Κεφάλαιο 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ
Η δυναμική μελετά την κίνηση των σωμάτων λαμβάνοντας υπόψη εκείνους τους λόγους (αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωμάτων) που καθορίζουν αυτή ή εκείνη τη φύση της κίνησης. Η κλασική (νευτώνεια) μηχανική βασίζεται σε τρεις νόμους της δυναμικής που διατύπωσε ο I. Newton τον 17ο αιώνα. Οι νόμοι του Νεύτωνα προέκυψαν ως αποτέλεσμα της γενίκευσης ενός μεγάλου αριθμού πειραματικών γεγονότων. Η ορθότητά τους επιβεβαιώνεται από τη σύμπτωση με την εμπειρία των συνεπειών που απορρέουν από αυτά.
Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα διατυπώνεται ως εξής: Κάθε σώμα βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας ή ομοιόμορφης και ευθύγραμμης κίνησης έως ότου η επίδραση άλλων σωμάτων το αναγκάσει να αλλάξει αυτή την κατάσταση.Και οι δύο αυτές καταστάσεις ενώνονται από το γεγονός ότι η επιτάχυνση του σώματος είναι μηδέν.
Λαμβάνοντας υπόψη ότι η φύση της κίνησης εξαρτάται από την επιλογή του συστήματος αναφοράς, θα πρέπει να συναχθεί το συμπέρασμα ότι ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα δεν ικανοποιείται σε κάθε σύστημα αναφοράς. Το σύστημα αναφοράς στο οποίο ικανοποιείται ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα ονομάζεται συνήθως αδρανειακό. Ο ίδιος ο νόμος ονομάζεται νόμος της αδράνειας. Ένα σύστημα αναφοράς στο οποίο ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα δεν ικανοποιείται συνήθως ονομάζεται μη αδρανειακό. Κάθε σύστημα αναφοράς που κινείται ομοιόμορφα και ευθύγραμμα σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα είναι επίσης αδρανειακό σύστημα. Για το λόγο αυτό, υπάρχει ένας άπειρος αριθμός αδρανειακών συστημάτων.
Η ιδιότητα των σωμάτων να διατηρούν μια κατάσταση ηρεμίας ή ομοιόμορφη και ευθύγραμμη κίνηση ονομάζεται συνήθως αδράνεια(αδράνεια). Μέτρο της αδράνειας ενός σώματος είναι η μάζα του Μ. Δεν εξαρτάται από την ταχύτητα του σώματος. Λαμβάνεται η μονάδα μάζας χιλιόγραμμο(kg) - μάζα του σώματος αναφοράς.
Αν αλλάξει η κατάσταση κίνησης ενός σώματος ή το σχήμα και το μέγεθός του, τότε λέγεται ότι το σώμα ενεργείται από άλλα σώματα. Το μέτρο της αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωμάτων είναι η δύναμη. Οποιαδήποτε δύναμη εκδηλώνεται ως αποτέλεσμα της δράσης ενός σώματος σε ένα άλλο, η οποία καταλήγει στην εμφάνιση επιτάχυνσης ή παραμόρφωσης στο σώμα.
Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα: η προκύπτουσα δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα είναι ίση με το γινόμενο της μάζας αυτού του σώματος και της επιτάχυνσής του:
Εφόσον η μάζα είναι βαθμωτή, από τον τύπο (6.1) προκύπτει ότι .
Βάσει αυτού του νόμου, εισάγεται μονάδα ισχύος - νεύτο(Ν): .
Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα ισχύει μόνο σε αδρανειακά συστήματα αναφοράς.
Ας αντικαταστήσουμε την επιτάχυνση της εξίσωσης (6.1) με την παράγωγο της ταχύτητας ως προς το χρόνο:
Διανυσματική ποσότητα
συνήθως ονομάζεται ώθηση του σώματος.
Από τον τύπο (6.3) προκύπτει ότι η διεύθυνση του διανύσματος της ορμής συμπίπτει με την κατεύθυνση της ταχύτητας. Μονάδα παρόρμησης - χιλιόγραμμο μέτρο ανά δευτερόλεπτο(kg×m/s).
Συνδυάζοντας τις εκφράσεις (6.2) και (6.3), λαμβάνουμε
Η έκφραση που προκύπτει μας επιτρέπει να προτείνουμε μια γενικότερη διατύπωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα: η δύναμη που ασκεί το σώμα είναι ίση με την παράγωγο της ώθησης ως προς το χρόνο.
Οποιαδήποτε δράση των σωμάτων μεταξύ τους είναι στη φύση της αλληλεπίδρασης (Εικ. 6.1). Εάν ένα σώμα ενεργεί σε ένα σώμα με κάποια δύναμη, τότε το σώμα, με τη σειρά του, ενεργεί στο σώμα με μια δύναμη.
Ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα διατυπώνεται ως εξής: αλληλεπιδρώντα σώματα δρουν μεταξύ τους με δυνάμεις ίσες σε μέγεθος και αντίθετες στην κατεύθυνση.
Αυτές οι δυνάμεις, που εφαρμόζονται σε διαφορετικά σώματα, δρουν σε μια ευθεία γραμμή και είναι δυνάμεις της ίδιας φύσης. Η μαθηματική έκφραση του τρίτου νόμου του Νεύτωνα είναι
Το σύμβολο "-" στον τύπο (6.5) σημαίνει ότι τα διανύσματα δύναμης είναι αντίθετα στην κατεύθυνση.
Όπως δήλωσε ο ίδιος ο Νεύτωνας, ο τρίτος νόμος αναφέρει: «Μια δράση έχει πάντα ίση και αντίθετη αντίδραση, διαφορετικά οι ενέργειες δύο σωμάτων το ένα πάνω στο άλλο είναι ίσες και κατευθύνονται προς αντίθετες κατευθύνσεις».
