα:
Θα μπορούσε φυσικά να είναι έτσι:
Οπότε να προσέχεις: πλευρική πλευρά - μία από τις δύο ίσες πλευρέςσε ισοσκελές τρίγωνο, και η βάση είναι ένα τρίτο μέρος.
Γιατί είναι τόσο καλό ένα ισοσκελές τρίγωνο; Για να το καταλάβουμε αυτό, ας σχεδιάσουμε το ύψος στη βάση. Θυμάστε τι είναι το ύψος;
Τι συνέβη? Από ένα ισοσκελές τρίγωνο παίρνουμε δύο ορθογώνια.
Αυτό είναι ήδη καλό, αλλά αυτό θα συμβεί σε οποιοδήποτε, ακόμη και στο πιο "λοξό" τρίγωνο.
Σε τι διαφέρει η εικόνα για ένα ισοσκελές τρίγωνο; Κοίτα ξανά:
Λοιπόν, πρώτα, φυσικά, δεν αρκεί να βλέπουν αυτοί οι παράξενοι μαθηματικοί - πρέπει οπωσδήποτε να το αποδείξουν. Διαφορετικά, ξαφνικά αυτά τα τρίγωνα είναι ελαφρώς διαφορετικά, αλλά θα τα θεωρήσουμε ίδια.
Αλλά μην ανησυχείτε: σε αυτήν την περίπτωση, η απόδειξη είναι σχεδόν τόσο εύκολη όσο η θέαση.
Να ξεκινήσουμε? Κοιτάξτε προσεκτικά, έχουμε:
Και αυτό σημαίνει! Γιατί; Ναι, απλά θα βρούμε και, και από το Πυθαγόρειο θεώρημα (ενθυμούμενοι ταυτόχρονα ότι)
Είσαι σίγουρος? Λοιπόν, τώρα έχουμε
Και σε τρεις πλευρές - το πιο εύκολο (τρίτο) σημάδι ισότητας τριγώνων.
Λοιπόν, το ισοσκελές μας τρίγωνο έχει χωριστεί σε δύο πανομοιότυπα ορθογώνια.
Βλέπετε πόσο ενδιαφέρον είναι; Αποδείχθηκε ότι:
Πώς μιλούν συνήθως οι μαθηματικοί για αυτό; Πάμε με τη σειρά:
(Θυμηθείτε εδώ ότι η διάμεσος είναι μια γραμμή που τραβιέται από μια κορυφή που χωρίζει την πλευρά στο μισό και η διχοτόμος είναι η γωνία.)
Λοιπόν, εδώ συζητήσαμε ποια καλά πράγματα μπορούν να φανούν αν δοθεί ένα ισοσκελές τρίγωνο. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι σε ένα ισοσκελές τρίγωνο οι γωνίες στη βάση είναι ίσες και το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος που έλκονται στη βάση συμπίπτουν.
Και τώρα τίθεται ένα άλλο ερώτημα: πώς να αναγνωρίσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο; Δηλαδή, όπως λένε οι μαθηματικοί, τι είναι σημάδια ισοσκελούς τριγώνου;
Και αποδεικνύεται ότι πρέπει απλώς να «γυρίσετε» όλες τις δηλώσεις αντίστροφα. Αυτό, φυσικά, δεν συμβαίνει πάντα, αλλά ένα ισοσκελές τρίγωνο εξακολουθεί να είναι υπέροχο! Τι γίνεται μετά τον «τζίρο»;
Λοιπόν, κοίτα:
Εάν το ύψος και η διάμεσος συμπίπτουν, τότε:
Εάν το ύψος και η διχοτόμος συμπίπτουν, τότε: 
Εάν η διχοτόμος και η διάμεσος συμπίπτουν, τότε:
Λοιπόν, μην ξεχνάτε και χρησιμοποιήστε:
- Εάν σας δοθεί ένα ισοσκελές τριγωνικό τρίγωνο, μη διστάσετε να σχεδιάσετε το ύψος, να πάρετε δύο ορθογώνια τρίγωνα και να λύσετε το πρόβλημα σχετικά με ένα ορθογώνιο τρίγωνο.
- Αν δοθεί αυτό δύο γωνίες είναι ίσες, μετά ένα τρίγωνο ακριβώςισοσκελές και μπορείτε να σχεδιάσετε το ύψος και….(Το σπίτι που έχτισε ο Τζακ…).
