Μαθηματικά. Αλγεβρα. Γεωμετρία. Τριγωνομετρία. κλάσματα, ποσοστά, ρητοί αριθμοί Τι είναι ρητός αριθμός

Ένα συνηθισμένο κλάσμα είναι ένας αριθμός της μορφής όπου ο τύπος είναι φυσικοί αριθμοί, για παράδειγμα Ο αριθμός ονομάζεται αριθμητής του κλάσματος, ο παρονομαστής. Συγκεκριμένα, ίσως σε αυτήν την περίπτωση το κλάσμα να έχει τη μορφή, αλλά πιο συχνά γράφεται απλά.Αυτό σημαίνει ότι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συνηθισμένο κλάσμα με παρονομαστή 1. Σημείωση - μια άλλη εκδοχή σημειογραφίας

Τα κοινά κλάσματα χωρίζονται σε σωστά και ακατάλληλα

κλάσματα Ένα κλάσμα ονομάζεται σωστό αν ο αριθμητής του είναι μικρότερος από τον παρονομαστή του και ακατάλληλο αν ο αριθμητής του είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή.

Οποιοδήποτε ακατάλληλο κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού και ενός κατάλληλου κλάσματος (ή ως φυσικός αριθμός, εάν το κλάσμα είναι τέτοιο ώστε να είναι πολλαπλάσιο π.χ.

Παράδειγμα. Να παραστήσετε ένα ακατάλληλο κλάσμα ως το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού και ενός σωστού κλάσματος: α)

Λύση α)

Συνηθίζεται να γράφεται το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού και ενός σωστού κλάσματος χωρίς πρόσθετο πρόσημο, δηλαδή αντί να γράφεται ένας αριθμός που γράφεται με αυτή τη μορφή ονομάζεται μικτός αριθμός. Αποτελείται από δύο μέρη: ακέραιο και κλασματικό. Έτσι, για τον αριθμό 3 - το ακέραιο μέρος είναι ίσο με 3 και το κλασματικό μέρος - Κάθε ακατάλληλο κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως μικτός αριθμός (ή ως φυσικός αριθμός). Το αντίστροφο ισχύει επίσης: κάθε μικτός ή φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως ακατάλληλο κλάσμα. Για παράδειγμα, .

(Αρ. 2475) Ένα μπουκάλι σαμπουάν κοστίζει 200 ​​ρούβλια Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός φιαλών που μπορείτε να αγοράσετε για 1000 ρούβλια κατά τη διάρκεια μιας πώλησης όταν η έκπτωση είναι 15%;

(Αρ. 2491) Ένα στυλό κοστίζει 20 ρούβλια. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός τέτοιων στυλό που μπορούν να αγοραστούν για 700 ρούβλια μετά την αύξηση της τιμής κατά 15%;

(Αρ. 2503) Το σημειωματάριο κοστίζει 40 ρούβλια. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός τέτοιων σημειωματάριων που μπορούν να αγοραστούν για 550 ρούβλια μετά τη μείωση της τιμής κατά 15%;

(Αρ. 2513) Το κατάστημα αγοράζει γλάστρες σε τιμή χονδρικής 100 ρούβλια ανά τεμάχιο. Το εμπορικό περιθώριο είναι 15%. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός τέτοιων δοχείων που μπορούν να αγοραστούν σε αυτό το κατάστημα για 1300 ρούβλια;

(Αρ. 2595) Ένα εισιτήριο τρένου για έναν ενήλικα κοστίζει 550 ρούβλια. Το κόστος ενός φοιτητικού εισιτηρίου είναι το 50% του κόστους ενός εισιτηρίου ενηλίκων. Η ομάδα αποτελείται από 18 μαθητές και 4 ενήλικες. Πόσα ρούβλια είναι τα εισιτήρια για ολόκληρο το γκρουπ;

(Αρ. 2601) Η τιμή για έναν ηλεκτρικό βραστήρα αυξήθηκε κατά 21% και ανήλθε σε 3.025 ρούβλια. Πόσα ρούβλια κόστισε το προϊόν πριν από την αύξηση της τιμής;

(Αρ. 2617) Το μπλουζάκι κόστιζε 800 ρούβλια. Αφού μειώθηκε η τιμή, άρχισε να κοστίζει 680 ρούβλια. Κατά πόσο μειώθηκε η τιμή της μπλούζας;

(Αρ. 6193) Η πόλη Ν έχει 250.000 κατοίκους. Μεταξύ αυτών, το 15% είναι παιδιά και έφηβοι. Μεταξύ των ενηλίκων, το 35% δεν εργάζεται (συνταξιούχοι, νοικοκυρές, άνεργοι). Πόσοι ενήλικες εργάζονται;

(Αρ. 6235) Ο πελάτης πήρε δάνειο 3.000 ρούβλια από την τράπεζα. για ένα χρόνο στο 12%. Πρέπει να αποπληρώσει το δάνειο καταθέτοντας το ίδιο χρηματικό ποσό στην τράπεζα κάθε μήνα για να αποπληρώσει ολόκληρο το ποσό που δανείστηκε μαζί με τους τόκους μετά από ένα χρόνο. Πόσα πρέπει να καταθέτει στην τράπεζα μηνιαίως;

(Αρ. 24285) Ο φόρος εισοδήματος είναι 13% των μισθών. Μετά την παρακράτηση φόρου εισοδήματος, η Maria Konstantinovna έλαβε 13.050 ρούβλια. Πόσα ρούβλια είναι ο μισθός της Maria Konstantinovna;

(Αρ. 24261) Ο φόρος εισοδήματος είναι 13% των μισθών. Ο μισθός του Ivan Kuzmich είναι 14.500 ρούβλια. Πόσα ρούβλια θα λάβει μετά την αφαίρεση του φόρου εισοδήματος;