Η περιστροφή ενός σώματος μέσω μιας ορισμένης γωνίας μπορεί να καθοριστεί με τη μορφή ενός τμήματος, του οποίου το μήκος είναι ίσο με j και η κατεύθυνση συμπίπτει με τον άξονα γύρω από τον οποίο εκτελείται η περιστροφή. Η φορά περιστροφής και το τμήμα που την αντιπροσωπεύει σχετίζεται με τον κανόνα της δεξιάς βίδας.
Στα μαθηματικά φαίνεται ότι πολύ μικρές περιστροφές μπορούν να θεωρηθούν ως διανύσματα, που συμβολίζονται με τα σύμβολα ή . Η κατεύθυνση του διανύσματος περιστροφής σχετίζεται με την κατεύθυνση περιστροφής του σώματος. - το διάνυσμα της στοιχειώδους περιστροφής του σώματος - είναι ψευδοδιάνυσμα, αφού δεν έχει σημείο εφαρμογής.
Κατά την περιστροφική κίνηση ενός άκαμπτου σώματος, κάθε σημείο κινείται κατά μήκος ενός κύκλου, το κέντρο του οποίου βρίσκεται στον κοινό άξονα περιστροφής (Εικ. 6). Στην περίπτωση αυτή, το διάνυσμα ακτίνας R, που κατευθύνεται από τον άξονα περιστροφής προς το σημείο, περιστρέφεται στο χρόνο Dtσε κάποια γωνία DJ. Για να χαρακτηριστεί η περιστροφική κίνηση, εισάγονται η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση.
 |
Γωνιακή ταχύτηταείναι ένα διανυσματικό μέγεθος ίσο με την πρώτη παράγωγο της γωνίας περιστροφής ενός σώματος ως προς το χρόνο:
Γωνία 1 ακτινίου είναι μια κεντρική γωνία της οποίας το μήκος τόξου είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου. 360 o = 2p rad.
Καθορίζεται η κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας κανόνας δεξιάς βίδας: το διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας συνκατευθύνεται με το διάνυσμα, δηλαδή με τη μεταφορική κίνηση της βίδας, η κεφαλή της οποίας περιστρέφεται προς την κατεύθυνση της κίνησης του σημείου κατά μήκος του κύκλου.
Η γραμμική ταχύτητα ενός σημείου σχετίζεται με τη γωνιακή ταχύτητα:
Σε διανυσματική μορφή.
Εάν η γωνιακή ταχύτητα αλλάξει κατά τη διάρκεια της περιστροφής, εμφανίζεται γωνιακή επιτάχυνση.
Γωνιώδης επιτάχυνση– διανυσματική ποσότητα ίση με την πρώτη παράγωγο της γωνιακής ταχύτητας ως προς το χρόνο. Το διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας συνκατευθύνεται με το διάνυσμα της στοιχειώδους αλλαγής στη γωνιακή ταχύτητα που συνέβη κατά τη διάρκεια του χρόνου dt:
Όταν η κίνηση επιταχύνεται, το διάνυσμα είναι παράλληλο (Εικ. 7), όταν είναι αργό, είναι στην αντίθετη κατεύθυνση (Εικ. 8).
Η γωνιακή επιτάχυνση συμβαίνει σε ένα σύστημα μόνο όταν συμβαίνει αλλαγή στη γωνιακή ταχύτητα, δηλαδή όταν η γραμμική ταχύτητα της κίνησης αλλάζει σε μέγεθος. Η μεταβολή της ταχύτητας σε μέγεθος χαρακτηρίζει την εφαπτομενική επιτάχυνση.
Ας βρούμε τη σχέση μεταξύ γωνιακών και εφαπτομενικών επιταχύνσεων:
.
Μια αλλαγή στην κατεύθυνση της ταχύτητας κατά τη διάρκεια της καμπυλόγραμμης κίνησης χαρακτηρίζεται από κανονική επιτάχυνση:
.
Έτσι, η σχέση μεταξύ γραμμικών και γωνιακών μεγεθών εκφράζεται με τους ακόλουθους τύπους:
Τύποι περιστροφικής κίνησης:
ΕΝΑ) μεταβλητός– κίνηση κατά την οποία και αλλαγή:
σι) εξίσου μεταβλητή– περιστροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση:
V) στολή– περιστροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα:
.
Η ομοιόμορφη περιστροφική κίνηση μπορεί να χαρακτηριστεί από περίοδο και συχνότητα περιστροφής.
Περίοδος- αυτός είναι ο χρόνος κατά τον οποίο το σώμα κάνει μια πλήρη περιστροφή.
Συχνότητα περιστροφήςείναι ο αριθμός των περιστροφών που γίνονται ανά μονάδα χρόνου.
Για μια επανάσταση:
, 
.
οι νόμοι του Νεύτωνα. Βασική εξίσωση δυναμικής μεταφορικής κίνησης.
Η δυναμική μελετά την κίνηση των σωμάτων λαμβάνοντας υπόψη τους λόγους που προκαλούν αυτή την κίνηση.
Η δυναμική βασίζεται στους νόμους του Νεύτωνα.
Νομίζω.Υπάρχουν αδρανειακά συστήματα αναφοράς (IRS), στα οποία ένα υλικό σημείο (σώμα) διατηρεί μια κατάσταση ηρεμίας ή ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση έως ότου η επίδραση άλλων σωμάτων το βγάλει από αυτή την κατάσταση.
Η ιδιότητα ενός σώματος να διατηρεί σε κατάσταση ηρεμίας ή ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση απουσία επιρροής άλλων σωμάτων πάνω του ονομάζεται αδράνεια.