- Εάν αποδειχθεί ότι το ύψος διαιρείται στο μισό, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με όλα τα επόμενα μπόνους.
- Εάν αποδειχθεί ότι το ύψος διαιρεί τη γωνία μεταξύ των ορόφων - είναι επίσης ισοσκελές!
- Εάν μια διχοτόμος διαιρεί μια πλευρά στο μισό ή μια διάμεσος διαιρεί μια γωνία, τότε συμβαίνει και αυτό μόνοσε ισοσκελές τρίγωνο
Ας δούμε πώς φαίνεται στις εργασίες.
Πρόβλημα 1(το πιο απλό)
Σε ένα τρίγωνο, οι πλευρές και είναι ίσες, α. Εύρημα.
Εμείς αποφασίζουμε:
Πρώτα το σχέδιο.
Ποια είναι η βάση εδώ; Σίγουρα,.
Ας θυμηθούμε τι γίνεται αν, τότε και.
Ενημερωμένο σχέδιο:
Ας υποδηλώσουμε με. Ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; ?
Χρησιμοποιούμε:
Αυτό είναι απάντηση: .
Δεν είναι δύσκολο, σωστά; Δεν χρειάστηκε καν να ρυθμίσω το ύψος.
Πρόβλημα 2(Επίσης δεν είναι πολύ δύσκολο, αλλά πρέπει να επαναλάβουμε το θέμα)
Σε τρίγωνο, . Εύρημα.
Εμείς αποφασίζουμε:
Το τρίγωνο είναι ισοσκελές! Σχεδιάζουμε το ύψος (αυτό είναι το κόλπο με το οποίο όλα θα κριθούν τώρα).
Τώρα ας «ξεφύγουμε από τη ζωή», ας το δούμε.
Έτσι, έχουμε:
Ας θυμηθούμε τις τιμές του πίνακα των συνημίτονων (καλά, ή κοιτάξτε το cheat sheet...)
Το μόνο που μένει είναι να βρούμε: .
Απάντηση: .
Σημειώστε ότι είμαστε εδώ Πολύαπαιτούμενες γνώσεις σχετικά με ορθογώνια τρίγωνα και «πίνακες» ημίτονο και συνημίτονο. Πολύ συχνά συμβαίνει αυτό: τα θέματα , «Ισοσκελές τρίγωνο» και στα προβλήματα πάνε μαζί, αλλά δεν είναι πολύ φιλικά με άλλα θέματα.
Ισοσκελές τρίγωνο. Μέσο επίπεδο.
Αυτά τα δύο ίσες πλευρέςλέγονται πλευρές, ΕΝΑ η τρίτη πλευρά είναι η βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου.
Κοιτάξτε την εικόνα: και - τις πλευρές, - τη βάση του ισοσκελούς τριγώνου.
Ας χρησιμοποιήσουμε μια εικόνα για να καταλάβουμε γιατί συμβαίνει αυτό. Ας τραβήξουμε ένα ύψος από ένα σημείο.
Αυτό σημαίνει ότι όλα τα αντίστοιχα στοιχεία είναι ίσα.
Ολα! Με μια πτώση (ύψος) απέδειξαν όλες τις δηλώσεις ταυτόχρονα.
Και να θυμάστε: για να λύσετε ένα πρόβλημα σχετικά με ένα ισοσκελές τρίγωνο, είναι συχνά πολύ χρήσιμο να χαμηλώσετε το ύψος στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου και να το διαιρέσετε σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα.
Σημάδια ισοσκελούς τριγώνου
Οι αντίστροφες δηλώσεις είναι επίσης αληθείς:
Σχεδόν όλες αυτές οι δηλώσεις μπορούν και πάλι να αποδειχθούν «με μια πτώση».
1. Άρα, ας μπει αποδείχτηκε ίσος και.
Ας ελέγξουμε το ύψος. Επειτα
2. α) Τώρα αφήστε ένα τρίγωνο ύψος και διχοτόμος συμπίπτουν.