(Αρ. 2587) Η χονδρική τιμή του σχολικού βιβλίου είναι 170 ρούβλια. Η λιανική τιμή είναι 20% υψηλότερη από την τιμή χονδρικής. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός τέτοιων εγχειριδίων που μπορούν να αγοραστούν σε λιανική τιμή 7.000 ρούβλια;

Σε αυτό το άρθρο θα αρχίσουμε να εξερευνούμε ρητοί αριθμοί. Εδώ θα δώσουμε ορισμούς ρητών αριθμών, θα δώσουμε τις απαραίτητες εξηγήσεις και θα δώσουμε παραδείγματα ρητών αριθμών. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε στο πώς να προσδιορίσουμε εάν ένας δεδομένος αριθμός είναι ρητός ή όχι.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ορισμός και παραδείγματα ρητών αριθμών

Σε αυτή την ενότητα θα δώσουμε αρκετούς ορισμούς των ρητών αριθμών. Παρά τις διαφορές στη διατύπωση, όλοι αυτοί οι ορισμοί έχουν την ίδια σημασία: οι ορθολογικοί αριθμοί ενώνουν ακέραιους και κλάσματα, όπως οι ακέραιοι ενώνουν φυσικούς αριθμούς, τα αντίθετά τους και τον αριθμό μηδέν. Με άλλα λόγια, οι ορθολογικοί αριθμοί γενικεύουν ακέραιους και κλασματικούς αριθμούς.

Ας ξεκινήσουμε με ορισμοί ρητών αριθμών, το οποίο γίνεται αντιληπτό πιο φυσικά.

Από τον δηλωμένο ορισμό προκύπτει ότι ένας ρητός αριθμός είναι:

• Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός n. Πράγματι, μπορείτε να αναπαραστήσετε οποιονδήποτε φυσικό αριθμό ως συνηθισμένο κλάσμα, για παράδειγμα, 3=3/1.
• Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός, ιδίως ο αριθμός μηδέν. Στην πραγματικότητα, οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφτεί είτε ως θετικό κλάσμα, είτε ως αρνητικό κλάσμα ή ως μηδέν. Για παράδειγμα, 26=26/1, .
• Οποιοδήποτε κοινό κλάσμα (θετικό ή αρνητικό). Αυτό επιβεβαιώνεται άμεσα από τον ορισμό των ρητών αριθμών.
• Οποιοσδήποτε μικτός αριθμός. Πράγματι, μπορείτε πάντα να αναπαραστήσετε έναν μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα. Για παράδειγμα, και.
• Οποιοδήποτε πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα ή άπειρο περιοδικό κλάσμα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα υποδεικνυόμενα δεκαδικά κλάσματα μετατρέπονται σε συνηθισμένα κλάσματα. Για παράδειγμα, και 0,(3)=1/3.

Είναι επίσης σαφές ότι οποιοδήποτε άπειρο μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα ΔΕΝ είναι ρητός αριθμός, αφού δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως κοινό κλάσμα.

Τώρα μπορούμε εύκολα να δώσουμε παραδείγματα ρητών αριθμών. Οι αριθμοί 4, 903, 100,321 είναι ρητικοί αριθμοί επειδή είναι φυσικοί αριθμοί. Οι ακέραιοι αριθμοί 58, −72, 0, −833,333,333 είναι επίσης παραδείγματα ρητών αριθμών. Τα κοινά κλάσματα 4/9, 99/3 είναι επίσης παραδείγματα ρητών αριθμών. Οι ορθολογικοί αριθμοί είναι επίσης αριθμοί.

Από τα παραπάνω παραδείγματα είναι σαφές ότι υπάρχουν τόσο θετικοί όσο και αρνητικοί ρητικοί αριθμοί και ο ρητός αριθμός μηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός.

Ο παραπάνω ορισμός των ρητών αριθμών μπορεί να διατυπωθεί με πιο συνοπτική μορφή.

Ορισμός.

Ρητοί αριθμοίείναι αριθμοί που μπορούν να γραφτούν ως κλάσμα z/n, όπου z είναι ακέραιος και n φυσικός αριθμός.

Ας αποδείξουμε ότι αυτός ο ορισμός των ρητών αριθμών είναι ισοδύναμος με τον προηγούμενο ορισμό. Γνωρίζουμε ότι μπορούμε να θεωρήσουμε την ευθεία ενός κλάσματος ως σημάδι διαίρεσης, τότε από τις ιδιότητες της διαίρεσης ακεραίων και τους κανόνες για τη διαίρεση ακεραίων προκύπτει η εγκυρότητα των παρακάτω ισοτήτων και. Έτσι, αυτή είναι η απόδειξη.

Ας δώσουμε παραδείγματα ρητών αριθμών με βάση αυτόν τον ορισμό. Οι αριθμοί −5, 0, 3 και είναι ορθολογικοί αριθμοί, αφού μπορούν να γραφτούν ως κλάσματα με ακέραιο αριθμητή και φυσικό παρονομαστή της μορφής και, αντίστοιχα.

Ο ορισμός των ρητών αριθμών μπορεί να δοθεί στην ακόλουθη διατύπωση.

Ορισμός.

Ρητοί αριθμοίείναι αριθμοί που μπορούν να γραφτούν ως πεπερασμένο ή άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Αυτός ο ορισμός είναι επίσης ισοδύναμος με τον πρώτο ορισμό, αφού κάθε συνηθισμένο κλάσμα αντιστοιχεί σε ένα πεπερασμένο ή περιοδικό δεκαδικό κλάσμα και αντίστροφα, και κάθε ακέραιος μπορεί να συσχετιστεί με ένα δεκαδικό κλάσμα με μηδενικά μετά την υποδιαστολή.