Το ISO είναι ένα σύστημα αναφοράς στο οποίο ένα σώμα, απαλλαγμένο από εξωτερικές επιρροές, βρίσκεται σε ηρεμία ή κινείται ομοιόμορφα σε ευθεία γραμμή.
Ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι αυτό που βρίσκεται σε ηρεμία ή κινείται ομοιόμορφα σε ευθεία γραμμή σε σχέση με οποιοδήποτε ISO.
Ένα σύστημα αναφοράς που κινείται με επιτάχυνση σε σχέση με το ISO είναι μη αδρανειακό.
Ο Πρώτος Νόμος του Νεύτωνα, που ονομάζεται επίσης νόμος της αδράνειας, διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον Γαλιλαίο. Το περιεχόμενό του συνοψίζεται σε 2 δηλώσεις:
1) όλα τα σώματα έχουν την ιδιότητα της αδράνειας.
2) υπάρχουν ISO.
Η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου: όλα τα μηχανικά φαινόμενα συμβαίνουν με τον ίδιο τρόπο σε όλα τα ISO, δηλ. Είναι αδύνατο να διαπιστωθεί με μηχανικά πειράματα μέσα σε ένα ISO εάν ένα δεδομένο ISO βρίσκεται σε ηρεμία ή κινείται ομοιόμορφα σε ευθεία γραμμή.
Στα περισσότερα πρακτικά προβλήματα, ένα σύστημα αναφοράς άκαμπτα συνδεδεμένο με τη Γη μπορεί να θεωρηθεί ISO.
Είναι γνωστό από την εμπειρία ότι κάτω από τις ίδιες επιρροές, διαφορετικά σώματα αλλάζουν διαφορετικά την ταχύτητά τους, δηλ. αποκτούν διαφορετικές επιταχύνσεις, η επιτάχυνση των σωμάτων εξαρτάται από τη μάζα τους.
Βάρος- ένα μέτρο των αδρανειακών και βαρυτικών ιδιοτήτων ενός σώματος. Με τη βοήθεια ακριβών πειραμάτων διαπιστώθηκε ότι η αδρανειακή και η βαρυτική μάζα είναι ανάλογες μεταξύ τους. Επιλέγοντας μονάδες με τέτοιο τρόπο ώστε ο συντελεστής αναλογικότητας να γίνει ίσος με ένα, το λαμβάνουμε , επομένως μιλάμε απλώς για μάζα σώματος.
[m]=1kg είναι η μάζα ενός κυλίνδρου πλατίνας-ιριδίου, του οποίου η διάμετρος και το ύψος είναι h=d=39mm.
Για να χαρακτηριστεί η δράση ενός σώματος σε ένα άλλο, εισάγεται η έννοια της δύναμης.
Δύναμη- ένα μέτρο της αλληλεπίδρασης των σωμάτων, με αποτέλεσμα τα σώματα να αλλάζουν την ταχύτητά τους ή να παραμορφώνονται.
Η δύναμη χαρακτηρίζεται από την αριθμητική της τιμή, την κατεύθυνση και το σημείο εφαρμογής της. Η ευθεία κατά την οποία ενεργεί μια δύναμη ονομάζεται γραμμή δράσης.
Η ταυτόχρονη δράση πολλών δυνάμεων σε ένα σώμα ισοδυναμεί με τη δράση μιας δύναμης, που ονομάζεται επακόλουθοή τη δύναμη που προκύπτει και ίση με το γεωμετρικό άθροισμά τους:
Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα - ο θεμελιώδης νόμος της δυναμικής της μεταφορικής κίνησης - απαντά στο ερώτημα πώς αλλάζει η κίνηση ενός σώματος υπό την επίδραση των δυνάμεων που εφαρμόζονται σε αυτό.
Η μεταγραφική κίνηση είναι μια μηχανική κίνηση ενός συστήματος σημείων (σώμα), στο οποίο κάθε ευθύγραμμο τμήμα που σχετίζεται με ένα κινούμενο σώμα, του οποίου το σχήμα και οι διαστάσεις δεν αλλάζουν κατά την κίνηση, παραμένει παράλληλο στη θέση του σε οποιαδήποτε προηγούμενη χρονική στιγμή . Εάν ένα σώμα κινείται μεταφορικά, τότε για να περιγράψουμε την κίνησή του αρκεί να περιγράψουμε την κίνηση ενός αυθαίρετου σημείου (για παράδειγμα, την κίνηση του κέντρου μάζας του σώματος).
Ένα από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά της κίνησης ενός σημείου είναι η τροχιά του, η οποία γενικά είναι μια χωρική καμπύλη που μπορεί να αναπαρασταθεί ως συζευγμένα τόξα διαφορετικών ακτίνων, το καθένα που προέρχεται από το δικό του κέντρο, η θέση του οποίου μπορεί να αλλάξει με την πάροδο του χρόνου. Στο όριο, μια ευθεία μπορεί να θεωρηθεί ως ένα τόξο του οποίου η ακτίνα είναι ίση με το άπειρο.
Στην περίπτωση αυτή, αποδεικνύεται ότι κατά τη μεταφορική κίνηση, σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή, οποιοδήποτε σημείο του σώματος περιστρέφεται γύρω από το στιγμιαίο κέντρο περιστροφής του και το μήκος της ακτίνας σε μια δεδομένη στιγμή είναι το ίδιο για όλα τα σημεία του σώμα. Τα διανύσματα ταχύτητας των σημείων του σώματος, καθώς και οι επιταχύνσεις που βιώνουν, είναι πανομοιότυπα σε μέγεθος και κατεύθυνση.
