Η έννοια της σύμμορφης χαρτογράφησης. Παραδείγματα σύμμορφων αντιστοιχίσεων Σύμμορφες αντιστοιχίσεις για ανδρείκελα

Στείλτε την καλή δουλειά σας στη βάση γνώσεων είναι απλή. Χρησιμοποιήστε την παρακάτω φόρμα

Φοιτητές, μεταπτυχιακοί φοιτητές, νέοι επιστήμονες που χρησιμοποιούν τη βάση γνώσεων στις σπουδές και την εργασία τους θα σας είναι πολύ ευγνώμονες.

Δημοσιεύτηκε στις http://www.allbest.ru/

Συμμορφωτικές αντιστοιχίσεις

1. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής

σύμμορφη λειτουργία χαρτογράφησης

Γεωμετρική σημασία του παραγώγου ορίσματος

Ας θυμηθούμε πρώτα μερικές πληροφορίες για τις καμπύλες. Κάθε καμπύλη στο επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί με παραμετρικές εξισώσεις

x = x (t), y = y (t), β; t; σε 1)

όπου x (t), y (t) είναι πραγματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής t. Στη συνέχεια, υποτίθεται ότι αυτές οι συναρτήσεις έχουν συνεχείς παραγώγους στο διάστημα (b, c) και οι x"(t) και y"(t) δεν εξαφανίζονται ταυτόχρονα. Μια καμπύλη που έχει αυτές τις ιδιότητες ονομάζεται λεία.

Δεδομένου ότι κάθε σημείο (x, y) στο επίπεδο δίνεται από έναν μιγαδικό αριθμό z = x + iy, οι εξισώσεις (1) μπορούν να γραφτούν με πιο συμπαγή μορφή:

z (t) = x (t) + i y (t), b? t; V.

Ας πάρουμε τις τιμές t 0 και t 0 + Дt από το διάστημα (b, c). Αντιστοιχούν στα σημεία z (t 0) και z (t 0 + D t) της καμπύλης.

Διάνυσμα Дz = z (t 0 + Дt) - z (t 0) = Δx + i Δy κατευθύνεται κατά μήκος της τομής που διέρχεται από αυτά τα σημεία.

Αν πολλαπλασιάσουμε το Dz με έναν πραγματικό αριθμό 1/Dt, προκύπτει το διάνυσμα Dz/Dt, συγγραμμικό με το διάνυσμα Dz. Ας αρχίσουμε να μειώνουμε το Dt. Τότε το σημείο z (t 0 + Дt) θα πλησιάσει το z (t 0) κατά μήκος της καμπύλης. το διάνυσμα Dz/Dt θα περιστραφεί, πλησιάζοντας το διάνυσμα

Η οριακή θέση των τμημάτων που διέρχονται από το σημείο z (t 0) ονομάζεται εφαπτομένη της καμπύλης σε αυτό το σημείο. Έτσι, το διάνυσμα z "(t 0) κατευθύνεται εφαπτομενικά στην καμπύλη στο σημείο z (t 0).

Έστω τώρα μια συνάρτηση f (z), αναλυτική στο σημείο z 0, και f "(z 0) ? 0. Ας υποθέσουμε περαιτέρω ότι η καμπύλη r διέρχεται από το σημείο z 0, που ορίζεται από την εξίσωση z (t) = x (t) + iy (t), και z (t 0) = z 0. Η καμπύλη z αντιστοιχίζεται από τη συνάρτηση w = f (z) στην καμπύλη Г που βρίσκεται στο επίπεδο της μεταβλητής w· η εξίσωση του η καμπύλη Г θα έχει τη μορφή w (t) = f (z(t ))· το σημείο z 0 θα αντιστοιχιστεί στο σημείο w 0 = f (z 0) Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας μιγαδικής συνάρτησης

w " (t 0) = f " (z 0) ? z "(t 0).(2)

Από αυτό προκύπτει ότι

Arg w " (t 0) = Arg f " (z 0) + Arg z " (t 0).(3)

Αλλά το z "(t 0) είναι ένα διάνυσμα που εφάπτεται στην καμπύλη r στο σημείο z 0 (Εικ. 1a), και το w " (t 0) είναι ένα διάνυσμα που εφάπτεται στην καμπύλη Г στο σημείο w 0 (Εικ. 1b ). Επομένως, η ισότητα (3) μας επιτρέπει να δώσουμε στην τιμή Arg f " (z 0) την ακόλουθη γεωμετρική σημασία: το όρισμα της παραγώγου είναι ίσο με τη γωνία μέσω της οποίας η εφαπτομένη στο σημείο z 0 περιστρέφεται σε οποιαδήποτε καμπύλη που διέρχεται από αυτό σημείο κατά την εμφάνιση w = f (z). Σημειώστε ότι αυτή η γωνία δεν εξαρτάται από την καμπύλη z, δηλαδή οι εφαπτομένες σε όλες τις καμπύλες που διέρχονται από το σημείο z 0 περιστρέφονται όταν το w = f (z) αντιστοιχίζεται στην ίδια γωνία ίση σε Arg f "(z 0) .

Ας πάρουμε οποιεσδήποτε δύο καμπύλες z και z1 που περνούν από το σημείο z 0 και σχεδιάζουμε εφαπτομένες σε αυτές τις καμπύλες (Εικ. 1α). Όταν εμφανίζεται

w = f (z), οι καμπύλες z και z1 θα μετατραπούν σε καμπύλες Г και Г1, και καθεμία από τις εφαπτομένες των z και z1 θα περιστρέφεται κατά την ίδια γωνία. Επομένως, η γωνία και μεταξύ των εφαπτομένων σε z και r1 θα είναι ίσα (τόσο σε μέγεθος όσο και κατά την κατεύθυνση αναφοράς) με τη γωνία μεταξύ των εφαπτομένων σε Г και Г 1. Θυμηθείτε ότι η γωνία μεταξύ των καμπυλών στο σημείο z 0 είναι η γωνία μεταξύ των εφαπτομένων σε αυτές τις καμπύλες στο σημείο z 0 . Έτσι, εάν f "(z 0) ? 0, τότε η αντιστοίχιση w = f (z) διατηρεί τις γωνίες μεταξύ των καμπυλών. Σημειώστε ότι σε αυτήν την περίπτωση όχι μόνο η απόλυτη τιμή των γωνιών μεταξύ των καμπυλών z και z1 και οι εικόνες τους διατηρείται, αλλά και η διεύθυνση των γωνιών Αυτή η ιδιότητα αυτής της χαρτογράφησης ονομάζεται ιδιότητες διατήρησης γωνιών.

Γεωμετρική σημασία της παράγωγης ενότητας

Ας καθορίσουμε το σημείο z 0 και πάρουμε την αύξηση του ορίσματος Dz. είναι προφανές ότι η ενότητα |Dz| ίση με την απόσταση μεταξύ των σημείων z 0 και z = z 0 + Dz (Εικ. 2α). Έστω w = f (z), Дw = w - w 0. Τότε η τιμή |Dw| / |Dz| δείχνει την αναλογία στην οποία η απόσταση μεταξύ των σημείων z 0 και z αλλάζει ως αποτέλεσμα της αντιστοίχισης w = f (z). Το όριο ονομάζεται συντελεστής τάνυσης στο σημείο z 0 κάτω από την αντιστοίχιση w = f (z). Επειδή η

στη συνέχεια ενότητα | f "(z 0) | ισούται με τον συντελεστή τάνυσης στο σημείο z 0 όταν εμφανίζεται w = f (z). Εάν | f "(z 0) | > 1, τότε σε μια αρκετά μικρή γειτονιά του σημείου z 0 οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων κατά τη διάρκεια της χαρτογράφησης αυξάνονται και εμφανίζεται τέντωμα. αν | f "(z 0)|< 1, то отображение приводит к сжатию (хотя соответствующий коэффициент все равно называют коэффициентом растяжения). Свойство данного отображения носит название μόνιμες εφελκυστικές ιδιότητες.

Εφόσον η παράγωγος f "(zo) δεν εξαρτάται από τη διαδρομή κατά την οποία το σημείο z 0 + Дz πλησιάζει το z 0, ο συντελεστής τάνυσης είναι ο ίδιος προς όλες τις κατευθύνσεις. Αυτή η ιδιότητα μπορεί να απεικονιστεί ως εξής. Πάρτε έναν κύκλο μεγάλομε κέντρο z 0 και ακτίνα |Дz| (δηλαδή οι αυξήσεις του Dz έχουν μια σταθερή ενότητα, αλλά διαφορετικές κατευθύνσεις - Εικ. 2α). Όταν εμφανίζεται w = f (z), αυτός ο κύκλος θα μετατραπεί στην καμπύλη L (Εικ. 2β). η απόσταση από το σημείο w = f (z 0 + Dz) αυτής της καμπύλης μέχρι το σημείο w 0 = f (z 0) είναι ίση με

|Dw| = |w- w 0 | = |f (z 0 + Dz) - f (z 0)|.

Αφού Dw = f "(z 0) Dz + b (Dz) Dz, όπου b (Dz) > 0 για Dz > 0, τότε |w - w 0 | = |f " (z 0) Dz + b(Dz) Dz|. Αυτή η ισότητα σημαίνει ότι τα σημεία της καμπύλης L θα διαφέρουν ελάχιστα από τον κύκλο |w -- w 0 | = |f " (z 0)| | Дz| με κέντρο w 0 και ακτίνα |f " (z 0)| | Dz| (ακριβέστερα, θα διαφέρουν από αυτόν τον κύκλο κατά μια τιμή υψηλότερης τάξης μικρότητας από το |Dz| - Εικ. 2β).

2. Η έννοια της σύμμορφης χαρτογράφησης

Μια χαρτογράφηση ονομάζεται σύμμορφη στο σημείο z 0 εάν: 1) αυτή η αντιστοίχιση διατηρεί τις γωνίες μεταξύ οποιωνδήποτε δύο καμπυλών που διέρχονται από το σημείο z 0 . 2) το τέντωμα στο σημείο z 0 δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση.

Εάν μια σύμμορφη χαρτογράφηση διατηρεί επίσης την κατεύθυνση αναφοράς των γωνιών, τότε ονομάζεται σύμμορφη χαρτογράφηση του πρώτου είδους. εάν η κατεύθυνση της μέτρησης των γωνιών αλλάξει προς το αντίθετο, τότε με μια σύμμορφη χαρτογράφηση του δεύτερου είδους.

Ας διατυπώσουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν παραπάνω με τη μορφή ενός θεωρήματος.

Θεώρημα 1. Εάν η συνάρτηση w = f (z) είναι αναλυτική στο σημείο z 0 και f "(z 0) ? 0, τότε η f (z) πραγματοποιεί μια σύμμορφη χαρτογράφηση του πρώτου είδους στο σημείο z 0. Επιπλέον , Arg f " (z 0 ) σημαίνει τη γωνία περιστροφής, και |f" (z 0)| είναι ο συντελεστής τάνυσης για αυτήν την αντιστοίχιση.