Για παράδειγμα, οι αριθμοί 5, 0, −13, είναι παραδείγματα ορθολογικών αριθμών επειδή μπορούν να γραφτούν ως τα ακόλουθα δεκαδικά κλάσματα 5.0, 0.0, −13.0, 0.8 και −7, (18).

Ας ολοκληρώσουμε τη θεωρία αυτού του σημείου με τις ακόλουθες δηλώσεις:

• ακέραιοι και κλάσματα (θετικά και αρνητικά) αποτελούν το σύνολο των ρητών αριθμών.
• κάθε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμητή και έναν φυσικό παρονομαστή, και κάθε τέτοιο κλάσμα αντιπροσωπεύει έναν ορισμένο ρητό αριθμό.
• Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως πεπερασμένο ή άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα και κάθε τέτοιο κλάσμα αντιπροσωπεύει έναν ρητό αριθμό.

Είναι λογικός αυτός ο αριθμός;

Στην προηγούμενη παράγραφο, ανακαλύψαμε ότι κάθε φυσικός αριθμός, οποιοσδήποτε ακέραιος, οποιοδήποτε συνηθισμένο κλάσμα, οποιοσδήποτε μεικτός αριθμός, κάθε πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα, καθώς και κάθε περιοδικό δεκαδικό κλάσμα είναι ρητός αριθμός. Αυτή η γνώση μας επιτρέπει να «αναγνωρίζουμε» ρητούς αριθμούς από ένα σύνολο γραπτών αριθμών.

Τι γίνεται όμως αν ο αριθμός δίνεται με τη μορφή μερικών , ή ως , κ.λπ., πώς να απαντήσετε στην ερώτηση εάν αυτός ο αριθμός είναι λογικός; Σε πολλές περιπτώσεις είναι πολύ δύσκολο να απαντηθεί. Ας υποδείξουμε μερικές κατευθύνσεις σκέψης.

Αν ένας αριθμός δίνεται ως αριθμητική παράσταση που περιέχει μόνο ρητούς αριθμούς και αριθμητικά πρόσημα (+, −, · και:), τότε η τιμή αυτής της παράστασης είναι ένας ρητός αριθμός. Αυτό προκύπτει από το πώς ορίζονται οι πράξεις με ρητούς αριθμούς. Για παράδειγμα, αφού εκτελέσουμε όλες τις πράξεις στην παράσταση, παίρνουμε τον ρητό αριθμό 18.

Μερικές φορές, αφού απλοποιηθούν οι εκφράσεις και γίνουν πιο σύνθετες, καθίσταται δυνατό να προσδιοριστεί εάν ένας δεδομένος αριθμός είναι ρητός.

Ας πάμε παρακάτω. Ο αριθμός 2 είναι ρητός αριθμός, αφού κάθε φυσικός αριθμός είναι ρητός. Τι γίνεται με τον αριθμό; Είναι λογικό; Αποδεικνύεται ότι όχι, δεν είναι ρητός αριθμός, είναι ένας παράλογος αριθμός (η απόδειξη αυτού του γεγονότος με αντίφαση δίνεται στο εγχειρίδιο άλγεβρας για την τάξη 8, που παρατίθεται παρακάτω στη λίστα αναφορών). Έχει επίσης αποδειχθεί ότι η τετραγωνική ρίζα ενός φυσικού αριθμού είναι ρητός αριθμός μόνο στις περιπτώσεις που κάτω από τη ρίζα υπάρχει ένας αριθμός που είναι το τέλειο τετράγωνο κάποιου φυσικού αριθμού. Για παράδειγμα, και είναι ρητικοί αριθμοί, αφού 81 = 9 2 και 1 024 = 32 2, και οι αριθμοί και δεν είναι ορθολογικοί, αφού οι αριθμοί 7 και 199 δεν είναι τέλεια τετράγωνα φυσικών αριθμών.

Είναι λογικός ο αριθμός ή όχι; Σε αυτή την περίπτωση, είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι, επομένως, αυτός ο αριθμός είναι λογικός. Είναι λογικός ο αριθμός; Έχει αποδειχθεί ότι η kη ρίζα ενός ακέραιου αριθμού είναι ρητός αριθμός μόνο εάν ο αριθμός κάτω από το ριζικό πρόσημο είναι η kth δύναμη κάποιου ακέραιου αριθμού. Επομένως, δεν είναι ρητός αριθμός, αφού δεν υπάρχει ακέραιος του οποίου η πέμπτη δύναμη είναι 121.

Η μέθοδος με αντίφαση σάς επιτρέπει να αποδείξετε ότι οι λογάριθμοι ορισμένων αριθμών δεν είναι ρητικοί αριθμοί για κάποιο λόγο. Για παράδειγμα, ας αποδείξουμε ότι - δεν είναι ρητός αριθμός.

Ας υποθέσουμε το αντίθετο, δηλαδή ας πούμε ότι είναι ρητός αριθμός και μπορεί να γραφτεί ως ένα συνηθισμένο κλάσμα m/n. Στη συνέχεια δίνουμε τις παρακάτω ισότητες: . Η τελευταία ισότητα είναι αδύνατη, αφού στην αριστερή πλευρά υπάρχει περιττός αριθμός 5 n, και στη δεξιά πλευρά είναι ο ζυγός αριθμός 2 m. Επομένως, η υπόθεσή μας είναι εσφαλμένη, επομένως δεν είναι ρητός αριθμός.