Για παράδειγμα, ένας θάλαμος ανελκυστήρων κινείται προς τα εμπρός. Επίσης, σε μια πρώτη προσέγγιση, η καμπίνα του τροχού λούνα παρκ κάνει μεταφορική κίνηση. Ωστόσο, αυστηρά μιλώντας, η κίνηση της καμπίνας της ρόδας δεν μπορεί να θεωρηθεί προοδευτική.
Η βασική εξίσωση για τη δυναμική της μεταφορικής κίνησης ενός αυθαίρετου συστήματος σωμάτων
Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος είναι ίσος με το κύριο διάνυσμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν σε αυτό το σύστημα.
Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα - ο βασικός νόμος της δυναμικής της μεταφορικής κίνησης - απαντά στο ερώτημα πώς μεταβάλλεται η μηχανική κίνηση ενός υλικού σημείου (σώματος) υπό την επίδραση των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό. Λαμβάνοντας υπόψη τη δράση διαφόρων δυνάμεων σε ένα δεδομένο υλικό σημείο (σώμα), η επιτάχυνση που αποκτά το σώμα είναι πάντα ευθέως ανάλογη με το αποτέλεσμα αυτών των εφαρμοζόμενων δυνάμεων:
Όταν η ίδια δύναμη ασκεί σε σώματα με διαφορετικές μάζες, οι επιταχύνσεις των σωμάτων αποδεικνύονται διαφορετικές, δηλαδή
Λαμβάνοντας υπόψη τα (1) και (2) και το γεγονός ότι η δύναμη και η επιτάχυνση είναι διανυσματικά μεγέθη, μπορούμε να γράψουμε
Η σχέση (3) είναι ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα: η επιτάχυνση που αποκτάται από ένα υλικό σημείο (σώμα), ανάλογη με τη δύναμη που το προκαλεί, συμπίπτει με αυτό κατά την κατεύθυνση και είναι αντιστρόφως ανάλογη με τη μάζα του υλικού σημείου (σώματος). Στο σύστημα μέτρησης SI, ο συντελεστής αναλογικότητας είναι k= 1. Τότε
Λαμβάνοντας υπόψη ότι η μάζα ενός υλικού σημείου (σώματος) στην κλασική μηχανική είναι σταθερή, στην έκφραση (4) η μάζα μπορεί να εισαχθεί κάτω από το πρόσημο της παραγώγου:
Διανυσματική ποσότητα
αριθμητικά ίσο με το γινόμενο της μάζας ενός υλικού σημείου με την ταχύτητά του και έχει την κατεύθυνση της ταχύτητας, λέγεται ώθηση (ποσότητα κίνησης) αυτού του υλικού σημείου Αντικαθιστώντας το (6) με το (5), παίρνουμε
Αυτή η έκφραση είναι μια γενικότερη διατύπωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα: ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός υλικού σημείου είναι ίσος με τη δύναμη που ασκείται σε αυτό.
Κύρια χαρακτηριστικά της κίνησης προς τα εμπρός:
1. μονοπάτι - οποιαδήποτε κίνηση κατά μήκος της τροχιάς
2.Η κίνηση είναι η συντομότερη διαδρομή.
Καθώς και δύναμη, ώθηση, μάζα, ταχύτητα, επιτάχυνση κ.λπ.
Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι ο ελάχιστος αριθμός συντεταγμένων (παραμέτρων), η προδιαγραφή των οποίων καθορίζει πλήρως τη θέση του φυσικού συστήματος στο χώρο.
Στη μεταφορική κίνηση, όλα τα σημεία του σώματος σε κάθε χρονική στιγμή έχουν την ίδια ταχύτητα και επιτάχυνση.
Ο νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής (ο νόμος της διατήρησης της γωνιακής ορμής) είναι ένας από τους θεμελιώδεις νόμους διατήρησης. Εκφράζεται μαθηματικά μέσω του διανυσματικού αθροίσματος όλης της γωνιακής ορμής σε σχέση με τον επιλεγμένο άξονα για ένα κλειστό σύστημα σωμάτων και παραμένει σταθερό έως ότου το σύστημα επηρεαστεί από εξωτερικές δυνάμεις. Σύμφωνα με αυτό, η γωνιακή ορμή ενός κλειστού συστήματος σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων δεν αλλάζει με το χρόνο.
Ο νόμος της διατήρησης της γωνιακής ορμής είναι μια εκδήλωση της ισοτροπίας του χώρου ως προς την περιστροφή. Είναι συνέπεια του δεύτερου και του τρίτου νόμου του Νεύτωνα.
Πειραματικές μελέτες των αλληλεπιδράσεων διαφόρων σωμάτων - από πλανήτες και αστέρια μέχρι άτομα και στοιχειώδη σωματίδια - έχουν δείξει ότι σε οποιοδήποτε σύστημα σωμάτων που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, ελλείψει δράσης δυνάμεων από άλλα σώματα που δεν περιλαμβάνονται στο σύστημα, ή το άθροισμα των ενεργών δυνάμεων είναι ίσο με μηδέν, το γεωμετρικό άθροισμα των ροπών των σωμάτων παραμένει αμετάβλητο.
Ένα σύστημα σωμάτων που δεν αλληλεπιδρούν με άλλα σώματα που δεν περιλαμβάνονται σε αυτό το σύστημα ονομάζεται κλειστό σύστημα.