Ένα παράδειγμα σύμμορφης χαρτογράφησης του δεύτερου είδους δίνεται από τη (μη αναλυτική!) συνάρτηση w =, η οποία αντιστοιχίζει κάθε περιοχή D σε μια περιοχή Ε που είναι συμμετρική προς το D σε σχέση με τον άξονα OX.

Εάν f "(z 0) = 0, τότε η χαρτογράφηση, γενικά μιλώντας, δεν θα είναι πλέον σύμμορφη στο σημείο z 0. Έτσι, η αντιστοίχιση w = z 2 διπλασιάζει τις γωνίες μεταξύ των ακτίνων στην αρχή.

Σημειώστε ότι, λόγω των γενικών ιδιοτήτων των αναλυτικών συναρτήσεων, μια αναλυτική συνάρτηση με μία τιμή z = μ(w) ορίζεται σε μια γειτονιά του σημείου w 0 . Έτσι, δημιουργείται μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των γειτονιών των σημείων z 0 και w 0. Ας εισαγάγουμε τον ακόλουθο θεμελιώδη ορισμό.

Ορισμός. Ένα προς ένα χαρτογράφηση της περιοχής; μιγαδικό επίπεδο z σε μια περιοχή G του μιγαδικού επιπέδου w ονομάζεται σύμμορφο εάν αυτή η αντιστοίχιση σε όλα τα σημεία z ; έχει τις ιδιότητες διατήρησης γωνιών και σταθερής τάσης.

Τονίζουμε ότι αυτός ο ορισμός συνεπάγεται τη συνέχεια της εν λόγω χαρτογράφησης.

Ας μάθουμε τώρα ποιες ιδιότητες πρέπει να έχει μια συνάρτηση μιας σύνθετης μεταβλητής προκειμένου η αντιστοίχιση που πραγματοποιείται από αυτή τη συνάρτηση να είναι σύμμορφη. Ισχύει το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα 2. Έστω η συνάρτηση f (z) μια μονοτιμή και μονοσθενής αναλυτική συνάρτηση στο πεδίο ορισμού; και f" (z) ? 0 για z ?. Στη συνέχεια, η συνάρτηση f (z) παράγει μια σύμμορφη αντιστοίχιση του τομέα ? στον τομέα G του μιγαδικού επιπέδου w, που είναι το εύρος τιμών της συνάρτησης w = f (z) για z ?.

Απόδειξη. Πράγματι, λόγω της συνθήκης f "(z) ? 0 για z ?, η χαρτογράφηση που πραγματοποιείται από τη συνάρτηση f (z) σε όλα τα σημεία του πεδίου ? έχει τις ιδιότητες διατήρησης γωνιών και σταθερότητας διαστολών, γεγονός που αποδεικνύει το θεώρημα .

Άρα, οι συνθήκες αναλυτικότητας, μονοδυναμίας και μη μηδενικής παραγώγου συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής είναι επαρκείς προϋποθέσεις για τη συμμόρφωση της αντιστοίχισης που πραγματοποιείται από αυτή τη συνάρτηση. Είναι φυσικό να αναρωτηθούμε εάν οι προϋποθέσεις είναι απαραίτητες. Το παρακάτω θεώρημα απαντά σε αυτό το ερώτημα.

Θεώρημα 3. Έστω η συνάρτηση f (z) να πραγματοποιήσει μια σύμμορφη αντιστοίχιση του πεδίου; μιγαδικό επίπεδο z στην περιοχή G του μιγαδικού επιπέδου w και οριοθετείται σε?. Τότε η συνάρτηση f (z) είναι μονοσθενής και αναλυτική στο πεδίο ορισμού ?, και η f" (z) ? 0 για το z ?.

Απόδειξη. Εφόσον η αντιστοίχιση που πραγματοποιείται από τη συνάρτηση f (z) είναι σύμμορφη, είναι ένα προς ένα και σε οποιοδήποτε σημείο z 0; πληρούνται οι ιδιότητες της διατήρησης των γωνιών και της σταθερότητας της τάσης. Συνεπώς, για οποιαδήποτε σημεία z 1 και z 2 που ανήκουν στη γειτονιά του σημείου z 0, μέχρι απειροελάχιστες τιμές, ικανοποιούνται οι ακόλουθες σχέσεις:

όπου Dz 1 = z 1 - z 0 και Dz 2 = z 2 - z 0 είναι απειροελάχιστα γραμμικά στοιχεία που προέρχονται από το σημείο z 0, και τα Dw 1 και Dw 2 είναι οι εικόνες τους (Εικ. 3).

Σημειώστε ότι, δυνάμει του (4), οι αντίστοιχες γωνίες στα σημεία z 0 και w 0 είναι ίσες όχι μόνο σε απόλυτη τιμή, αλλά και σε διεύθυνση. Δηλώνοντας arg με, από το (4) βρίσκουμε ότι arg. Πραγματικά,

Από τα (5) και (6) παίρνουμε ότι, μέχρι απειροελάχιστες τιμές, ισχύει η ακόλουθη σχέση:

Λόγω της αυθαίρετης επιλογής των σημείων z 1 και z 2 στην περιοχή του σημείου z 0, η σχέση (7) σημαίνει ότι υπάρχει όριο του λόγου διαφοράς στο. Αυτό το όριο, εξ ορισμού, είναι η παράγωγος της συνάρτησης f (z) στο σημείο z 0 . Εφόσον αυτή η παράγωγος είναι μη μηδενική:

Το σημείο z 0 είναι ένα αυθαίρετο σημείο στην περιοχή; Επομένως, από το (8) προκύπτει ότι η συνάρτηση f (z) είναι αναλυτική στην περιοχή; και f "(z) ? 0 για z ?. Η μονοδυναμία προκύπτει από την αντιστοίχιση ένα προς ένα. Το θεώρημα αποδεικνύεται. Άρα, η σύμμορφη αντιστοίχιση του τομέα; του μιγαδικού επιπέδου z στον τομέα G του μιγαδικού επιπέδου Το w εκτελείται μόνο από μονοσθενείς αναλυτικές συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής με μη μηδενική παράγωγο σε όλα τα σημεία της περιοχής;

Σημειώστε ότι η συνθήκη f" (z) ? 0 παντού στον τομέα; είναι μια απαραίτητη αλλά όχι επαρκής συνθήκη για τη συμμόρφωση της αντιστοίχισης του πεδίου; στον τομέα G που πραγματοποιείται από τη συνάρτηση f (z).

3. Γενικές ιδιότητες σύμμορφων αντιστοιχίσεων

Θεώρημα 4 (θεώρημα Riemann). Έστω D και D" απλώς συνδεδεμένες περιοχές στα εκτεταμένα επίπεδα των μεταβλητών z και w, αντίστοιχα, και τα όρια αυτών των περιοχών αποτελούνται από περισσότερα από ένα σημεία. Τότε υπάρχει μια αναλυτική συνάρτηση που αντιστοιχίζει το D στο D" ένα προς το ένα και σύμφωνο.

Από το θεώρημα του Riemann προκύπτει ότι ένα απλά συνδεδεμένο πεδίο D δεν μπορεί να αντιστοιχιστεί σύμφωνα με το μοναδιαίο δίσκο |w|< 1 только в двух случаях: а) если D есть вся расширенная плоскость (граница -- пустое множество); б) если D есть расширенная плоскость, из которой удалена только одна точка (например, если D -- конечная плоскость С, когда из удалена точка z = ?).

Η αντιστοίχιση w = f (z) του τομέα D στο D", που υπάρχει σύμφωνα με το θεώρημα του Riemann, δεν είναι η μόνη. Για να προσδιοριστεί μοναδικά η σύμμορφη αντιστοίχιση, είναι απαραίτητο να οριστούν πρόσθετες συνθήκες, που ονομάζονται συνθήκες κανονικοποίησης, που περιέχουν τρεις Για παράδειγμα, αρκεί σε οποιοδήποτε σημείο z 0 τιμές συνόλου περιοχής D

w 0 = f(z 0), .(9)

Εδώ οι παράμετροι είναι δύο συντεταγμένες του σημείου w 0 και ένας πραγματικός αριθμός. Οι συνθήκες (9) σημαίνουν ότι η αντιστοίχιση w = f(z) είναι μοναδική εάν για οποιοδήποτε σημείο z 0 στην περιοχή D καθορίζεται η εικόνα του w 0 στην περιοχή D" και η γωνία περιστροφής των απειροελάχιστων διανυσμάτων στο σημείο z 0.

Μπορείτε επίσης να καθορίσετε άλλες συνθήκες κανονικοποίησης που διαφέρουν από το (9). Για παράδειγμα, καθορίζονται οι εικόνες ενός εσωτερικού και ενός οριακού σημείου της περιοχής D:

f(z 0) = w 0, f(z 1) = w 1,

όπου z 0, w 0 είναι τα εσωτερικά σημεία των περιοχών D, D", a z 0, w 0 είναι τα οριακά σημεία αυτών των περιοχών. Υπάρχουν επίσης τρεις πραγματικές παράμετροι: δύο συντεταγμένες του σημείου w 0 και η θέση του οριακό σημείο w 1, το οποίο καθορίζεται από έναν πραγματικό αριθμό (για παράδειγμα, η απόσταση κατά μήκος του ορίου της περιοχής D" από κάποιο σταθερό οριακό σημείο). Ας υποδείξουμε μια άλλη παραλλαγή συνθηκών κανονικοποίησης:

f(z k) = w k , k = 1,2,3,

όπου z k και w k είναι τα οριακά σημεία των περιοχών D και D».

Ας διατυπώσουμε την ακόλουθη σημαντική ιδιότητα των σύμμορφων αντιστοιχίσεων.

Ιδιοκτησία 1. (αρχή διατήρησης της περιοχής). Εάν η συνάρτηση w = f(z) είναι αναλυτική σε ένα πεδίο D και όχι σταθερή, τότε το σύνολο D" στο οποίο αντιστοιχίζει το D είναι επίσης πεδίο (δηλαδή, ένα ανοιχτό συνδεδεμένο σύνολο).

Ας προχωρήσουμε σε δηλώσεις που περιγράφουν την αντιστοιχία των ορίων υπό σύμμορφες αντιστοιχίσεις.

Ιδιοκτησία 2. (αρχή της αντιστοιχίας ορίων). Έστω D και D" απλά συνδεδεμένες περιοχές που οριοθετούνται από συνεχή κλειστά περιγράμματα Г και Г", που αποτελούνται από έναν πεπερασμένο αριθμό ομαλών καμπυλών. Έστω, περαιτέρω, η συνάρτηση w = f(z) να αντιστοιχίσει σύμφωνα με το D στο D." Τότε αυτή η συνάρτηση μπορεί να οριστεί περαιτέρω σε σημεία του ορίου του Γ έτσι ώστε να γίνει συνεχής σε ένα κλειστό πεδίο και να αντιστοιχίσει το Γ ένα προς ένα και συνεχώς επί Γ."