Συμπερασματικά, αξίζει να σημειωθεί ιδιαίτερα ότι κατά τον προσδιορισμό του ορθολογισμού ή του παραλογισμού των αριθμών, θα πρέπει να αποφεύγεται η εξαγωγή ξαφνικών συμπερασμάτων.

Για παράδειγμα, δεν πρέπει να ισχυριστείτε αμέσως ότι το γινόμενο των παράλογων αριθμών π και e είναι ένας παράλογος αριθμός· αυτό είναι «φαινομενικά προφανές», αλλά δεν έχει αποδειχθεί. Αυτό εγείρει το ερώτημα: "Γιατί ένα γινόμενο θα ήταν ρητός αριθμός;" Και γιατί όχι, γιατί μπορείτε να δώσετε ένα παράδειγμα παράλογων αριθμών, το γινόμενο των οποίων δίνει έναν ρητό αριθμό: .

Είναι επίσης άγνωστο αν οι αριθμοί και πολλοί άλλοι αριθμοί είναι ρητικοί ή όχι. Για παράδειγμα, υπάρχουν παράλογοι αριθμοί των οποίων η άρρητη ισχύς είναι ένας ρητός αριθμός. Για παράδειγμα, παρουσιάζουμε έναν βαθμό της μορφής , η βάση αυτού του βαθμού και ο εκθέτης δεν είναι ρητικοί αριθμοί, αλλά , και το 3 είναι ρητός αριθμός.

Βιβλιογραφία.

• Μαθηματικά.ΣΤ τάξη: εκπαιδευτικά. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Ν. Ya. Vilenkin και άλλοι]. - 22η έκδ., αναθ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.

Το θέμα των ρητών αριθμών είναι αρκετά εκτεταμένο. Μπορείς να μιλάς για αυτό ατελείωτα και να γράφεις ολόκληρα έργα, κάθε φορά να εκπλήσσεσαι από νέα χαρακτηριστικά.

Για να αποφύγουμε λάθη στο μέλλον, σε αυτό το μάθημα θα εμβαθύνουμε λίγο στο θέμα των ορθολογικών αριθμών, θα συγκεντρώσουμε τις απαραίτητες πληροφορίες από αυτό και θα προχωρήσουμε.

Περιεχόμενο μαθήματος

Τι είναι ρητός αριθμός

Ο ορθός αριθμός είναι ένας αριθμός που μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα, όπου ένα-αυτός είναι ο αριθμητής του κλάσματος, σιείναι ο παρονομαστής του κλάσματος. Εξάλλου σιδεν πρέπει να είναι μηδέν γιατί δεν επιτρέπεται η διαίρεση με το μηδέν.

Οι ορθολογικοί αριθμοί περιλαμβάνουν τις ακόλουθες κατηγορίες αριθμών:

• ακέραιοι αριθμοί (για παράδειγμα −2, −1, 0 1, 2, κ.λπ.)

• δεκαδικά κλάσματα (για παράδειγμα 0,2, κ.λπ.)

• άπειρα περιοδικά κλάσματα (για παράδειγμα 0, (3), κ.λπ.)

Κάθε αριθμός αυτής της κατηγορίας μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα.

Παράδειγμα 1.Ο ακέραιος αριθμός 2 μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 2 δεν ισχύει μόνο για ακέραιους, αλλά και για ορθολογικούς.

Παράδειγμα 2.Ένας μεικτός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Αυτό το κλάσμα προκύπτει με τη μετατροπή ενός μικτού αριθμού σε ακατάλληλο κλάσμα

Αυτό σημαίνει ότι ένας μεικτός αριθμός είναι ρητός αριθμός.

Παράδειγμα 3.Το δεκαδικό 0,2 μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Αυτό το κλάσμα προέκυψε μετατρέποντας το δεκαδικό κλάσμα 0,2 σε κοινό κλάσμα. Εάν δυσκολεύεστε σε αυτό το σημείο, επαναλάβετε το θέμα.

Εφόσον το δεκαδικό κλάσμα 0,2 μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα, σημαίνει ότι ανήκει και σε ρητούς αριθμούς.

Παράδειγμα 4.Το άπειρο περιοδικό κλάσμα 0, (3) μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Αυτό το κλάσμα προκύπτει μετατρέποντας ένα καθαρό περιοδικό κλάσμα σε ένα συνηθισμένο κλάσμα. Εάν δυσκολεύεστε σε αυτό το σημείο, επαναλάβετε το θέμα.

Εφόσον το άπειρο περιοδικό κλάσμα 0, (3) μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα, σημαίνει ότι ανήκει και σε ρητούς αριθμούς.

Στο μέλλον, όλο και περισσότερο θα καλούμε όλους τους αριθμούς που μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα με μία φράση - ρητοί αριθμοί.

Ρητοί αριθμοί στη γραμμή συντεταγμένων

Κοιτάξαμε τη γραμμή συντεταγμένων όταν μελετήσαμε τους αρνητικούς αριθμούς. Θυμηθείτε ότι αυτή είναι μια ευθεία γραμμή στην οποία βρίσκονται πολλά σημεία. Ως εξής:

Αυτό το σχήμα δείχνει ένα μικρό θραύσμα της γραμμής συντεταγμένων από -5 έως 5.

Η σήμανση ακεραίων της μορφής 2, 0, −3 στη γραμμή συντεταγμένων δεν είναι δύσκολη.

Τα πράγματα είναι πολύ πιο ενδιαφέροντα με άλλους αριθμούς: με συνηθισμένα κλάσματα, μικτούς αριθμούς, δεκαδικούς κ.λπ. Αυτοί οι αριθμοί βρίσκονται μεταξύ των ακεραίων και υπάρχουν άπειροι από αυτούς τους αριθμούς.