P-Pulse
(με διανύσματα)
14. Διαφορές μεταξύ περιστροφικής και μεταφορικής κίνησης. Κινηματική περιστροφικής κίνησης. Η περιστροφική κίνηση είναι ένας τύπος μηχανικής κίνησης. Κατά την περιστροφική κίνηση ενός απολύτως άκαμπτου σώματος, τα σημεία του περιγράφουν κύκλους που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα. Η μεταγραφική κίνηση είναι μια μηχανική κίνηση ενός συστήματος σημείων (σώμα), στο οποίο κάθε ευθύγραμμο τμήμα που σχετίζεται με ένα κινούμενο σώμα, του οποίου το σχήμα και οι διαστάσεις δεν αλλάζουν κατά την κίνηση, παραμένει παράλληλο στη θέση του σε οποιαδήποτε προηγούμενη χρονική στιγμή .[ Υπάρχει μια στενή και εκτεταμένη αναλογία μεταξύ της κίνησης ενός άκαμπτου σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα και της κίνησης ενός μεμονωμένου υλικού σημείου (ή της μεταφορικής κίνησης ενός σώματος). Κάθε γραμμική ποσότητα από την κινηματική ενός σημείου αντιστοιχεί σε παρόμοια ποσότητα από την κινηματική περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος. Η συντεταγμένη s αντιστοιχεί στη γωνία φ, γραμμική ταχύτητα v - γωνιακή ταχύτητα w, γραμμική (εφαπτομενική) επιτάχυνση a - γωνιακή επιτάχυνση ε. Συγκριτικές παράμετροι κίνησης:
|
Κίνηση προς τα εμπρός |
Περιστροφική κίνηση |
|
Μετακίνηση S |
Γωνιακή μετατόπιση φ |
|
Γραμμική ταχύτητα |
Γωνιακή ταχύτητα |
|
Επιτάχυνση |
Γωνιώδης επιτάχυνση |
|
Ροπή αδράνειας I |
|
|
Ορμή |
|
|
Ροπή δύναμης Μ |
|
Δουλειά: |
Δουλειά: |
|
Κινητική ενέργεια |
Κινητική ενέργεια |
|
Νόμος διατήρησης της ορμής (LCM) |
Νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής (LACM) |
Κατά την περιγραφή της περιστροφικής κίνησης ενός άκαμπτου σώματος σε σχέση με ένα ακίνητο σώμα σε ένα δεδομένο σύστημα αναφοράς, συνηθίζεται να χρησιμοποιούνται διανυσματικές ποσότητες ειδικού είδους. Σε αντίθεση με τα πολικά διανύσματα r (διάνυσμα ακτίνας), v (ταχύτητα), a (επιτάχυνση) που συζητήθηκαν παραπάνω, η κατεύθυνση των οποίων προκύπτει φυσικά από τη φύση των ίδιων των μεγεθών, η κατεύθυνση των διανυσμάτων που χαρακτηρίζουν την περιστροφική κίνηση συμπίπτει με τον άξονα της περιστροφής, επομένως ονομάζονται αξονικές (λατινικά axis – axis).
Η στοιχειώδης περιστροφή dφ είναι ένα αξονικό διάνυσμα, το μέγεθος του οποίου είναι ίσο με τη γωνία περιστροφής dφ, και η κατεύθυνση κατά μήκος του άξονα περιστροφής OO" (βλ. Εικ. 1.4) καθορίζεται από τον κανόνα της δεξιάς βίδας (γωνία περιστροφής του ένα άκαμπτο σώμα).
Εικ.1.4. Για τον προσδιορισμό της κατεύθυνσης του αξονικού διανύσματος
Η γραμμική μετατόπιση dr ενός αυθαίρετου σημείου Α ενός άκαμπτου σώματος σχετίζεται με το διάνυσμα ακτίνας r και την περιστροφή dφ με τη σχέση dr=rsinα dφ ή σε διανυσματική μορφή μέσω του διανυσματικού γινομένου:
dr= (1,9)
Η σχέση (1.9) ισχύει ακριβώς για μια απειροελάχιστη περιστροφή dφ.
Η γωνιακή ταχύτητα ω είναι ένα αξονικό διάνυσμα που προσδιορίζεται από την παράγωγο του διανύσματος περιστροφής ως προς το χρόνο:
Το διάνυσμα ω, όπως το διάνυσμα dφ, κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής σύμφωνα με τον κανόνα της δεξιάς βίδας (Εικ. 1.5).
Εικ.1.5. Για να προσδιορίσετε την κατεύθυνση του διανύσματος
Η γωνιακή επιτάχυνση β είναι ένα αξονικό διάνυσμα που προσδιορίζεται από την παράγωγο του διανύσματος γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο:
β=dω/dt=d2φ/dt2=ω"=φ""
Με την επιταχυνόμενη κίνηση, η κατεύθυνση του διανύσματος β συμπίπτει με το ω (Εικ. 1.6, α), και με την αργή κίνηση, τα διανύσματα β και ω κατευθύνονται αντίθετα μεταξύ τους (Εικ. 1.6, β).
Εικ.1.6. Σχέση μεταξύ των κατευθύνσεων των διανυσμάτων ω και β
Σημαντική σημείωση: η λύση σε όλα τα προβλήματα που αφορούν την περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα είναι παρόμοια σε μορφή με προβλήματα που αφορούν την ευθύγραμμη κίνηση ενός σημείου. Αρκεί να αντικαταστήσουμε τα γραμμικά μεγέθη x, vx, ax με τα αντίστοιχα γωνιακά μεγέθη φ, ω και β, και λαμβάνουμε εξισώσεις παρόμοιες με τις (1.6) - (1.8).
Περίοδος θεραπείας-
(Ο χρόνος που χρειάζεται ένα σώμα για να ολοκληρώσει μια περιστροφή)
Συχνότητα (αριθμός στροφών ανά μονάδα χρόνου) -
Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα και η έννοια του αδρανειακού πλαισίου αναφοράς.
Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα ως εξίσωση κίνησης. Έννοιες μάζας, δύναμης, ορμής.
Ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα και τα όρια εφαρμογής του.
Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Απόλυτες και σχετικές ταχύτητες και επιταχύνσεις. Αδρανειακές δυνάμεις (φυγόκεντρη δύναμη και δύναμη Coriolis).
Κέντρο αδράνειας (κέντρο μάζας). Θεώρημα για την κίνηση του κέντρου αδράνειας.
1. 1ος νόμος του Νεύτωνα. Ένα υλικό σημείο που δεν υπόκειται σε εξωτερικές επιρροές ή βρίσκεται σε ηρεμία, ή κινείται ομοιόμορφα και σε ευθεία γραμμή. Ένα τέτοιο σώμα ονομάζεται ελεύθερο, Η κίνησή του είναι ελεύθερη κίνηση ή κίνηση με αδράνεια.
Η κλασική μηχανική υποστηρίζει ότι υπάρχει ένα πλαίσιο αναφοράς στο οποίο όλα τα ελεύθερα σώματα κινούνται ευθύγραμμα και ομοιόμορφα. Ένα τέτοιο σύστημα ονομάζεται αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Ετσι, Ο 1ος νόμος του Νεύτωνα εκφράζει το κριτήριο για την αδράνεια ενός συστήματος αναφοράς.
2. 2ος νόμος του Νεύτωνα. Η χρονική παράγωγος της ορμής ενός υλικού σημείου είναι ίση με τη δύναμη που ασκείται σε αυτό.
όπου είναι η ορμή (ποσότητα κίνησης), μια διανυσματική ποσότητα ίση για ένα υλικό σημείο με το γινόμενο της μάζας και της ταχύτητάς του 
και κατευθύνεται κατά μήκος 
;
–βάρος– μέτρο της αδράνειας των σωμάτων.
Παρόρμηση ενός μηχανικού συστήματοςίσο με το γεωμετρικό άθροισμα των παλμών όλων των σημείων του συστήματος.
Δύναμη
στη μηχανική - ένα μέτρο της μηχανικής δράσης άλλων σωμάτων σε ένα δεδομένο υλικό σώμα. Αυτή η δράση μπορεί να πραγματοποιηθεί τόσο μέσω άμεσης επαφής όσο και μέσω πεδίων που δημιουργούνται από σώματα (ηλεκτρομαγνητικά, βαρυτικά πεδία). Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος και σε κάθε χρονική στιγμή χαρακτηρίζεται από αριθμητική τιμή, κατεύθυνσηστο διάστημα και σημείο εφαρμογής. Η προσθήκη δυνάμεων πραγματοποιείται σύμφωνα με κανόνας παραλληλογράμμου. Στη σύγχρονη φυσική υπάρχει μια διάκριση 4 είδη αλληλεπιδράσεων:
βαρυτική (λόγω της παγκόσμιας βαρύτητας).
ηλεκτρομαγνητική (που πραγματοποιείται μέσω ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων).
ισχυρή ή πυρηνική (διασφάλιση της σύνδεσης σωματιδίων στον ατομικό πυρήνα).
αδύναμο (υπεύθυνο για πολλές διαδικασίες διάσπασης στοιχειωδών σωματιδίων).
Παράδειγμαχρησιμοποιώντας τον 2ο νόμο της κίνησης του Νεύτωνα ως εξίσωση κίνησης:
|
|
Στο
Στο
|
|
|
|
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
3. 3ος νόμος του Νεύτωνα. Οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο υλικών σημείων είναι ίσες σε μέγεθος, αντίθετα κατευθυνόμενες και δρουν κατά μήκος της ευθείας που συνδέει αυτά τα υλικά σημεία.
Ο τρίτος νόμος, όπως ο 1ος και ο 2ος, έκθεσημόνο στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Εκτός, υποχώρησηαπό τον 3ο νόμο τηρείται στην περίπτωση της κίνησης των σωμάτων με ταχύτητες συγκρίσιμες με την ταχύτητα του φωτός.
Στην περίπτωση μετακίνησης χρεώσεωνείναι επίσης απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η αλληλεπίδραση με τα μαγνητικά πεδία που δημιουργούνται από αυτά. Έστω δύο θετικά φορτία 
Και 
κινούνται με ταχύτητες 
Και 
(Εικ. 2.1). Κάθε φορτίο δρα στο άλλο ως Coulomb 
, και δυνάμεις Lorentz 
. Κατευθύνσεις διανυσμάτων επαγωγής μαγνητικού πεδίου 
Και 
, που δημιουργείται από σωματίδια 
Και 
, καθορίζονται από τον κανόνα της δεξιάς βίδας (gimlet).
Ρύζι. 2.1
Μαγνητικές δυνάμεις Lorentz 
Και 
δεν ταιριάζουν στην κατεύθυνση. Προκύπτουσες δυνάμεις 
Και 
δεν είναι ίσα μεταξύ τους και δεν κατευθύνονται αντίθετα.
4.
Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Δυνάμεις αδράνειας.
Ας απεικονίσουμε δύο συστήματα αναφοράς, εκ των οποίων ΠΡΟΣ ΤΗΝείναι αδρανειακό και Σύστημα
κινείται σε σχέση με ΠΡΟΣ ΤΗΝμε μερικούς επιτάχυνσηκαι ως εκ τούτου μη αδρανειακή(Εικ. 2.2).
Ρύζι. 2.2
Σε περίπτωση που το σύστημα 
κινείται σε σχέση με ΠΡΟΣ ΤΗΝπροοδευτικά:
Οπου 
διάνυσμα ακτίνας ενός σημείου Μστο σύστημα ΠΡΟΣ ΤΗΝ;
διάνυσμα ακτίνας προέλευσης 
;
διάνυσμα ακτίνας ενός σημείου Μ
στο σύστημα 
. Ας διαφοροποιήσουμε την έκφραση δύο φορές 
:
,
,
Οπου 
επιτάχυνση σωματιδίων Μ
στο σύστημα ΠΡΟΣ ΤΗΝ;
– εκκίνηση επιτάχυνσης 
συστήματα 
σε σχέση με το σύστημα ΠΡΟΣ ΤΗΝ;
– επιτάχυνση σωματιδίων στο σύστημα 
.
; πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με Μ, παίρνουμε
, Εδώ 
σύμφωνα με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα, η δύναμη που ασκείται σε ένα σωματίδιο από άλλα σώματα 
, Επειτα:
Αυτό είναι σε σχέση με το σύστημα
το σωματίδιο συμπεριφέρεται σαν, εκτός από τη δύναμη
επιδρά σε αυτό πρόσθετη δύναμη
. Αυτή η δύναμη ονομάζεται δύναμη αδράνειας.
Η κίνηση σε σχέση με ένα επιλεγμένο υπό όρους σταθερό σύστημα ονομάζεται απόλυτος. Διάνυσμα 
δίνει απόλυτη ταχύτητα,
απόλυτη επιτάχυνση, και 
Και 
σχετική ταχύτητα και επιτάχυνση.
Ο κλάδος της μηχανικής που μελετά την κίνηση των υλικών σωμάτων μαζί με τα φυσικά αίτια που προκαλούν αυτή την κίνηση ονομάζεται δυναμική. Οι βασικές ιδέες και οι ποσοτικοί νόμοι της δυναμικής προέκυψαν και αναπτύσσονται με βάση την ανθρώπινη εμπειρία αιώνων: παρατηρήσεις της κίνησης γήινων και ουράνιων σωμάτων, βιομηχανική πρακτική και ειδικά σχεδιασμένα πειράματα.
Ο μεγάλος Ιταλός φυσικός Galileo Galilei διαπίστωσε πειραματικά ότι ένα υλικό σημείο (σώμα) αρκετά απομακρυσμένο από όλα τα άλλα σώματα (δηλαδή, που δεν αλληλεπιδρά μαζί τους) θα διατηρήσει την κατάσταση ηρεμίας ή την ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνησή του. Αυτή η θέση του Γαλιλαίου επιβεβαιώθηκε από όλα τα επόμενα πειράματα και αποτελεί το περιεχόμενο του πρώτου θεμελιώδους νόμου της δυναμικής, του λεγόμενου νόμου της αδράνειας. Στην περίπτωση αυτή η ανάπαυση θα πρέπει να θεωρείται ως ειδική περίπτωση ομοιόμορφης και ευθύγραμμης κίνησης, όταν.
Αυτός ο νόμος ισχύει εξίσου τόσο για την κίνηση των γιγάντιων ουράνιων σωμάτων όσο και για την κίνηση των μικρότερων σωματιδίων. Η ιδιότητα των υλικών σωμάτων να διατηρούν μια κατάσταση ομοιόμορφης και ευθύγραμμης κίνησης ονομάζεται αδράνεια.
Η ομοιόμορφη και ευθύγραμμη κίνηση ενός σώματος απουσία εξωτερικών επιρροών ονομάζεται κίνηση αδράνειας.
Το σύστημα αναφοράς σε σχέση με το οποίο ισχύει ο νόμος της αδράνειας ονομάζεται αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Το αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι σχεδόν ακριβώς το ηλιοκεντρικό πλαίσιο. Λόγω της τεράστιας απόστασης από τα αστέρια, η κίνησή τους μπορεί να παραμεληθεί και τότε οι άξονες συντεταγμένων που κατευθύνονται από τον Ήλιο σε τρία αστέρια που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο θα είναι ακίνητοι. Προφανώς, οποιοδήποτε άλλο πλαίσιο αναφοράς κινείται ομοιόμορφα και ευθύγραμμα σε σχέση με το ηλιοκεντρικό πλαίσιο θα είναι επίσης αδρανειακό.
Το φυσικό μέγεθος που χαρακτηρίζει την αδράνεια ενός υλικού σώματος είναι η μάζα του. Ο Νεύτωνας όρισε τη μάζα ως την ποσότητα ύλης που περιέχεται σε ένα σώμα. Αυτός ο ορισμός δεν μπορεί να θεωρηθεί εξαντλητικός. Η μάζα χαρακτηρίζει όχι μόνο την αδράνεια ενός υλικού σώματος, αλλά και τις βαρυτικές του ιδιότητες: η δύναμη έλξης που βιώνει ένα δεδομένο σώμα από ένα άλλο σώμα είναι ανάλογη με τις μάζες τους. Η μάζα καθορίζει το συνολικό ενεργειακό απόθεμα ενός υλικού σώματος.
Η έννοια της μάζας μας επιτρέπει να αποσαφηνίσουμε τον ορισμό ενός υλικού σημείου. Ένα υλικό σημείο είναι ένα σώμα, κατά τη μελέτη της κίνησης του οποίου μπορεί κανείς να αφαιρέσει όλες τις ιδιότητές του εκτός από τη μάζα. Κάθε υλικό σημείο, λοιπόν, χαρακτηρίζεται από το μέγεθος της μάζας του. Στη Νευτώνεια μηχανική, η οποία βασίζεται στους νόμους του Νεύτωνα, η μάζα ενός σώματος δεν εξαρτάται από τη θέση του σώματος στο χώρο, την ταχύτητά του, τη δράση άλλων σωμάτων στο σώμα κ.λπ. Η μάζα είναι μια προσθετική ποσότητα, δηλ. Η μάζα ενός σώματος είναι ίση με το άθροισμα των μαζών όλων των μερών του. Ωστόσο, η ιδιότητα της προσθετικότητας χάνεται σε ταχύτητες κοντά στην ταχύτητα του φωτός στο κενό, δηλ. στη σχετικιστική μηχανική.