Αυτή η ιδιότητα σημαίνει ότι όταν δύο περιοχές αντιστοιχίζονται ομοιόμορφα μεταξύ τους, δημιουργείται μια μία προς μία και συνεχής αντιστοιχία μεταξύ των ορίων τους.

Ιδιότητα 3. Με μία προς ένα και σύμμορφη χαρτογράφηση των περιοχών Δ και Δ», διατηρείται η κατεύθυνση διέλευσης των ορίων τους.

Με άλλα λόγια, εάν όταν περιστρέφεται το όριο, η περιοχή D παραμένει στα αριστερά, τότε όταν περιστρέφεται γύρω από το όριο της περιοχής D, αυτή η περιοχή παραμένει στα αριστερά.

Η ακόλουθη ιδιότητα έχει μεγάλη σημασία για την κατασκευή σύμμορφων αντιστοιχίσεων.

Ιδιότητα 4. (αντίστροφη αρχή αντιστοιχίας ορίων).

Αφήστε τις απλώς συνδεδεμένες περιοχές D και D" να οριοθετηθούν από τις καμπύλες Г και Г. Έστω, περαιτέρω, μια συνάρτηση w = f(z), αναλυτική στο D και συνεχής μέσα, να αντιστοιχίσει το Γ ένα προς ένα στο Γ, και όταν ένα σημείο z περιστρέφεται γύρω από το περίγραμμα Γ έτσι ώστε η περιοχή D να παραμείνει στα αριστερά, το αντίστοιχο σημείο w περιστρέφεται γύρω από το περίγραμμα Γ "έτσι ώστε το πεδίο ορισμού D" να παραμένει επίσης στα αριστερά. Στη συνέχεια, η συνάρτηση w = f(z) πραγματοποιεί μια σύμμορφη αντιστοίχιση ενός προς ένα του τομέα D στον τομέα D. "

Συνεπώς, για να βρεθεί η περιοχή στην οποία η συνάρτηση w = f(z) αντιστοιχίζει μια δεδομένη περιοχή D, αρκεί να περιηγηθεί το όριο της περιοχής D και να βρεθεί το περίγραμμα στο οποίο αυτό το όριο χαρτογραφείται από τη συνάρτηση f(z ).

4.Βασικές λειτουργίες

Γραμμική συνάρτηση

Η συνάρτηση w = az + b,(10), όπου a και b δίνονται μιγαδικοί αριθμοί και a?0, ονομάζεται γραμμική συνάρτηση. Εφόσον w " = a; 0, τότε η αντιστοίχιση (10) είναι σύμμορφη σε ολόκληρο το επίπεδο C. Ας αποδείξουμε ότι είναι επίσης μονοσθενής στο C. Αν w 1 = az 1 + b, w 2 = az 2 + b, τότε w 1 -- w 2 = a(z 1 -- z 2). Επομένως, για z 1 ? z 2 λαμβάνουμε ότι w 1 ? w 2 , και η μονοδυναμία καθορίζεται. αποκτήστε μια μονοσθενή χαρτογράφηση ολόκληρου του εκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου.

Για να μελετήσουμε τις γεωμετρικές ιδιότητες της χαρτογράφησης (10), εξετάζουμε πρώτα την περίπτωση b = 0, δηλ. w = αζ. Έστω a = , z = .Τότε

Επομένως, για να λάβετε το διάνυσμα w = az, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα δύο βήματα:

1) πολλαπλασιάστε το δεδομένο διάνυσμα z με |a|. Σε αυτήν την περίπτωση, η κατεύθυνση του διανύσματος z θα παραμείνει ίδια, αλλά το μήκος θα αυξηθεί κατά |a| μια φορά. Αυτό σημαίνει ότι ο πολλαπλασιασμός με |a| είναι ένας μετασχηματισμός ομοιότητας (ομογένεια) με κέντρο στην αρχή και συντελεστή ομοιότητας |a|;

2) περιστρέψτε το διάνυσμα που προκύπτει |a|z κατά γωνία b.

Για να εξετάσουμε τη γενική περίπτωση (10), σημειώνουμε ότι όταν το διάνυσμα az προστεθεί στο διάνυσμα b, το τελικό σημείο του διανύσματος az μεταφέρεται παράλληλα στο διάνυσμα b. Έτσι, η αντιστοίχιση (10) λαμβάνεται με σύνθεση (δηλαδή διαδοχική εκτέλεση) των ακόλουθων τριών πράξεων: 1) μετασχηματισμός ομοιότητας με το κέντρο στην αρχή και συντελεστής ομοιότητας |a|; 2) περιστροφή γύρω από την αρχή κατά γωνία β. 3) παράλληλη μεταφορά στο διάνυσμα β.

Κλασματική γραμμική συνάρτηση.

Ας προχωρήσουμε στη μελέτη της κλασματικής γραμμικής συνάρτησης που ορίζεται από την ισότητα

και την αντίστοιχη κλασματική γραμμική χαρτογράφηση. Επειδή

τότε είναι φυσικό να ορίσουμε w(?) = a/c, w(--d/c) = ?. Η συνάρτηση που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο θα είναι συνεχής σε όλο το εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο.

Αν c = 0, τότε w = και η κλασματική γραμμική συνάρτηση ανάγεται στην ήδη μελετημένη γραμμική συνάρτηση. Επομένως, σε όσα ακολουθούν υποτίθεται ότι 0.

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος (11) με c και προσθέστε +ad -- ad στον αριθμητή. Τότε το κλάσμα (11) μπορεί να αναπαρασταθεί ως

Αν bc -- ad = 0, τότε w = a/c και η συνάρτηση (11) μειώνεται σε σταθερά. Στο μέλλον, υποθέτουμε ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις

Με? 0, π.Χ. - διαφήμιση ? 0.(13)

Ας δείξουμε ότι η κλασματική γραμμική συνάρτηση (11) πραγματοποιεί μια αντιστοίχιση ένα προς ένα. Για το σκοπό αυτό, λύνουμε την εξίσωση (11) για z (αυτό είναι δυνατό για z ? --d/c, z ? ?, w ? а/с, w ? ?):

Επομένως, κάθε τιμή του w; a/c και w ? ? έχει μόνο μία αντίστροφη εικόνα z; - d/c και z ? ?. Αλλά εξ ορισμού, η τιμή w = a/c αντιστοιχεί σε z = ?, και η τιμή w = ? -- τιμή z = --d/c. Άρα, κάθε σημείο w έχει μόνο μία αντίστροφη εικόνα z, την οποία χρειαζόμασταν να αποδείξουμε.

Ας καθορίσουμε τώρα τη συμμόρφωση της χαρτογράφησης (11). Επειδή

τότε στο z; - d/c και z ? ? η παράγωγος w" υπάρχει και δεν είναι ίση με το μηδέν. Με το Θεώρημα 1, ο γραμμικός κλασματικός χάρτης είναι σύμφωνος παντού εκτός από αυτά τα δύο σημεία.

Για να προσδιορίσετε τη συμμόρφωση σε z = - d/c και z = ? χρειαζόμαστε τον ακόλουθο ορισμό.

Σε γωνία μεταξύ δύο ευθειών στο σημείο z = ? νοείται ως η γωνία μεταξύ των εικόνων αυτών των γραμμών κατά την εμφάνιση w = στην αρχή.

Θεώρημα 5. Κλασματική γραμμική συνάρτηση

Διαφήμιση -- bс? 0, w(?) = a/c, w(- d/c) = ?, (14)

υλοποιεί μια ένα προς ένα και σύμμορφη χαρτογράφηση του εκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου σε ολόκληρο το επίπεδο.

Δεν αποκλείουμε την περίπτωση με = 0 στο Θεώρημα 5, καθώς σε αυτήν την περίπτωση η κλασματική γραμμική συνάρτηση γίνεται γραμμική, έχοντας επίσης όλες τις ιδιότητες που καθορίζονται στο Θεώρημα 5.

Ας καθορίσουμε τώρα την κυκλική ιδιότητα μιας γραμμικής κλασματικής απεικόνισης. Για ομοιομορφία περαιτέρω σκευασμάτων, είναι βολικό να θεωρηθεί μια ευθεία γραμμή ως ένας κύκλος απείρως μεγάλης ακτίνας.

Θεώρημα 6. Με μια κλασματική γραμμική απεικόνιση (14), οι κύκλοι μετατρέπονται πάντα σε κύκλους.

(Σημειώστε ότι ένας κύκλος πεπερασμένης ακτίνας μπορεί να μετατραπεί σε κύκλο άπειρης ακτίνας, δηλαδή σε ευθεία γραμμή και αντίστροφα.)

Απόδειξη. Θεωρήστε την εξίσωση

A(x 2 + y 2) + Bx + Su + D = 0, (15)

όπου Α, Β, Γ, Δ είναι πραγματικοί συντελεστές. Στο A = 0 λαμβάνουμε Bx + Cy + D = 0, δηλ. εξίσωση μιας γραμμής. Αν ένα? 0, τότε, διαιρώντας με το Α και επιλέγοντας πλήρη τετράγωνα, καταλήγουμε στην ισότητα

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 = ± R 2

που ορίζει είτε έναν κύκλο εάν +R 2 στα δεξιά, είτε ένα σημείο εάν R = 0, είτε ένα κενό σύνολο εάν -R 2 στα δεξιά. Από την άλλη πλευρά, οποιοσδήποτε κύκλος (ιδίως μια ευθεία γραμμή) μπορεί να προσδιοριστεί με μια εξίσωση της μορφής (15).

Ας αποδείξουμε πρώτα την κυκλική ιδιότητα για την αντιστοίχιση w = 1/z. Ας πάρουμε έναν αυθαίρετο κύκλο στο μιγαδικό επίπεδο. Δίνεται από την εξίσωση (15). Ας συμβολίσουμε z = x + iy, w = u + iv. Η ισότητα w = 1/z δίνει z = 1/w, ή

Για να λάβουμε την εξίσωση της καμπύλης στην οποία θα μετατραπεί ο κύκλος όταν εμφανίζεται w = 1/z, αντικαθιστούμε τις εκφράσεις που βρέθηκαν για x και y σε (15):

A + B u - C v + D (u 2 + v 2) = 0

Φτάσαμε σε μια εξίσωση ίδιας μορφής με την (15), αλλά στο επίπεδο της μεταβλητής w = u + iv. Όπως είδαμε νωρίτερα, μια τέτοια εξίσωση ορίζει είτε έναν κύκλο (συγκεκριμένα, μια γραμμή για D = 0), ένα σημείο ή ένα κενό σύνολο. Αλλά λόγω του χαρακτήρα ενός προς ένα μιας κλασματικής γραμμικής χαρτογράφησης, ένας κύκλος δεν μπορεί να πάει σε ένα σημείο ή σε ένα κενό σύνολο. Αυτό σημαίνει ότι μετατρέπεται σε κύκλο και καθιερώνεται η κυκλική ιδιότητα της αντιστοίχισης w = 1/z.