Για παράδειγμα, ας σημειώσουμε έναν ρητό αριθμό στη γραμμή συντεταγμένων. Αυτός ο αριθμός βρίσκεται ακριβώς μεταξύ μηδέν και ενός

Ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε γιατί το κλάσμα βρίσκεται ξαφνικά μεταξύ μηδέν και ενός.

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, μεταξύ των ακεραίων βρίσκονται άλλοι αριθμοί - συνηθισμένα κλάσματα, δεκαδικοί, μικτοί αριθμοί κ.λπ. Για παράδειγμα, αν αυξήσετε ένα τμήμα της γραμμής συντεταγμένων από 0 σε 1, μπορείτε να δείτε την παρακάτω εικόνα

Μπορεί να φανεί ότι μεταξύ των ακέραιων αριθμών 0 και 1 υπάρχουν άλλοι ορθολογικοί αριθμοί, οι οποίοι είναι γνωστά δεκαδικά κλάσματα. Εδώ μπορείτε να δείτε το κλάσμα μας, το οποίο βρίσκεται στην ίδια θέση με το δεκαδικό κλάσμα 0,5. Μια προσεκτική εξέταση αυτού του σχήματος δίνει μια απάντηση στο ερώτημα γιατί το κλάσμα βρίσκεται ακριβώς εκεί.

Κλάσμα σημαίνει διαίρεση 1 με 2. Και αν διαιρέσουμε το 1 με το 2, θα έχουμε 0,5

Το δεκαδικό κλάσμα 0,5 μπορεί να μεταμφιεστεί ως άλλα κλάσματα. Από τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, γνωρίζουμε ότι αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε η τιμή του κλάσματος δεν αλλάζει.

Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με οποιονδήποτε αριθμό, για παράδειγμα με τον αριθμό 4, τότε παίρνουμε ένα νέο κλάσμα και αυτό το κλάσμα είναι επίσης ίσο με 0,5

Αυτό σημαίνει ότι στη γραμμή συντεταγμένων το κλάσμα μπορεί να τοποθετηθεί στο ίδιο σημείο όπου βρισκόταν το κλάσμα

Παράδειγμα 2.Ας προσπαθήσουμε να σημειώσουμε έναν ρητό αριθμό στη συντεταγμένη. Αυτός ο αριθμός βρίσκεται ακριβώς μεταξύ των αριθμών 1 και 2

Η τιμή του κλάσματος είναι 1,5

Αν αυξήσουμε το τμήμα της γραμμής συντεταγμένων από 1 σε 2, θα δούμε την παρακάτω εικόνα:

Μπορεί να φανεί ότι μεταξύ των ακέραιων αριθμών 1 και 2 υπάρχουν άλλοι ορθολογικοί αριθμοί, οι οποίοι είναι γνωστά δεκαδικά κλάσματα. Εδώ μπορείτε να δείτε το κλάσμα μας, το οποίο βρίσκεται στην ίδια θέση με το δεκαδικό κλάσμα 1,5.

Μεγεθύναμε ορισμένα τμήματα στη γραμμή συντεταγμένων για να δούμε τους υπόλοιπους αριθμούς που βρίσκονται σε αυτό το τμήμα. Ως αποτέλεσμα, ανακαλύψαμε δεκαδικά κλάσματα που είχαν ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή.

Αλλά αυτοί δεν ήταν οι μόνοι αριθμοί που βρίσκονταν σε αυτά τα τμήματα. Υπάρχουν άπειροι αριθμοί που βρίσκονται στη γραμμή συντεταγμένων.

Δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι ανάμεσα σε δεκαδικά κλάσματα που έχουν ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή, υπάρχουν άλλα δεκαδικά κλάσματα που έχουν δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή. Με άλλα λόγια, εκατοστά ενός τμήματος.

Για παράδειγμα, ας προσπαθήσουμε να δούμε τους αριθμούς που βρίσκονται ανάμεσα στα δεκαδικά κλάσματα 0,1 και 0,2

Ενα άλλο παράδειγμα. Τα δεκαδικά κλάσματα που έχουν δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή και βρίσκονται μεταξύ του μηδενός και του ρητού αριθμού 0,1 μοιάζουν με αυτό:

Παράδειγμα 3.Ας σημειώσουμε έναν ρητό αριθμό στη γραμμή συντεταγμένων. Αυτός ο ρητός αριθμός θα είναι πολύ κοντά στο μηδέν

Η τιμή του κλάσματος είναι 0,02

Αν αυξήσουμε το τμήμα από το 0 στο 0,1, θα δούμε ακριβώς πού βρίσκεται ο ρητός αριθμός

Φαίνεται ότι ο ρητός μας αριθμός βρίσκεται στην ίδια θέση με το δεκαδικό κλάσμα 0,02.

Παράδειγμα 4.Ας σημειώσουμε τον ρητό αριθμό 0 στη γραμμή συντεταγμένων, (3)

Ο ρητός αριθμός 0, (3) είναι ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα. Το κλασματικό του μέρος δεν τελειώνει ποτέ, είναι άπειρο

Και επειδή ο αριθμός 0,(3) έχει ένα άπειρο κλασματικό μέρος, αυτό σημαίνει ότι δεν θα μπορέσουμε να βρούμε την ακριβή θέση στη γραμμή συντεταγμένων όπου βρίσκεται αυτός ο αριθμός. Μπορούμε μόνο να υποδείξουμε αυτό το μέρος κατά προσέγγιση.

Ο ορθολογικός αριθμός 0,33333... θα βρίσκεται πολύ κοντά στο κοινό δεκαδικό κλάσμα 0,3

Αυτό το σχήμα δεν δείχνει την ακριβή θέση του αριθμού 0,(3). Αυτό είναι απλώς μια απεικόνιση για να δείξει πόσο κοντά μπορεί να είναι το περιοδικό κλάσμα 0.(3) στο κανονικό δεκαδικό κλάσμα 0.3.