Ο Αϊνστάιν έδειξε ότι η μάζα ενός κινούμενου σώματος εξαρτάται από την ταχύτητα
όπου m 0 - μάζα σώματος σε ηρεμία, - ταχύτητα κίνησης του σώματος, s - ταχύτητα φωτός στο κενό.
Από την (2.1) προκύπτει ότι όταν τα σώματα κινούνται με χαμηλές ταχύτητες c, η μάζα του σώματος είναι ίση με τη μάζα ηρεμίας, δηλ. m=m 0 ; στο c η μάζα είναι m.
Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα των πειραμάτων του Γαλιλαίου για την πτώση βαρέων σωμάτων, τους αστρονομικούς νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών και τα δεδομένα της δικής του έρευνας, ο Νεύτων διατύπωσε τον δεύτερο θεμελιώδη νόμο της δυναμικής, ο οποίος συνέδεε ποσοτικά την αλλαγή στην κίνηση ενός υλικού σώμα με τις δυνάμεις που προκαλούν αυτή την αλλαγή στην κίνηση. Ας σταθούμε στην ανάλυση αυτής της πιο σημαντικής έννοιας.
Στη γενική περίπτωση, η δύναμη είναι ένα φυσικό μέγεθος που χαρακτηρίζει τη δράση που ασκεί ένα σώμα σε ένα άλλο. Αυτή η διανυσματική ποσότητα καθορίζεται από το αριθμητικό μέγεθος ή μέγεθός της, την κατεύθυνση στο χώρο και το σημείο εφαρμογής της.
Αν δύο δυνάμεις και δρουν σε ένα υλικό σημείο, τότε η δράση τους ισοδυναμεί με τη δράση μιας δύναμης
που προκύπτει από το γνωστό τρίγωνο δυνάμεων (Εικ. 2.1). Αν σε ένα σώμα δρουν n δυνάμεις, η συνολική δράση ισοδυναμεί με τη δράση ενός προκύπτοντος, που είναι το γεωμετρικό άθροισμα των δυνάμεων:
Η δυναμική εκδήλωση της δύναμης είναι ότι υπό την επίδραση της δύναμης ένα υλικό σώμα βιώνει επιτάχυνση. Η στατική δράση της δύναμης οδηγεί στο γεγονός ότι τα ελαστικά σώματα (ελατήρια) παραμορφώνονται υπό την επίδραση δυνάμεων και τα αέρια συμπιέζονται.
Η εξίσωση (2.3) αντιπροσωπεύει τη μαθηματική σημειογραφία του δεύτερου θεμελιώδους νόμου της δυναμικής:
το διάνυσμα της δύναμης που ασκείται σε ένα υλικό σημείο είναι αριθμητικά ίσο με το γινόμενο της μάζας του σημείου και του διανύσματος της επιτάχυνσης που προκύπτει από τη δράση αυτής της δύναμης.
Επειδή η επιτάχυνση
όπου είναι τα μοναδιαία διανύσματα, είναι οι προβολές της επιτάχυνσης στους άξονες συντεταγμένων, τότε
Εάν σημειωθεί, τότε η έκφραση (2.4) μπορεί να ξαναγραφτεί ως προβολές δυνάμεων στους άξονες συντεταγμένων:
Στο σύστημα SI, η μονάδα δύναμης είναι το Newton.
Σύμφωνα με την (2.3), ένα newton είναι μια δύναμη που προσδίδει επιτάχυνση 1 m/s 2 σε μάζα 1 kg. Είναι εύκολο να το δεις αυτό
Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα μπορεί να γραφτεί διαφορετικά εάν εισαγάγουμε την έννοια της ορμής του σώματος (m) και της ώθησης δύναμης (Fdt). Ας αντικαταστήσουμε
(2.3) έκφραση για επιτάχυνση
Έτσι, η στοιχειώδης ώθηση της δύναμης που επενεργεί σε ένα υλικό σημείο κατά το χρονικό διάστημα dt είναι ίση με τη μεταβολή της ορμής του σώματος κατά την ίδια χρονική περίοδο.
Δείχνοντας την ώθηση του σώματος
λαμβάνουμε την ακόλουθη έκφραση για τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα:
Στη σχετικιστική μηχανική στο c, ο βασικός νόμος της δυναμικής και της ορμής του σώματος, λαμβάνοντας υπόψη την εξάρτηση της μάζας από την ταχύτητα (2.1.), θα γραφτεί με την ακόλουθη μορφή
Μέχρι τώρα, έχουμε εξετάσει μόνο τη μία πλευρά της αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωμάτων: την επίδραση άλλων σωμάτων στη φύση της κίνησης ενός δεδομένου επιλεγμένου σώματος (σημείο υλικού). Αυτή η επιρροή δεν μπορεί να είναι μονόπλευρη· η αλληλεπίδραση πρέπει να είναι αμοιβαία. Αυτό το γεγονός αντικατοπτρίζεται από τον τρίτο νόμο της δυναμικής, που διατυπώθηκε για την περίπτωση αλληλεπίδρασης δύο υλικών σημείων: εάν το υλικό σημείο m 2 εμπειρίες από την πλευρά του υλικού σημείου m 1 δύναμη ίση, τότε m 1 εμπειρίες από το εξωτερικό m 2 δύναμη ίση σε μέγεθος και αντίθετη κατεύθυνση:
Αυτές οι δυνάμεις ενεργούν πάντα κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από τα σημεία m 1 και m 2 , όπως φαίνεται στο σχήμα 2.2. Εικόνα 2.2 ΕΝΑισχύει
- Σε επαφή με 0
- Google+ 0
- Εντάξει 0
- Facebook 0