Ας εξετάσουμε τώρα τη γενική περίπτωση της γραμμικής κλασματικής χαρτογράφησης (14). Αν c = 0, τότε λαμβάνουμε μια γραμμική απεικόνιση w = a 1 z + b 1, η οποία μειώνεται σε τέντωμα με περιστροφή και μετατόπιση. Καθένας από αυτούς τους μετασχηματισμούς έχει προφανώς μια κυκλική ιδιότητα. Αυτό σημαίνει ότι για την αντιστοίχιση w = a 1 z + b 1 ισχύει και αυτή η ιδιότητα.

Αφήστε τώρα με; 0. Χρησιμοποιώντας την ισότητα (12), αναπαριστάνουμε την κλασματική γραμμική αντιστοίχιση στη μορφή

όπου E = , F =, G =.

Από την ισότητα (16) προκύπτει ότι η κλασματική γραμμική χαρτογράφηση παρουσιάζεται ως σύνθεση των ακόλουθων τριών μετασχηματισμών:

1) w 1 = z + G; 2) w 2 = 1/w; 3) w = E + Fw 2. Όπως διαπιστώθηκε παραπάνω, καθένας από αυτούς τους μετασχηματισμούς μετατρέπει έναν κύκλο σε κύκλο. Αυτό σημαίνει ότι η σύνθεσή τους έχει και αυτή την ιδιότητα, που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Για να διατυπώσουμε μια άλλη ιδιότητα των γραμμικών κλασματικών αντιστοιχίσεων, χρειαζόμαστε τον ακόλουθο ορισμό.

Τα σημεία Α και Α» ονομάζονται συμμετρικά ως προς έναν κύκλο ακτίνας R< ?, если они лежат на одном луче, выходящем из центра О окружности, и

OA* OA" = R 2 .(17)

Αν το σημείο Α πλησιάσει τον κύκλο (βλ. Εικ. 4), δηλ. αν OA > R, τότε το OA" τείνει επίσης στο R· κάθε σημείο του κύκλου είναι συμμετρικό με τον εαυτό του· εάν OA > 0, τότε OA" > ?. Επομένως, για το σημείο Ο το σημείο στο άπειρο θα είναι συμμετρικό. Κάτω από συμμετρία σχετική

κύκλος ακτίνας R = ? εννοούμε συνηθισμένη συμμετρία ως προς μια ευθεία γραμμή.

Λήμμα 7. Για να είναι τα σημεία Α και Α" συμμετρικά ως προς έναν κύκλο Г (πιθανώς άπειρης ακτίνας), είναι απαραίτητο και αρκετό οποιοσδήποτε κύκλος που διέρχεται από τα Α και Α" να είναι κάθετος στο Г (Εικ. 5). .

Απόδειξη. Ανάγκη. Έστω τα σημεία Α και Α" συμμετρικά ως προς τον κύκλο G. Ας σχεδιάσουμε έναν αυθαίρετο κύκλο Г" μέσω των σημείων Α και Α", και έστω Β το σημείο τομής των κύκλων Г και Г". Σύμφωνα με το γνωστό θεώρημα για τις διατομές και τις εφαπτομένες, το γινόμενο της τέμνουσας ΟΑ" και του εξωτερικού της τμήματος ΟΑ ισούται με το τετράγωνο της εφαπτομένης. Ταυτόχρονα, λόγω

συμμετρία, OA * OA" = R 2. Άρα,

η ακτίνα OB εφάπτεται στον κύκλο Г". Εφόσον η ακτίνα ΟΒ είναι κάθετη στην εφαπτομένη στο Γ που διέρχεται από το σημείο Β, τότε οι κύκλοι Г και Г" είναι κάθετοι, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί. Αν η Γ είναι ευθεία γραμμή (αυτό θα συμβεί όταν A = 0), τότε διέρχεται από το σημείο Ο και, επομένως, είναι επίσης κάθετη στη Γ.

Επάρκεια. Έστω τα σημεία Α και Α" τέτοια ώστε οποιοσδήποτε κύκλος (ιδίως μια ευθεία) που διέρχεται από αυτά να τέμνει το Γ σε ορθή γωνία (βλ. Εικ. 5). Ας αποδείξουμε ότι τα Α και Α" είναι συμμετρικά ως προς το Γ Εφόσον η ευθεία AA "είναι κάθετη στο G, τότε διέρχεται από το σημείο Ο. Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία Ο, Α, Α" βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Αλλά βρίσκονται επίσης στην ίδια ακτίνα που προέρχεται από το σημείο Ο. Πράγματι, εάν τα σημεία Α και Α" βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές του σημείου Ο, τότε ένας κύκλος με διάμετρο ΑΑ" δεν θα ήταν κάθετος στο G.

Ας σχεδιάσουμε έναν αυθαίρετο κύκλο Γ" μέσω των Α και Α" με ακτίνα R"< ?. Пусть В -- точка пересечения Г и Г". По условию, Г и Г" пересекаются под прямым углом. Поэтому радиус ОВ будет касаться Г ". По той же теореме о секущей и касательной ОА * ОА" = R 2 . Следовательно, точки А и А" симметричны относительно Г.

Έχουμε αποδείξει το Λήμμα 7 στην περίπτωση του R< ?. Если R = ?, то рассуждение существенно упрощается.

Τώρα είμαστε έτοιμοι να δημιουργήσουμε την ακόλουθη ιδιότητα των γραμμικών κλασματικών αντιστοιχίσεων (ιδιότητα διατήρησης συμμετρίας):

Θεώρημα 8. Κάτω από την κλασματική γραμμική χαρτογράφηση (14), ένα ζεύγος σημείων που είναι συμμετρικά ως προς έναν κύκλο (ιδίως μια ευθεία γραμμή) πηγαίνει σε ένα ζεύγος σημείων που είναι συμμετρικά ως προς την εικόνα αυτού του κύκλου.

Απόδειξη. Έστω τα σημεία z 1 και z 2 συμμετρικά ως προς τον κύκλο Г. Κάτω από την κλασματική γραμμική απεικόνιση (14), Г θα μετατραπεί σε καμπύλη r, η οποία, σύμφωνα με το Θεώρημα 6, είναι επίσης κύκλος. Τα σημεία z 1 και z 2 θα πάνε στα σημεία w 1 και w 2. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι τα w 1 και w 2 είναι συμμετρικά ως προς το z. Πάρτε οποιονδήποτε κύκλο z ", που διέρχεται από τα w 1 και w 2, και θεωρήστε την αντίστροφη εικόνα του Г " κάτω από την αντιστοίχιση (14) (δηλ. ένα σύνολο σημεία στο επίπεδο της μεταβλητής z, περνώντας σε z "). Για να γίνει αυτό, εκφράζουμε z από την εξίσωση (14):

στο ad - π.Χ. 0

Βλέπουμε ότι το Γ "λαμβάνεται από το Γ" επίσης με γραμμική-κλασματική χαρτογράφηση. Δεδομένου ότι το g ` είναι ένας κύκλος, τότε σύμφωνα με το Θεώρημα 6 το G` είναι επίσης ένας κύκλος. Εφόσον Г ` διέρχεται από τα σημεία z 1 και z 2, συμμετρικά ως προς το Г, τότε κατά το Λήμμα 7 ο κύκλος Г ` είναι κάθετος στο Г. Λόγω της συμμόρφωσης του γραμμικού κλασματικού χάρτη και Г ` είναι κάθετος στο Г. Λήμμα 7 προκύπτει ότι τα σημεία w 1 και w 2 είναι συμμετρικά ως προς το r και η απόδειξη είναι πλήρης.

Οι καθιερωμένες ιδιότητες των κλασματικών γραμμικών αντιστοιχίσεων καθιστούν δυνατή την εύρεση αντιστοιχίσεων περιοχών που οριοθετούνται από κύκλους (ιδίως ευθείες γραμμές).

Λειτουργία ισχύος. Η έννοια της επιφάνειας Riemann.

Εξετάστε τη συνάρτηση ισχύος

όπου n είναι φυσικός αριθμός. Η παράγωγος w" = nz n -1 υπάρχει και είναι μη μηδενική σε όλα τα σημεία z ? 0, z ??. Επομένως, η αντιστοίχιση που πραγματοποιείται από τη συνάρτηση (18) είναι σύμφωνη σε όλα τα σημεία εκτός από z = 0 και z = ?. Αν γράφουμε τις μεταβλητές z και w σε εκθετική μορφή, z = r e i c, w = se i u, τότε η (18) οδηγεί στις ισότητες

c = r n, u = nc.

Αυτό δείχνει ότι οι κύκλοι |z| = r πηγαίνετε σε κύκλους |w| = r n, γωνία 0< ц < б, где б < 2 р /n, с вершиной в начале координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на угол 0 < и < nб плоскости w. Следовательно, конформность отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются при отображении в n раз. Нетрудно показать, что отображение (18) не является конформным и в точке z = ?.

Έστω τα σημεία z 1 και z 2 τέτοια ώστε z 2 = z 1 e i 2 p / n, n; 2. Είναι εύκολο να δούμε ότι z 1; z 2, και. Επομένως, η χαρτογράφηση (18) δεν είναι μονοσθενής σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο C, αλλά είναι τόσο εντός οποιασδήποτε γωνίας μεγέθους b< 2 р /n с вершиной в начале координат.

Για να εισαγάγουμε τη συνάρτηση αντίστροφης ισχύος, χρειαζόμαστε τους ακόλουθους ορισμούς.

Μια συνάρτηση πολλαπλών τιμών μιας μιγαδικής μεταβλητής είναι ένας κανόνας (νόμος) σύμφωνα με τον οποίο ένας μιγαδικός αριθμός z από το σύνολο D αντιστοιχεί σε αρκετούς (πιθανώς άπειρα πολλούς) μιγαδικούς αριθμούς w.

Όλες οι συναρτήσεις που εξετάστηκαν προηγουμένως (εκτός από τη συνάρτηση Arg z) ήταν σαφείς. Η συνάρτηση Arg z είναι πολλαπλών τιμών:

Arg z = arg z + 2рk,

όπου arg z είναι η κύρια τιμή του ορίσματος και k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός. Στη συνέχεια, ο όρος συνάρτηση, που χρησιμοποιείται χωρίς καμία εξήγηση, σημαίνει μια ξεκάθαρη συνάρτηση. η πολυσημία των συναρτήσεων που μελετώνται θα προσδιορίζεται πάντα επιπρόσθετα.