Παράδειγμα 5.Ας σημειώσουμε έναν ρητό αριθμό στη γραμμή συντεταγμένων. Αυτός ο λογικός αριθμός θα βρίσκεται στη μέση μεταξύ των αριθμών 2 και 3

Αυτό είναι 2 (δύο ακέραιοι) και (ένα δευτερόλεπτο). Ένα κλάσμα ονομάζεται επίσης "μισό". Επομένως, σημειώσαμε δύο ολόκληρα τμήματα και ένα άλλο μισό τμήμα στη γραμμή συντεταγμένων.

Αν μετατρέψουμε έναν μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα, παίρνουμε ένα συνηθισμένο κλάσμα. Αυτό το κλάσμα στη γραμμή συντεταγμένων θα βρίσκεται στην ίδια θέση με το κλάσμα

Η τιμή του κλάσματος είναι 2,5

Αν αυξήσουμε το τμήμα της γραμμής συντεταγμένων από 2 σε 3, θα δούμε την παρακάτω εικόνα:

Φαίνεται ότι ο ρητός μας αριθμός βρίσκεται στην ίδια θέση με το δεκαδικό κλάσμα 2,5

Μείον πριν από ρητό αριθμό

Στο προηγούμενο μάθημα, που ονομάστηκε, μάθαμε πώς να διαιρούμε ακέραιους αριθμούς. Τόσο οι θετικοί όσο και οι αρνητικοί αριθμοί θα μπορούσαν να λειτουργήσουν ως μέρισμα και διαιρέτης.

Ας εξετάσουμε την απλούστερη έκφραση

(−6) : 2 = −3

Σε αυτήν την έκφραση, το μέρισμα (−6) είναι αρνητικός αριθμός.

Τώρα σκεφτείτε τη δεύτερη έκφραση

6: (−2) = −3

Εδώ ο διαιρέτης (−2) είναι ήδη αρνητικός αριθμός. Αλλά και στις δύο περιπτώσεις παίρνουμε την ίδια απάντηση -3.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι οποιαδήποτε διαίρεση μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα, μπορούμε επίσης να γράψουμε τα παραδείγματα που αναφέρθηκαν παραπάνω ως κλάσμα:

Και επειδή και στις δύο περιπτώσεις η τιμή του κλάσματος είναι η ίδια, το μείον είτε στον αριθμητή είτε στον παρονομαστή μπορεί να γίνει κοινό τοποθετώντας το μπροστά από το κλάσμα

Επομένως, μπορείτε να βάλετε ένα σύμβολο ίσου μεταξύ των εκφράσεων και και επειδή φέρουν το ίδιο νόημα

Στο μέλλον, όταν εργαζόμαστε με κλάσματα, αν συναντήσουμε μείον στον αριθμητή ή στον παρονομαστή, θα κάνουμε αυτό το μείον κοινό τοποθετώντας το μπροστά από το κλάσμα.

Αντίθετοι ρητοί αριθμοί

Όπως ένας ακέραιος, ένας ρητός αριθμός έχει τον αντίθετο αριθμό του.

Για παράδειγμα, για έναν ρητό αριθμό, ο αντίθετος αριθμός είναι . Βρίσκεται στη γραμμή συντεταγμένων συμμετρικά προς τη θέση σε σχέση με την αρχή των συντεταγμένων. Με άλλα λόγια, και οι δύο αυτοί αριθμοί έχουν ίση απόσταση από την προέλευση

Μετατροπή μικτών αριθμών σε ακατάλληλα κλάσματα

Γνωρίζουμε ότι για να μετατρέψουμε έναν μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρο το μέρος με τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους και να το προσθέσουμε στον αριθμητή του κλασματικού μέρους. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο αριθμητής του νέου κλάσματος, αλλά ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος.

Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε έναν μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα

Πολλαπλασιάζουμε ολόκληρο το μέρος με τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους και προσθέτουμε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους:

Ας υπολογίσουμε αυτή την έκφραση:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Ο αριθμός 5 που προκύπτει θα είναι ο αριθμητής του νέου κλάσματος, αλλά ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος:

Αυτή η διαδικασία είναι γραμμένη πλήρως ως εξής:

Για να επιστρέψετε τον αρχικό μικτό αριθμό, αρκεί να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος στο κλάσμα

Αλλά αυτή η μέθοδος μετατροπής ενός μικτού αριθμού σε ένα ακατάλληλο κλάσμα ισχύει μόνο εάν ο μεικτός αριθμός είναι θετικός. Αυτή η μέθοδος δεν θα λειτουργήσει για αρνητικό αριθμό.

Ας εξετάσουμε το κλάσμα. Ας επιλέξουμε ολόκληρο το τμήμα αυτού του κλάσματος. Παίρνουμε

Για να επιστρέψετε το αρχικό κλάσμα, πρέπει να μετατρέψετε τον μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα. Αλλά αν χρησιμοποιήσουμε τον παλιό κανόνα, δηλαδή, πολλαπλασιάσουμε ολόκληρο το μέρος με τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους και προσθέσουμε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους στον αριθμό που προκύπτει, έχουμε την ακόλουθη αντίφαση:

Λάβαμε ένα κλάσμα, αλλά θα έπρεπε να είχαμε λάβει ένα κλάσμα.