2. β) Και αν το ύψος και η διάμεσος συμπίπτουν? Όλα είναι σχεδόν ίδια, όχι πιο περίπλοκα!
 |
- σε δύο πλευρές |
2. γ) Αν όμως δεν υπάρχει ύψος, το οποίο κατεβαίνει στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου, τότε δεν υπάρχουν αρχικά ορθογώνια τρίγωνα. Κακώς!
Αλλά υπάρχει μια διέξοδος - διαβάστε την στο επόμενο επίπεδο της θεωρίας, καθώς η απόδειξη εδώ είναι πιο περίπλοκη, αλλά προς το παρόν θυμηθείτε ότι εάν η διάμεσος και η διχοτόμος συμπίπτουν, τότε το τρίγωνο θα αποδειχθεί επίσης ισοσκελές, και το ύψος θα εξακολουθεί να συμπίπτει με αυτές τις διχοτόμους και τη διάμεσο.
Ας συνοψίσουμε:
- Εάν το τρίγωνο είναι ισοσκελές, τότε οι γωνίες στη βάση είναι ίσες και το υψόμετρο, η διχοτόμος και η διάμεσος που έλκονται στη βάση συμπίπτουν.
- Αν σε κάποιο τρίγωνο υπάρχουν δύο ίσες γωνίες ή κάποιες δύο από τις τρεις ευθείες (διχοτόμος, διάμεσος, υψόμετρο) συμπίπτουν, τότε ένα τέτοιο τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Ισοσκελές τρίγωνο. Σύντομη περιγραφή και βασικοί τύποι
Ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο που έχει δύο ίσες πλευρές.
Σημάδια ισοσκελούς τριγώνου:
- Αν σε ένα συγκεκριμένο τρίγωνο δύο γωνίες είναι ίσες, τότε αυτό είναι ισοσκελές.
- Αν σε κάποιο τρίγωνο συμπίπτουν:
ΕΝΑ) ύψος και διχοτόμοςή
σι) ύψος και διάμεσοςή
V) διάμεσος και διχοτόμος,
τραβηγμένο προς τη μία πλευρά, τότε ένα τέτοιο τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Εάν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, σημαίνει ότι είστε πολύ κουλ.
Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν διαβάσεις μέχρι το τέλος, τότε είσαι σε αυτό το 5%!
Τώρα το πιο σημαντικό.
Έχετε καταλάβει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, αυτό... αυτό είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.
Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...
Για τι?
Για επιτυχή επιτυχία στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους, για εισαγωγή στο κολέγιο με προϋπολογισμό και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, για τη ζωή.
Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…
Οι άνθρωποι που έχουν λάβει καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από εκείνους που δεν την έχουν λάβει. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.
Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.
Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολλές περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...
Σκέψου όμως και μόνος σου...
Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από άλλους στις Εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους και τελικά θα είσαι... πιο ευτυχισμένος;
ΚΕΡΔΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.
Δεν θα σας ζητηθεί θεωρία κατά τη διάρκεια της εξέτασης.
Θα χρειαστείτε λύνει προβλήματα με το χρόνο.
Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΥ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.
Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να το επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.
Βρείτε τη συλλογή όπου θέλετε, αναγκαστικά με λύσεις, αναλυτική ανάλυσηκαι αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (προαιρετικά) και φυσικά τις προτείνουμε.
Προκειμένου να βελτιωθείτε στη χρήση των εργασιών μας, πρέπει να συμβάλετε στην παράταση της διάρκειας ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.
Πως? Υπάρχουν δύο επιλογές:
- Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο -
- Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σχολικού βιβλίου - Αγοράστε ένα σχολικό βιβλίο - 899 RUR
Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό μας βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.
Παρέχεται πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες για ΟΛΗ τη ζωή του ιστότοπου.
Συμπερασματικά...
Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.
Το «Κατανοούμενο» και το «Μπορώ να λύσω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.
Βρείτε προβλήματα και λύστε τα!
Οι ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου εκφράζονται με τα ακόλουθα θεωρήματα.
Θεώρημα 1. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες στη βάση είναι ίσες.
Θεώρημα 2. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η διχοτόμος προς τη βάση είναι η διάμεσος και το ύψος.
Θεώρημα 3. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η διάμεσος που σύρεται στη βάση είναι η διχοτόμος και το υψόμετρο.
Θεώρημα 4. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, το υψόμετρο που τραβιέται στη βάση είναι η διχοτόμος και η διάμεσος.