Έστω η συνάρτηση w = f(z) αντιστοιχίσει το πεδίο ορισμού D στο πεδίο ορισμού E. Το αντίστροφο της συνάρτησης w = f(z) είναι η συνάρτηση (γενικά μιλώντας, πολλαπλών τιμών) z = g(w), που ορίζεται στον τομέα Ε , που σε κάθε μιγαδικό αριθμό w E συσχετίζει όλους τους μιγαδικούς αριθμούς zD έτσι ώστε f(z) = w.

Με άλλα λόγια, η συνάρτηση αντίστροφη προς το w = f(z) είναι ο κανόνας σύμφωνα με τον οποίο κάθε σημείο wE αντιστοιχεί σε όλες τις αντίστροφες εικόνες του zD.

Εάν η συνάρτηση w = f(z) είναι μονοσθενής στο D, τότε η αντίστροφη συνάρτηση είναι μονοσθενής (και επίσης μονοσθενής) στο E. αν w = f(z) δεν είναι μονοσθενής, τότε η αντίστροφη συνάρτηση θα είναι πολλαπλών τιμών. Για παράδειγμα, το αντίστροφο της συνάρτησης w = z n είναι η συνάρτηση πολλαπλών τιμών z =: κάθε τιμή του w εκτός από το 0 και; αντιστοιχεί σε n διαφορετικές ρίζες του nου βαθμού, που ορίζονται από τον τύπο

Αριθμοί 0 και; το καθένα έχει μια ρίζα: , α.

Θεώρημα 9. Έστω η συνάρτηση w = f(z) μονοσθενής και αναλυτική στον τομέα D, αντιστοιχίστε το D στο πεδίο ορισμού E και f "(z) ? 0. Τότε η αντίστροφη συνάρτηση z = g(w) είναι επίσης αναλυτική στο ο τομέας Ε και

Απόδειξη. Ας διορθώσουμε ένα αυθαίρετο σημείο zD και πάρουμε την προσαύξηση Дz; 0. Τότε, λόγω της μονοδυναμίας της συνάρτησης w = f(z), η αντίστοιχη αύξηση Δw = f(z + Дz) -- f(z) δεν είναι επίσης ίση με μηδέν. Να γιατί

Εφόσον η συνάρτηση w = f(z) είναι αναλυτική, είναι συνεχής στο σημείο z.

Κατά συνέπεια, Dw > 0 για Dz > 0, και λόγω της σχέσης ένα προς ένα, ισχύει και το αντίστροφο: Dz > 0 για Dw > 0. Επομένως

Q.E.D.

Το όρισμα της συνάρτησης z = g(w), το αντίστροφο της w = f(z), είναι η μεταβλητή w. Εφόσον το όρισμα μιας συνάρτησης συχνά συμβολίζεται με z, για συνέπεια οι μεταβλητές z και w επαναπροσδιορίζονται και γράφονται w = g(z). Για παράδειγμα, η αντίστροφη συνάρτηση σε w = z n θα γραφεί ως w = .

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στη συνάρτηση w = . Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, έχει πολλές τιμές. Ωστόσο, είναι δυνατός ο ορισμός αυτής της συνάρτησης σε ένα σύνολο πιο σύνθετης δομής από το μιγαδικό επίπεδο, στο οποίο η συνάρτηση w = θα γίνει ένα προς ένα και συνεχής. Ας περιγράψουμε το αντίστοιχο σύνολο. Ας πάρουμε n αντίγραφα ("φύλλα") D 0 , D 1 ,..., D n -1 του μιγαδικού επιπέδου που κόβουμε κατά μήκος του θετικού ημιάξονα και τα τοποθετούμε το ένα πάνω στο άλλο (Εικ. 6α δείχνει την περίπτωση n = 4).

Στη συνέχεια, αυτή η άκρη του τμήματος της περιοχής D 0, στην οποία πλησιάζουμε από κάτω την ακτίνα OX (δηλαδή κατά μήκος του ημιεπίπεδου y< 0), склеим с верхним краем разреза области D 1 ; нижний край разреза области D 1 склеим с верхним краем разреза области D 2 и т.д., пока не склеим нижний край разреза D n -2 с верхним краем разреза D n -1 . Теперь склеим оставшиеся свободными нижний край разреза области D n -1 (на рис. 6а это D 3) с верхним краем разреза области D 0 . В трехмерном пространстве такую склейку невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку непересекающейся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность показана на рис. 6б.

Ονομάζεται επιφάνεια Riemann της συνάρτησης w =. Πάνω από κάθε σημείο του μιγαδικού επιπέδου, διαφορετικό από το 0 και το;, υπάρχουν ακριβώς n σημεία της επιφάνειας Riemann. Τα σημεία x > 0 του πραγματικού ημιάξονα δεν αποτελούν εξαίρεση, αφού όλα τα σημεία συγκόλλησης που βρίσκονται πάνω από αυτόν θεωρούνται ασύνδετα. Μόνο δύο σημεία δεν έχουν αυτήν την ιδιότητα: z = 0 και z = ?. Όλα τα φύλλα της επιφάνειας Riemann θεωρούνται κολλημένα σε σημεία που βρίσκονται πάνω από τα σημεία z = 0 και z = ?.

Ας ορίσουμε τώρα τη συνάρτηση w = στην κατασκευασμένη επιφάνεια Riemann. Ας θυμηθούμε ότι αν z = r e είναι, τότε όλες οι ρίζες του nου βαθμού του z καθορίζονται από τον τύπο (*):

Η γωνία q σε αυτόν τον τύπο μπορεί να επιλεγεί από οποιοδήποτε διάστημα μήκους 2p. είναι βολικό για εμάς να υποθέσουμε ότι 0 ? ts< 2р.

Στα σημεία z = r e ic που βρίσκονται στο φύλλο D 0 και την κόλληση του D 0 με D n -1, αποδίδουμε την τιμή της ρίζας με k = 0; σημεία που βρίσκονται στο φύλλο D 1 και κολλώντας D 1 με D 0 - η τιμή της ρίζας με k = 1. Γενικά, τα σημεία που βρίσκονται στο D k, στο 1; κ? n-1, και η κόλληση D k, με D k -1, αντιστοιχεί στην τιμή της ρίζας με το δεδομένο k. Η κατασκευασμένη αντιστοιχία θα είναι μια συνάρτηση μίας τιμής στην επιφάνεια του Riemann.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτή η συνάρτηση αντιστοιχίζει την επιφάνεια Riemann ένα προς ένα σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Πράγματι, το φύλλο D k θα χαρτογραφηθεί στη γωνία και η κόλληση θα αντιστοιχιστεί σε ακτίνες που συνδέουν αυτές τις γωνίες. έτσι ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο θα καλυφθεί από τις εικόνες σημείων της επιφάνειας Riemann.

Ας δείξουμε ότι αυτή η χαρτογράφηση είναι επίσης συνεχής. Εάν το σημείο z βρίσκεται σε ένα φύλλο D k με τομή, τότε η συνέχεια σε αυτό το σημείο προκύπτει απευθείας από τον τύπο (20) με σταθερό k. Για να δείξετε τη συνέχεια στα σημεία συγκόλλησης, θεωρήστε ένα περίγραμμα στην επιφάνεια Riemann που αποτελείται από σημεία που βρίσκονται πάνω από τον κύκλο |z| = 1 μιγαδικό επίπεδο. Ας αρχίσουμε να περιφέρουμε αυτό το περίγραμμα από το σημείο z, που βρίσκεται στην επάνω άκρη του κομμένου φύλλου D 0. Εφόσον r = 1, q = 0, k = 0, τότε w = = 1. Όταν περιστρέφεται η πρώτη στροφή του κυκλώματος στο φύλλο D 0 θα υπάρχει

Και. Προχωρώντας κατά μήκος της γραμμής κόλλησης στο φύλλο D 1, λαμβάνουμε, εξ ορισμού, (αφού k = 1). Συγκεκριμένα, στο q = 0 θα υπάρχει η ίδια τιμή της ρίζας που προσεγγίσαμε όταν πλησιάζουμε στην κάτω όχθη της τομής κατά μήκος του φύλλου D 0. Αυτό σημαίνει ότι στα σημεία κόλλησης D 0 c D 1 η συνάρτηση θα είναι συνεχής. Ομοίως, η συνέχεια της ρίζας φαίνεται όταν μετακινείται από D k -1 σε D k στο 1; κ? n-1. Τέλος, περνώντας γύρω από το περίγραμμα κατά μήκος του φύλλου D n -1 και πλησιάζοντας το κάτω άκρο της κοπής, παίρνουμε k = n - 1 και,

εκείνοι. την ίδια τιμή με την οποία ξεκινήσαμε στο πάνω άκρο του κομμένου φύλλου D 0 . Έτσι, η συνάρτηση θα είναι συνεχής σε όλα τα σημεία της επιφάνειας Riemann. Ως συνάρτηση αντίστροφη προς την αναλυτική, είναι επίσης μια μοναδική αναλυτική συνάρτηση σε αυτήν την επιφάνεια (εκτός από τα σημεία z = 0 και z = ?).

Πάρτε οποιονδήποτε κύκλο |z| = r στο μιγαδικό επίπεδο που περικλείει το σημείο z = 0. Αυτός ο κύκλος θα περικλείει επίσης το σημείο z = ?. Περιστρέφοντας το περίγραμμα στην επιφάνεια Riemann, που αποτελείται από σημεία που βρίσκονται πάνω από αυτόν τον κύκλο, θα μετακινηθούμε από το ένα φύλλο της επιφάνειας Riemann στο άλλο. Επομένως, τα σημεία z = 0 και z = ? ονομάζονται σημεία διακλάδωσης. Κανένα άλλο σημείο δεν έχει την περιγραφόμενη ιδιότητα: αν πάρουμε έναν κύκλο με το κέντρο του στο σημείο z; 0, z ? ?, που δεν περιέχει το σημείο 0, τότε τα αντίστοιχα σημεία στην επιφάνεια του Riemann σχηματίζουν n κύκλους που δεν συνδέονται μεταξύ τους. Γυρίζοντας το καθένα από αυτά, δεν θα υπερβούμε το ίδιο φύλλο.

Μια απλή αναλυτική συνάρτηση f (z) σε έναν τομέα D ονομάζεται κανονικός κλάδος μιας συνάρτησης πολλαπλών τιμών F (z) που ορίζεται στον ίδιο τομέα, εάν η τιμή του f (z) σε κάθε σημείο z του τομέα D συμπίπτει με μία από τις τιμές του F (z) σε αυτό το σημείο.