Συμπεραίνουμε ότι ο μικτός αριθμός μετατράπηκε λανθασμένα σε ακατάλληλο κλάσμα:

Για να μετατρέψετε σωστά έναν αρνητικό μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε ολόκληρο το μέρος με τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους και από τον αριθμό που προκύπτει αφαιρώαριθμητής του κλασματικού μέρους. Σε αυτή την περίπτωση, όλα θα μπουν στη θέση τους

Ένας αρνητικός μεικτός αριθμός είναι το αντίθετο ενός μικτού αριθμού. Εάν ένας θετικός μεικτός αριθμός βρίσκεται στη δεξιά πλευρά και μοιάζει με αυτό

Αντίγραφο

2 ΚΥΡΙΟ ΚΥΜΑ 2013 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΟΥΡΑΛΗ ΣΙΒΗΡΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ: κλάσματα ποσοστά ορθολογικοί αριθμοί Θεωρία: Σύνολο ρητών αριθμών 1 1 ~ HOD ge N Z Βασική ιδιότητα 0 0. Η αναλογία είναι η ισότητα δύο αναλογιών. Ιδιότητα: συνέπειες Σχέδιο ευθέως αναλογικής εξάρτησης. Βασικές ιδιότητες 1. Παραγγελία: 0; 0 ; Λειτουργία προσθήκης: ; HOK 3. Πράξη πολλαπλασιασμού και διαίρεσης: 4. Μεταβατικότητα σχέσης τάξης: 5. Αντιμεταθετικότητα: 6. Συνειρμικότητα: 7. Κατανομή: 8. Παρουσία μηδέν: Παρουσία αντίθετων αριθμών: Παρουσία ενός: Παρουσία αντίστροφων αριθμών: R R 12. Σύνδεση της σχέσης παραγγελίας με την πράξη πρόσθεσης. Ο ίδιος ρητός αριθμός μπορεί να προστεθεί στην αριστερή και δεξιά πλευρά μιας ορθολογικής ανισότητας. 2 Β1

3 13. Σύνδεση της σχέσης τάξης με την πράξη πολλαπλασιασμού. Η αριστερή και η δεξιά πλευρά μιας ορθολογικής ανισότητας μπορούν να πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο θετικό ρητό αριθμό.Αξίωμα του Αρχιμήδη. Όποιος κι αν είναι ο ρητός αριθμός, μπορείτε να πάρετε τόσες πολλές μονάδες ώστε το άθροισμά τους να υπερβαίνει το α. N k Οι ορθολογικές ανισότητες του ίδιου πρόσημου μπορούν να προστεθούν κάθε φορά. Οποιοδήποτε ορθολογικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί στο ισοδύναμο δεκαδικό του κλάσμα διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή. 1 υπόλοιπο μπορεί να αποδειχθεί ίσο με μηδέν και το πηλίκο θα εκφραστεί ως πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα, για παράδειγμα 3:4 = μηδέν στο υπόλοιπο δεν θα λειτουργήσει ποτέ αφού τα υπόλοιπα θα επαναλαμβάνονται ατελείωτα και το πηλίκο θα εκφράζεται ως ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα 2:3=0666 =06 7:13= = :15=21333 = ? Ενδιαφέρον. Το εκατοστό μέρος ενός αριθμού ονομάζεται ποσοστό του. Τρεις τύποι προβλημάτων που αφορούν ποσοστά A 100% 1. Εύρεση του ποσοστού ενός δεδομένου αριθμού A p% x. x p% 100% Για να βρείτε το p% του αριθμού "A" πρέπει να βρείτε το 1% του "A" A: 100% και να πολλαπλασιάσετε με το p%. 2. Εύρεση αριθμού από άλλο αριθμό και της τιμής του ως ποσοστό του επιθυμητού αριθμού. x 100% 100% x. p% p% Για να βρείτε έναν αριθμό για μια δεδομένη τιμή "a" του p% πρέπει να βρείτε το 1% του επιθυμητού αριθμού διαιρώντας τη δεδομένη τιμή "a" με p% και πολλαπλασιάζοντας το αποτέλεσμα με 100% A 100% 3 Εύρεση του ποσοστού των αριθμών. 100% x% x% A Πρέπει να βρείτε την αναλογία του αριθμού "a" προς τον αριθμό "A" και να πολλαπλασιάσετε με το 100%. 3