Ας αποδείξουμε ένα από αυτά, για παράδειγμα το Θεώρημα 2.5.
Απόδειξη. Ας θεωρήσουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC με βάση BC και να αποδείξουμε ότι ∠ B = ∠ C. Έστω AD η διχοτόμος του τριγώνου ABC (Εικ. 1). Τα τρίγωνα ABD και ACD είναι ίσα σύμφωνα με το πρώτο πρόσημο της ισότητας των τριγώνων (AB = AC κατά συνθήκη, η AD είναι κοινή πλευρά, ∠ 1 = ∠ 2, αφού η AD είναι διχοτόμος). Από την ισότητα αυτών των τριγώνων προκύπτει ότι ∠ B = ∠ C. Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.
Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 1, εδραιώνεται το ακόλουθο θεώρημα.
Θεώρημα 5. Το τρίτο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων. Εάν τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με τρεις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε τέτοια τρίγωνα είναι ίσα (Εικ. 2).
Σχόλιο. Οι προτάσεις που ορίζονται στα παραδείγματα 1 και 2 εκφράζουν τις ιδιότητες της κάθετης διχοτόμου ενός τμήματος. Από τις προτάσεις αυτές προκύπτει ότι οι κάθετες διχοτόμοι στις πλευρές ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.
Παράδειγμα 1.Να αποδείξετε ότι ένα σημείο στο επίπεδο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος βρίσκεται στη διχοτόμο σε αυτό το τμήμα.
Λύση. Έστω το σημείο Μ ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος ΑΒ (Εικ. 3), δηλαδή ΑΜ = ΒΜ.
Τότε το Δ AMV είναι ισοσκελές. Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή p μέσα από το σημείο M και το μέσο O του τμήματος ΑΒ. Κατασκευαστικά, το τμήμα ΜΟ είναι η διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΜΒ, και επομένως (Θεώρημα 3), και το ύψος, δηλ. η ευθεία ΜΟ, είναι η μεσοκάθετος στο τμήμα ΑΒ.
Παράδειγμα 2.Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου σε ένα τμήμα έχει ίση απόσταση από τα άκρα του.
Λύση. Έστω p η διχοτόμος του τμήματος ΑΒ και το σημείο Ο το μέσο του τμήματος ΑΒ (βλ. Εικ. 3).
Θεωρήστε ένα αυθαίρετο σημείο M που βρίσκεται στην ευθεία p. Ας σχεδιάσουμε τα τμήματα ΑΜ και ΒΜ. Τα τρίγωνα AOM και BOM είναι ίσα, αφού οι γωνίες τους στην κορυφή Ο είναι ορθές, το σκέλος OM είναι κοινό και το σκέλος OA είναι ίσο με το σκέλος OB κατά συνθήκη. Από την ισότητα των τριγώνων ΑΟΜ και ΒΟΜ προκύπτει ότι ΑΜ = ΒΜ.
Παράδειγμα 3.Στο τρίγωνο ABC (βλ. Εικ. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; σε τρίγωνο DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Συγκρίνετε τρίγωνα ABC και DEF. Βρείτε τις αντίστοιχες ίσες γωνίες.
Λύση. Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα σύμφωνα με το τρίτο κριτήριο. Αντίστοιχα, ίσες γωνίες: A και E (βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές BC και FD), B και F (βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές AC και DE), C και D (βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές AB και EF).
Παράδειγμα 4.Στο σχήμα 5, AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Βρείτε τη γωνία Δ.
Λύση. Θεωρήστε τα τρίγωνα ABC και ADC. Είναι ίσα σύμφωνα με το τρίτο κριτήριο (AB = DC, BC = AD κατά συνθήκη και η πλευρά AC είναι κοινή). Από την ισότητα αυτών των τριγώνων προκύπτει ότι ∠ B = ∠ D, αλλά η γωνία Β είναι ίση με 100°, που σημαίνει ότι η γωνία Δ είναι ίση με 100°.
Παράδειγμα 5.Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC με βάση AC, η εξωτερική γωνία στην κορυφή C είναι 123°. Βρείτε το μέγεθος της γωνίας ABC. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
Λύση βίντεο.
- Σε επαφή με 0
- Google+ 0
- Εντάξει 0
- Facebook 0