Η συνάρτηση πολλαπλών τιμών F(z) είναι μονής τιμής και αναλυτική στην επιφάνειά της Riemann (εκτός από τα σημεία διακλάδωσης). Επομένως, η δυνατότητα επιλογής ενός κανονικού κλάδου στην περιοχή D σημαίνει τη δυνατότητα εντοπισμού αυτής της περιοχής στην επιφάνεια Riemann χωρίς να κόψετε το D και χωρίς να αγγίξετε τα σημεία διακλάδωσης. Σε αυτή την περίπτωση, η περιοχή Δ πρέπει να στρωθεί εξ ολοκλήρου σε ένα φύλλο ή να κατέβει κολλώντας από το ένα φύλλο στο άλλο (σαν χαλί στη σκάλα). Για παράδειγμα, δαχτυλίδι 1< |z| < 2 нельзя без разрывов расположить на римановой поверхности функции F (z) = , n ? 2, поскольку точки кольца, располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо по любому радиусу, то такое расположение становится возможным. При этом расположить D на римановой поверхности можно n способами (и, следовательно, выделить в D n различных ветвей функции). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а значит, фиксируется расположение и всей области D.

Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις

1. Η εκθετική συνάρτηση e z προσδιορίζεται από τις ακόλουθες σχέσεις: για κάθε μιγαδικό αριθμό z = x + iу

e z = e x + iy = e x (cos y + i sin y).(21)

Η δεύτερη ισότητα στο (21) προκύπτει αν πάρουμε, εξ ορισμού, e x + i y = e x e i y και εφαρμόσουμε τον τύπο του Euler στο e i y. Από το (21) προκύπτει ότι

|e z | = |e x + i y | = e x, Arg e z = y + 2 рn.

Ο ορισμός (21) και οι ιδιότητες της συνάρτησης e i z διευκολύνουν την απόδειξη ότι η συνάρτηση e z έχει τις συνήθεις ιδιότητες μιας εκθετικής συνάρτησης:

e z 1+ z 2 = e z 1 e z 2 ; e z 1 - z 2 = e z 1 /e z 2 ;(e z) n = e nz .

Ας αποδείξουμε ότι η συνάρτηση e z θα είναι αναλυτική σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο C. Για να γίνει αυτό, πρέπει να ελέγξουμε την ικανοποίηση των συνθηκών Cauchy-Riemann (7). Αν w = u + iv, τότε με (21) u + iv = e x cos y + i e x sin y, από όπου

u = e x cos y, v = e x sin y;

Έτσι, ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις (7) και αποδεικνύεται η αναλυτικότητα της συνάρτησης e z. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο (e z)", θα χρησιμοποιήσουμε την ανεξαρτησία της παραγώγου από την κατεύθυνση και θα υπολογίσουμε την παράγωγο προς την κατεύθυνση του άξονα OX:

Συνεπώς, για την παράγωγο της συνάρτησης e z ισχύει ο συνήθης τύπος

Η ακόλουθη ιδιότητα της συνάρτησης e z δεν έχει ανάλογη στην περίπτωση εκθετικής συνάρτησης πραγματικής μεταβλητής: η συνάρτηση e z είναι περιοδική με καθαρά φανταστική περίοδο 2ρi. Πράγματι, για κάθε ακέραιο n

e z +2 рni = e x (cos(y + 2рn) + i sin(у+2рn)) = e x (cos y + i sin y) = e z.

Από την περιοδικότητα της συνάρτησης w = e z προκύπτει, συγκεκριμένα, ότι δεν είναι μονοσθενής σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Για να μάθουμε σε ποιες περιοχές αυτή η συνάρτηση είναι μονοσθενής, ας βάλουμε z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2. Δυνάμει του (21), η ισότητα e z 1 = e z 2 είναι ισοδύναμη με τις ακόλουθες συνθήκες:

e x 1 = e x 2 , cos y 1 = cos y 2 , sin y 1 = sin y 2 ,

που σημαίνει x 1 = x 2, y 1 = y 2 + 2рn, όπου n είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός, ή

z 1 - z 2 = 2ρni.(22)

Συνεπώς, για να είναι η αντιστοίχιση w = e z ένα προς ένα στον τομέα D, είναι απαραίτητο και αρκετό το D να μην περιέχει κανένα ζεύγος σημείων για τα οποία ισχύει η (22). Συγκεκριμένα, αυτή η προϋπόθεση ικανοποιείται από οποιαδήποτε οριζόντια λωρίδα πλάτους 2p, για παράδειγμα ρίγες

(ζ: - ?< х < ?, 2рk < у < 2 р(k + 1)}, k = 0, ±1, ±2,...

Κάθε τέτοια λωρίδα αντιστοιχεί σε ένα σύνολο τιμών w = e z = e x e iy = σe iy και για τις οποίες, λόγω των ισοτήτων c = e x, και = y, έχουμε

0 < с < ?, 2рk < и < 2р(k + 1).

Αυτές οι τιμές του w γεμίζουν ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο της μεταβλητής w με μια τομή κατά μήκος του πραγματικού θετικού ημιάξονα. Σε αυτήν την περίπτωση, οι ευθείες γραμμές y = y 0 (φαίνεται στο Σχ. 7, a με μια διακεκομμένη γραμμή) μετατρέπονται σε ακτίνες και = y 0 (Εικ. 7β), και τα διαστήματα x = x 0, 2ρk< у < 2р(k + 1) (показаны сплошными линиями

για k = 0) - σε κύκλο сe x 0 (με τρυπημένα σημεία στον ημιάξονα u > 0). Ρίγες 0< Im z < h < 2 р показательная функция e z отображает в углы 0 < и < h. В частности, полоса 0 < Im z < р переводится в верхнюю полуплоскость.

2. Μια λογαριθμική συνάρτηση είναι το αντίστροφο μιας εκθετικής συνάρτησης.

Εφόσον η εκθετική συνάρτηση e z δεν είναι μονοσθενής στο C, η αντίστροφη συνάρτησή της θα είναι πολλαπλών τιμών. Αυτή η λογαριθμική συνάρτηση πολλαπλών τιμών συμβολίζεται Ln z. Έτσι, αν w = Ln z, τότε z = e w. Ας βάλουμε

w = u + iv, z = r e ic = re iArg z.

re iArg z = z = e w = e u + iv = e u e iv .

Συγκρίνοντας τους αριθμούς στην αρχή και στο τέλος αυτής της αλυσίδας, συμπεραίνουμε ότι

r = e u , e i Arg z = e iv .(23)

Από την πρώτη ισότητα βρίσκουμε u = ln r, όπου ln r είναι ο συνήθης φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού r. Η δεύτερη ισότητα στο (23) δίνει v = Arg z. Ετσι,

Lnz = ln |z| + i Arg z.(24)

Σε κάθε μιγαδικό αριθμό z, διαφορετικό από το 0 και το;, ο τύπος (24) συσχετίζει ένα άπειρο σύνολο τιμών Ln z, που διαφέρουν μεταξύ τους κατά 2 pki, όπου k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός. Είναι βολικό να αναπαραστήσετε το Arg z στη μορφή

Arg z = arg z + 2 рk, - р< arg z ? р,

όπου το arg z είναι η κύρια τιμή του ορίσματος. Τότε ο τύπος (24) θα πάρει τη μορφή

Ln z = ln |z| +i(arg z + 2рk).(25)

Για κάθε τιμή του k, η συνάρτηση Ln z είναι μια συνεχής συνάρτηση μονής τιμής στο μιγαδικό επίπεδο με μια τομή κατά μήκος του αρνητικού ημιάξονα. είναι επίσης αναλυτική σε αυτή την περιοχή ως συνάρτηση αντίστροφη προς την αναλυτική συνάρτηση e z. Έτσι, για κάθε σταθερό k, ο τύπος (25) ορίζει έναν κανονικό κλάδο της συνάρτησης πολλαπλών τιμών Ln z. Αυτός ο κλάδος χαρτογραφεί ένα προς ένα ένα επίπεδο με μια τομή κατά μήκος του αρνητικού ημιάξονα σε μια λωρίδα

Р + 2 рk< Im w < р + 2рk.

Ο κλάδος που προκύπτει στο k = 0 συμβολίζεται με ln z και ονομάζεται κύρια τιμή της συνάρτησης πολλαπλών τιμών Ln z:

ln z = ln |z| + i arg z.

Για παράδειγμα, ln i = ln 1 + ip/2 = ip/2; ln(-i) = ln 1 -- iр/2 = --iр/2. Εάν πλησιάσετε το σημείο z = -- 1 κατά μήκος του άνω ημιεπιπέδου y > 0, τότε; αν στο κάτω μέρος, τότε.

Για να φανταστούμε την επιφάνεια Riemann της συνάρτησης Ln z, ας πάρουμε έναν άπειρο αριθμό αντιγράφων ("φύλλα") του επιπέδου με μια τομή κατά μήκος του αρνητικού ημιάξονα και ας τα κολλήσουμε μεταξύ τους όπως φαίνεται στο Σχ. 8. Πάνω από κάθε σημείο του επιπέδου, εκτός από τα σημεία z = 0 και z = ?,

υπάρχουν άπειρα πολλά σημεία στην επιφάνεια του Riemann. Στα σημεία 0 και; η συνάρτηση Ln z δεν έχει οριστεί και δεν υπάρχουν σημεία επιφάνειας από πάνω τους. Σημεία z = 0 και z = ? ονομάζονται σημεία διακλάδωσης άπειρης τάξης.

Ρύζι. 8 δείχνει ξεκάθαρα τον λόγο ότι: αν υποθέσουμε ότι τα σημεία - 1 ± h, h > 0, βρίσκονται στο ίδιο φύλλο της επιφάνειας Riemann και κατευθύνουν το h στο μηδέν, τότε οι οριακές θέσεις αυτών των σημείων θα βρίσκονται σε διαφορετικά φύλλα του την επιφάνεια του Riemann.

Είναι δυνατό να εντοπιστεί ένας κανονικός κλάδος του λογάριθμου όχι μόνο στην περιοχή D, που είναι ένα επίπεδο με τομή κατά μήκος του αρνητικού ημιάξονα. Εάν κάνετε ένα τμήμα του επιπέδου κατά μήκος οποιασδήποτε ακτίνας, τότε η προκύπτουσα περιοχή σας επιτρέπει επίσης να απομονώσετε έναν κανονικό κλάδο σε αυτό. Αφήστε την τομή να γίνει κατά μήκος μιας ακτίνας που πηγαίνει υπό γωνία ως προς τον άξονα OX. Τότε οι κανονικοί κλάδοι θα δοθούν με τον ακόλουθο τύπο: για z = e είναι

Ln z = ln r + i(t + 2рk), και< ц < и + 2 р.

Ο τύπος (25) είναι μια ειδική περίπτωση για το u = - p. Η παράγωγος κάθε κανονικού κλάδου f (z) του λογαρίθμου βρίσκεται χρησιμοποιώντας έναν τύπο παρόμοιο με τον τύπο για την παράγωγο μιας λογαριθμικής συνάρτησης μιας πραγματικής μεταβλητής. Το γεγονός αυτό προκύπτει από την ισότητα (e z)" = e z και τον τύπο (19) της παραγώγου της αντίστροφης συνάρτησης. Πράγματι, η αντίστροφη προς w = f(z) είναι η συνάρτηση z = e w. Από εδώ και από ( 19) λαμβάνουμε

Γενική δύναμη και τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Λειτουργία Zhukovsky

1. Η γενική συνάρτηση ισχύος, όπου είναι ένας σταθερός μιγαδικός αριθμός, καθορίζεται από τη σχέση.

Υποθέτοντας, λαμβάνουμε Ln z = ln r + i(t + 2рk). Ως εκ τούτου,

Αυτό δείχνει ότι όταν η μονάδα λαμβάνει άπειρο αριθμό τιμών. Έτσι, στη συνάρτηση θα έχει άπειρη τιμή.

Η γενική συνάρτηση ισχύος, δυνάμει του ορισμού της, επιτρέπει την αναγνώριση κανονικών διακλαδώσεων στις ίδιες περιοχές με τη λογαριθμική. για παράδειγμα, σε ένα επίπεδο με τομή κατά μήκος της δοκού. Ο κλάδος που απομονώνεται στο επίπεδο με τομή κατά μήκος του αρνητικού ημιάξονα ονομάζεται κύριος κλάδος της συνάρτησης ισχύος. Δυνάμει του θεωρήματος της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης, για κάθε κανονικό κλάδο μιας συνάρτησης ισχύος ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

όπου f (z) είναι ο κανονικός κλάδος της λογαριθμικής συνάρτησης Ln z. Λάβαμε τον συνήθη τύπο για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος:

2. Ας περάσουμε στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Για πραγματικές τιμές του x, από τον τύπο του Euler προκύπτει ότι

e i x = cos x + i sin x, e - i x = cos x -- i sin x.

Ως εκ τούτου cos x = , sin x =. Αυτοί οι τύποι χρησιμεύουν ως βάση για τον ακόλουθο ορισμό.

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις της μιγαδικής μεταβλητής z ορίζονται από τις ισότητες

Οι συναρτήσεις που ορίζονται με αυτόν τον τρόπο διατηρούν πολλές από τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής. Από την περιοδικότητα της συνάρτησης e z προκύπτει ότι οι συναρτήσεις sin z και cos z είναι περιοδικές με περίοδο 2 p και οι tg z και cot z είναι περιοδικές με περίοδο p. Η συνάρτηση sin z είναι περιττή και η συνάρτηση cos είναι άρτια. Πραγματικά,

Η ισοτιμία της συνάρτησης cos z αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο. Για συναρτήσεις που ορίζονται από ισότητες (26), ισχύουν οι συνήθεις τριγωνομετρικές σχέσεις. Για παράδειγμα,

sin 2 z + cos 2 z = 1, sin(z 1 + z 2) = sin z 1 cos z 2 + cos z 1 sin z 2, κ.λπ. Όλες αυτές οι σχέσεις απορρέουν από το (26).

Οι συναρτήσεις sin z και cos z είναι αναλυτικές σε όλο το επίπεδο C και ισχύουν οι συνήθεις τύποι διαφοροποίησης:

(sin z) " = cos z, (cos z) " = - sin z.

Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, τον τύπο για την παράγωγο sinz:

Χρησιμοποιώντας τύπους για την παράγωγο του πηλίκου, παίρνουμε

Ωστόσο, δεν διατηρούνται όλες οι ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής όταν αυτές οι συναρτήσεις επεκταθούν στο μιγαδικό επίπεδο. Συγκεκριμένα, το sinz και το cosz μπορούν να λάβουν τιμές που υπερβαίνουν το 1 σε απόλυτη τιμή.

3. Οι αντίστροφες συναρτήσεις (26) ονομάζονται αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Εφόσον οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις (26) είναι περιοδικές, οι αντίστροφες συναρτήσεις τους θα έχουν άπειρη τιμή. Λόγω του γεγονότος ότι οι συναρτήσεις (26) εκφράζονται πολύ απλά με όρους εκθετικών, οι συναρτήσεις αντίστροφες προς αυτές μπορούν να εκφραστούν με όρους λογαρίθμου. Ας λάβουμε την ακόλουθη έκφραση, για παράδειγμα, για w = Arccos z. Από τον ορισμό αυτής της συνάρτησης έχουμε

από όπου e 2 i w -- 2ze i w + 1 = 0. Λύνοντας αυτή τη δευτεροβάθμια εξίσωση για e i w, βρίσκουμε (παραλείπουμε το ± μπροστά από το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας, αφού κατανοούμε τη ρίζα ως συνάρτηση δύο τιμών που παίρνει και τις δύο αντίστοιχες αξίες). Από την τελευταία ισότητα παίρνουμε

Λόγω της σχέσης, μια αλλαγή στο πρόσημο της ρίζας οδηγεί σε μια αλλαγή στο πρόσημο του λογαρίθμου. Αλλά η ρίζα παίρνει τιμές και με "+" και με "--". Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ των τιμών Arccos z θα υπάρχουν τιμές με "+" και "-" μπροστά από τον λογάριθμο. Επομένως, το σύμβολο «--» μπορεί να παραλειφθεί:

Παρόμοιοι τύποι μπορούν να δοθούν για άλλες αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Μεταξύ των στοιχειωδών συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής, σημειώνουμε επίσης τις υπερβολικές συναρτήσεις sh z, ch z, th z και cth z, που ορίζονται από τις ισότητες

Εκφράζονται πολύ απλά μέσω τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

sh z = -- i sin iz,

th z = -- i tg iz, cth z = i ctg iz,

και επομένως δεν διαφέρουν σημαντικά από το τελευταίο.

Η συνάρτηση Zhukovsky είναι η συνάρτηση

Αυτή η συνάρτηση έχει σημαντικές εφαρμογές στη θεωρία των πτερυγίων του αεροσκάφους και είναι επίσης πολύ χρήσιμη για την κατασκευή ενός αριθμού σύμμορφων χαρτογραφήσεων. Είναι αναλυτικό παντού εκτός από τα σημεία z = 0 και z = ?. Παράγωγο

υπάρχει παντού μέσα, εκτός από τα σημεία z = 0 και z = ?, και εξαφανίζεται στο z = ±1. Επομένως, η χαρτογράφηση (30) είναι σύμφωνη παντού εκτός από τα σημεία 0, ±1,?.

Ας μάθουμε υπό ποιες συνθήκες δύο διαφορετικά σημεία πηγαίνουν στο ίδιο σημείο. Έστω z 1; z 2 και.

Από αυτό προκύπτει ότι.

Από z 1; z 2 , τότε αυτή η ισότητα είναι ισοδύναμη με τη συνθήκη z l z 2 = 1.(31)

Επομένως, για να είναι μονοσθενής η συνάρτηση Zhukovsky σε κάποιο τομέα D, είναι απαραίτητο και αρκετό αυτό το πεδίο να μην περιέχει ένα ζεύγος διακριτών σημείων που να ικανοποιούν την συνθήκη (31). Τέτοιες περιοχές είναι, για παράδειγμα, το εξωτερικό |z| > 1 του μοναδιαίου κύκλου (στην περίπτωση αυτή |z 1 z 2 | > 1) και το εσωτερικό |z|< 1 этого круга (|z 1 z 2 | < 1).

Για να οπτικοποιήσουμε τη χαρτογράφηση (30), ας μάθουμε σε ποιες καμπύλες μετασχηματίζει τους κύκλους (που φαίνεται στο Σχ. 9α με συμπαγείς γραμμές) και τις ακτίνες (που φαίνονται με διακεκομμένες γραμμές). Ας βάλουμε z =. Στη συνέχεια (30) θα ξαναγραφεί στη φόρμα

από (32)

Ας εξετάσουμε τις εικόνες των κύκλων r = r 0 . Από το (32) προκύπτει

Τετραγωνίζοντας αυτές τις ισότητες, προσθέτοντας και θέτοντας r = r 0, παίρνουμε

Η εξίσωση (33) είναι η εξίσωση μιας έλλειψης με ημιάξονες

Έτσι, οι εικόνες των κύκλων |z| = r 0 στο επίπεδο z θα υπάρχουν ελλείψεις στο επίπεδο w (Εικ. 9β). Αν r 0 > 1, τότε a r 0 > 1, b r 0 > 0. Επομένως, οι ελλείψεις θα συστέλλονται στο τμήμα [--1,1]. Για μεγάλο r 0 η διαφορά a r 0 -- b r 0 = είναι μικρή και οι ελλείψεις διαφέρουν ελάχιστα από τους κύκλους.

Για να λάβουμε την εικόνα των ακτίνων, μετατρέπουμε τις ισότητες (32) στη μορφή

Τετραγωνίζοντας αυτές τις ισότητες, αφαιρώντας τη δεύτερη από την πρώτη και ορίζοντας

Παίρνουμε (34)

Η εξίσωση (34) είναι η εξίσωση μιας υπερβολής με ημιάξονες. Κατά συνέπεια, οι ακτίνες εμφανίζονται σε τμήματα των υπερβολών (Εικ. 9β). Έτσι, η συνάρτηση Zhukovsky ένα προς ένα και αντιστοιχίζει σύμφωνα με το εξωτερικό του κύκλου μονάδας στο εξωτερικό του τμήματος [-1,1].

Από το (30) είναι εύκολο να δούμε ότι w(z) = w(l/z). Η συνάρτηση w = 1/z ένα προς ένα και αντιστοιχίζει σύμφωνα με το εσωτερικό του κύκλου |z|< 1 на внешность этого же круга. Отсюда следует, что функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает также и внутренность единичного круга на внешность отрезка [--1,1].

...

Παρόμοια έγγραφα

Η ουσία της σύμμορφης χαρτογράφησης 1ου και 2ου είδους, μια αναλυτική συνάρτηση σε ένα δεδομένο πεδίο. Γεωμετρική σημασία του ορίσματος και ενότητα της παράγωγης συνάρτησης. Το μέγεθος του συντελεστή τάνυσης σε ένα σημείο. Διατήρηση συνάρτησης μη μηδενικής σε μέγεθος και τάση.

παρουσίαση, προστέθηκε 17/09/2013


Ορισμός της παραγώγου συνάρτησης, η γεωμετρική σημασία της προσαύξησής της. Γεωμετρική σημασία μιας δεδομένης σχέσης. Φυσική σημασία της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Ο αριθμός στον οποίο τείνει μια δεδομένη αναλογία. Ανάλυση παραδειγμάτων υπολογισμών παραγώγων.

παρουσίαση, προστέθηκε 18/12/2014


Το όριο του λόγου της αύξησης μιας συνάρτησης προς την αύξηση ενός ανεξάρτητου ορίσματος, όταν η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν. Παράγωγος συμβολισμός. Η έννοια της διαφοροποίησης μιας παράγωγης συνάρτησης και η γεωμετρική της σημασία. Εξίσωση εφαπτομένης σε καμπύλη.

παρουσίαση, προστέθηκε 21/09/2013


Γεωμετρική σημασία της παραγώγου. Ανάλυση της σχέσης συνέχειας και διαφοροποίησης μιας συνάρτησης. Παράγωγοι βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Κανόνες διαφοροποίησης. Εύρεση της παραγώγου μιας άρρητα δεδομένης συνάρτησης. Λογαριθμική διαφοροποίηση.

παρουσίαση, προστέθηκε 14/11/2014


Παράγωγη συνάρτηση. Εφαπτομένη σε μια καμπύλη. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου. Παράγωγα από στοιχειώδεις συναρτήσεις. Μελέτη συναρτήσεων με χρήση παραγώγων. Μέγιστες και ελάχιστες λειτουργίες. Σημεία καμπής. Διαφορικός.

άρθρο, προστέθηκε 01/11/2004


Η έννοια της παραγώγου, οι κανόνες εφαρμογής της, η γεωμετρική και φυσική σημασία μιας παραγώγου. Εφαρμογή παραγώγων στην επιστήμη και τεχνολογία και επίλυση προβλημάτων στον τομέα αυτό. Η συνάφεια του διαφορικού λογισμού σε σχέση με την επιστημονική και τεχνολογική πρόοδο.

περίληψη, προστέθηκε 17/05/2009


Ο κανόνας για την εύρεση της παραγώγου ενός γινομένου συναρτήσεων. Τύποι εύρεσης παραγώγων για συναρτήσεις που καθορίζονται παραμετρικά. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου. Αύξηση και διαφορικές συναρτήσεις. Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές σε ένα κλειστό σύνολο.

δοκιμή, προστέθηκε 09/07/2010


Η έννοια της σύμμορφης χαρτογράφησης και οι βασικές της ιδιότητες. Βασικές αρχές σύμμορφων αντιστοιχίσεων συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής, υδροδυναμικές αναλογίες και ερμηνείες τους. Εφαρμογή της μεθόδου σύμμορφης χαρτογράφησης στη μηχανική συνεχών.

διατριβή, προστέθηκε 26/08/2014


Αντιπαράγωγο συνάρτησης και αόριστο ολοκλήρωμα. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου. Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων για τη συνάρτηση f(x) στο διάστημα X. Η έννοια του ολοκληρώματος. Έλεγχος της ορθότητας του αποτελέσματος ολοκλήρωσης, παραδείγματα προβλημάτων.

παρουσίαση, προστέθηκε 18/09/2013


Το πρόβλημα της εύρεσης του συντελεστή και του ορίσματος δεδομένων αριθμών, ένα παράδειγμα λύσης. Η περιοχή διαφοροποίησης μιας δεδομένης συνάρτησης, το πραγματικό μέρος της παραγώγου. Κανόνας για τον προσδιορισμό της εξίσωσης της εικόνας μιας καμπύλης. Εύρεση του πραγματικού και του φανταστικού μέρους μιας συνάρτησης.

Κατά την επίλυση εφαρμοζόμενων προβλημάτων, υπάρχει συχνά ανάγκη να μετατραπεί μια δεδομένη περιοχή σε μια περιοχή απλούστερης μορφής και με τέτοιο τρόπο ώστε οι γωνίες μεταξύ των καμπυλών να διατηρούνται. Οι μετασχηματισμοί που είναι προικισμένοι με αυτή την ιδιότητα καθιστούν δυνατή την επιτυχή επίλυση προβλημάτων αεροδυναμικής και υδροδυναμικής, της θεωρίας της ελαστικότητας, της θεωρίας των πεδίων διαφόρων φύσεων και πολλών άλλων. Θα περιοριστούμε σε μετασχηματισμούς επίπεδων περιοχών. Μια συνεχής αντιστοίχιση r = /(r) μιας επίπεδης περιοχής σε μια περιοχή στο επίπεδο ονομάζεται σύμμορφη σε ένα σημείο εάν σε αυτό το σημείο έχει τις ιδιότητες σταθερής επέκτασης και διατήρησης γωνιών. Οι ανοιχτές περιοχές ονομάζονται σύμφωνα ισοδύναμες εάν υπάρχει μια αντιστοίχιση ένα προς ένα από μια από αυτές τις περιοχές σε μια άλλη, σύμμορφη σε κάθε σημείο. Θεώρημα Riemann. Οποιεσδήποτε δύο επίπεδες ανοιχτές απλώς συνδεδεμένες περιοχές των οποίων τα όρια αποτελούνται από περισσότερα από ένα σημεία είναι ομοιόμορφα ισοδύναμες. Το κύριο πρόβλημα στην επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων είναι η κατασκευή μιας σαφούς σύμμορφης χαρτογράφησης ενός προς ένα από το ένα από αυτά σε ένα άλλο από δεδομένες επίπεδες περιοχές. Ένας τρόπος για να λυθεί αυτό το πρόβλημα στην επίπεδη περίπτωση είναι η χρήση της συσκευής της θεωρίας των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής. Όπως σημειώθηκε παραπάνω, μια μονοσθενής αναλυτική συνάρτηση με μη μηδενική παράγωγο πραγματοποιεί μια σύμμορφη αντιστοίχιση του τομέα εκχώρησης στην εικόνα της. Κατά την κατασκευή σύμμορφων αντιστοιχίσεων, ο ακόλουθος κανόνας είναι πολύ χρήσιμος. Η αρχή της αντιστοιχίας των ορίων. Έστω σε μια απλά συνδεδεμένη περιοχή H) του μιγαδικού επιπέδου z, που οριοθετείται από το περίγραμμα 7, να δοθεί μια αναλυτική συνάρτηση μονής τιμής w = f(z), συνεχής στο κλείσιμο 9) και να ανακλά το περίγραμμα 7 σε κάποιο περίγραμμα 7" μιγαδικού γραμμικότητα w. Εάν οι κατευθύνσεις διατηρηθούν διασχίζοντας το περίγραμμα, τότε η συνάρτηση w - f(z) πραγματοποιεί μια σύμμορφη αντιστοίχιση της περιοχής του μιγαδικού επιπέδου z στην περιοχή Z1 του μιγαδικού επιπέδου w, που περιορίζεται από το περίγραμμα 7" (Εικ. 1). Ο σκοπός αυτής της ενότητας είναι, χρησιμοποιώντας τα πεδία μονοδυναμίας που βρέθηκαν προηγουμένως των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής, να μάθουν να κατασκευάζουν σύμμορφες αντιστοιχίσεις ανοιχτών απλά συνδεδεμένων επιπέδων τομέων, που συχνά συναντώνται σε εφαρμογές, πάνω από τους τομείς - το άνω μισό -επίπεδο και τον μοναδιαίο κύκλο (Εικ. .2). Για πιο αποτελεσματική χρήση του παρακάτω πίνακα, είναι χρήσιμοι ορισμένοι απλοί μετασχηματισμοί του μιγαδικού επιπέδου. Επίπεδοι μετασχηματισμοί που πραγματοποιούν: 1. παράλληλη μετάφραση (μετατόπιση κατά δεδομένο μιγαδικό αριθμό α) (Εικ. 3), Εικ. 3 2. περιστροφή (σε μια δεδομένη γωνία 3. τέντωμα (fc > 1) ή συμπίεση (Εικ. 5). Έτσι, ένας μετασχηματισμός τύπου 0, οποιοσδήποτε κύκλος μπορεί να γίνει σε έναν κύκλο μονάδας με κέντρο στο μηδέν (Εικ. 6), οποιοδήποτε ημιεπίπεδο μπορεί να γίνει ανώτερο ημιεπίπεδο, οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να μετατραπεί σε ένα τμήμα του πραγματικού άξονα (Εικ. 14). κομμένο κατά μήκος μιας πραγματικής ακτίνας (0, + «>(Επίπεδο με τομές κατά μήκος πραγματικών ακτίνων J -oo, 0] και (I, +oo[ Επίπεδο με τομή κατά μήκος μιας πραγματικής ακτίνας Επίπεδο με τομή κατά μήκος ενός τμήματος (O, 1J No. 21 1 επίπεδο με περικοπές ακτίνων y που βρίσκεται ia ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή κατά μήκος των πραγματικών ακτίνων ] - "у, 0] και (1. Επίπεδο με τομή κατά μήκος της πραγματικής ακτίνας (0, + in (Επίπεδο με τομή κατά μήκος του τόξου ενός κύκλου Ixl - 1 , lm z > O Επίπεδο με τομή κατά μήκος κυκλικού τόξου III - I, Re z > O Επίπεδο με τομή κατά μήκος πραγματικής ακτίνας (0, Επίπεδο με τομή κατά μήκος κυκλικού τόξου Επίπεδο με τομή κατά μήκος πραγματικής ακτίνας [C , + συν [ Αρ. 25 Ημιεπίπεδο με κοψίματα Ημιεπίπεδο l με τομή κατά μήκος τμήματος με τομή κατά μήκος φανταστικής ακτίνας Κύκλος με τομές Κύκλος 1 με τομή κατά μήκος τμήματος (1/2, 1J Αρ. 30 Επίπεδο με τομή κατά μήκος ενός τμήματος (-1, 5/4] Κύκλος Izl με τομές κατά μήκος τμημάτων (-1 . -1/2] και (1/2, 1] Νο. 31 Επίπεδο με τομές κατά μήκος των τομών I -5/4, 5/4] Κύκλος Ijl με συμμετρικές τομές κατά μήκος του νοητικού άξονα Κύκλος ψέμα με συμμετρικές τομές κατά μήκος του πραγματικού άξονα Εξωτερικό του κύκλου με κοψίματα Εξωτερική μονάδα κύκλος I με τομή κατά μήκος του τμήματος και 11, 2) Αρ. 34 Επίπεδο με τομή κατά μήκος του τμήματος [ -1, 5/4] Επίπεδο με τομή κατά μήκος του τμήματος I - 5/ 4, 3/4] w = e "^z Εμφάνιση ενός μόνο κύκλου Izl > 1 με τομές κατά μήκος τμημάτων που είναι προεκτάσεις της διαμέτρου του Εξωτερικό ενός κύκλου μονάδας Iwl > 1 με τομές κατά μήκος τμημάτων που βρίσκονται στον πραγματικό άξονα Ημικύκλιο με τομές -r2 Nfc 36 Circle Iwl με τομή κατά μήκος του τμήματος [ -1/4, 1] Ημικύκλιο , με τομή κατά μήκος του τμήματος (0, i/2) Ημικυκλικό, με τομή κατά μήκος του τμήματος )