4 CENTER Επιλογή 1;8. Ένα δισκίο του φαρμάκου ζυγίζει 70 mg και περιέχει 4% της δραστικής ουσίας. Ο γιατρός συνταγογραφεί 105 mg της δραστικής ουσίας για ένα παιδί ηλικίας κάτω των 6 μηνών ανά 5 μήνες και βάρους 8 κιλών την ημέρα; Επιλογή 2. Ένα δισκίο του φαρμάκου ζυγίζει 20 mg και περιέχει 5% της δραστικής ουσίας. Συνταγογραφεί ο γιατρός 04 mg της δραστικής ουσίας για παιδί κάτω των 6 μηνών για κάθε παιδί ηλικίας τριών μηνών και βάρους 5 κιλών την ημέρα; Επιλογή 3. Ένα δισκίο του φαρμάκου ζυγίζει 20 mg και περιέχει 5% της δραστικής ουσίας. Συνταγογραφεί ο γιατρός 1 mg της δραστικής ουσίας για παιδί ηλικίας κάτω των 6 μηνών και βάρους 7 κιλών την ημέρα; Επιλογή 4;5. Ένα δισκίο του φαρμάκου ζυγίζει 20 mg και περιέχει 9% της δραστικής ουσίας. Συνταγογραφεί ο γιατρός 135 mg της δραστικής ουσίας για παιδί ηλικίας κάτω των 6 μηνών και βάρους 8 κιλών για κάθε παιδί ηλικίας τεσσάρων μηνών και βάρους 8 κιλών την ημέρα; Επιλογή 6. Ένα δισκίο του φαρμάκου ζυγίζει 30 mg και περιέχει 5% της δραστικής ουσίας. Συνταγογραφεί ο γιατρός 075 mg της δραστικής ουσίας για παιδί ηλικίας κάτω των 6 μηνών ανά 5 μήνες και βάρους 8 κιλών την ημέρα; Επιλογή 7. Ένα δισκίο του φαρμάκου ζυγίζει 40 mg και περιέχει 5% της δραστικής ουσίας. Ο γιατρός συνταγογραφεί 125 mg της δραστικής ουσίας για ένα παιδί ηλικίας κάτω των 6 μηνών και βάρους 8 κιλών την ημέρα για κάθε παιδί ηλικίας τριών μηνών και βάρους 8 κιλών; Σημειώστε ότι οι οκτώ επιλογές αποτελούνται από έξι προβλήματα με διαφορετικά αριθμητικά δεδομένα αλλά το ίδιο περιεχόμενο. Οι απαραίτητες πληροφορίες για τον υπολογισμό καταγράφηκαν στον πίνακα: Βάρος ενός Ποσοστιαίου περιεχομένου Επιλογές Συνταγή mg Βάρος του παιδιού kg δισκία mg δραστικής ουσίας % 1 και Λύση της επιλογής 1. Ιδέα: Το ποσοστό της δραστικής ουσίας σε ένα δισκίο είναι γνωστό, πράγμα που σημαίνει ότι μπορείτε να βρείτε την αντίστοιχη ποσότητα της ουσίας σε mg. Γνωρίζοντας το βάρος του παιδιού και τη δοσολογία της δραστικής ουσίας ανά 1 kg βάρους, μπορείτε να βρείτε την ημερήσια δόση της δραστικής ουσίας. Τότε ο αριθμός των δισκίων είναι το πηλίκο του ημερήσιου κανόνα της δραστικής ουσίας διαιρεμένο με την ποσότητα της δραστικής ουσίας σε ένα δισκίο. Δράσεις: 1. Προσδιορίστε την ποσότητα της δραστικής ουσίας σε ένα δισκίο. Ας κάνουμε μια αναλογία: πάρτε το βάρος ενός δισκίου 70 mg ως 100% και το 4% αυτού του βάρους θα είναι x mg της ποσότητας της δραστικής ουσίας σε ένα δισκίο. Ας γράψουμε αυτή την αναλογία σχηματικά. Από εδώ βρίσκουμε τον άγνωστο όρο της αναλογίας. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε x 4% τους γνωστούς όρους μιας διαγωνίου και να διαιρέσετε με τον γνωστό όρο της άλλης διαγωνίου: 70 4% x 28 mg. 100% 4

5 2. Προσδιορίστε την ποσότητα της δραστικής ουσίας που συνταγογραφεί ο γιατρός σύμφωνα με τη συνταγή, λαμβάνοντας υπόψη το βάρος του παιδιού. Η δόση της ουσίας πρέπει να πολλαπλασιάζεται με το βάρος του παιδιού: mg. Αυτό σημαίνει ότι το παιδί χρειάζεται να λαμβάνει 84 mg της δραστικής ουσίας την ημέρα Προσδιορίστε τον αριθμό των δισκίων που περιέχουν 84 mg της δραστικής ουσίας. 3 καρτέλα. 28 Απάντηση 3. Άλλες επιλογές λύνονται παρόμοια. ΣΤΟ URAL Επιλογή 1;5. Στο διαμέρισμα που μένει η Αναστασία έχει τοποθετηθεί μετρητής κρύου νερού. Την 1η Σεπτεμβρίου ο μετρητής έδειξε κατανάλωση 122 κυβικών μέτρων νερού και την 1η Οκτωβρίου 142 κυβικά μέτρα. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει η Αναστασία για κρύο νερό τον Σεπτέμβριο εάν η τιμή 1 κυβικού μέτρου κρύου νερού είναι 9 ρούβλια 90 καπίκια; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 2. Στο διαμέρισμα όπου ζει ο Maxim, είναι εγκατεστημένος μετρητής κρύου νερού. Την 1η Φεβρουαρίου ο μετρητής έδειξε κατανάλωση 129 κυβικών μέτρων νερού και την 1η Μαρτίου 140 κυβικά μέτρα. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει η Maxim για κρύο νερό τον Φεβρουάριο, εάν η τιμή του 1 κυβικού μέτρου κρύου νερού είναι 10 ρούβλια, 60 καπίκια; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 3. Στο διαμέρισμα όπου ζει ο Alexey, έχει εγκατασταθεί ένας μετρητής κρύου νερού. Την 1η Ιουνίου ο μετρητής έδειξε κατανάλωση 151 κυβικών μέτρων νερού και την 1η Ιουλίου 165 κυβικά μέτρα. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει ο Alexey για κρύο νερό τον Μάρτιο εάν η τιμή 1 κυβικού μέτρου κρύου νερού είναι 20 ρούβλια, 80 καπίκια; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 4. Στο διαμέρισμα όπου ζει η Asya, έχει εγκατασταθεί μετρητής ζεστού νερού. Την 1η Μαΐου ο μετρητής έδειξε κατανάλωση 84 κυβικών μέτρων νερού και την 1η Ιουνίου 965 κυβικά μέτρα. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει η Αναστασία για ζεστό νερό τον Ιανουάριο αν η τιμή του 1 κυβικού μέτρου ζεστού νερού είναι 72 ρούβλια 60 καπίκια; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 6;8. Στο διαμέρισμα που μένει η Anfisa υπάρχει εγκατεστημένος μετρητής ζεστού νερού. Την 1η Σεπτεμβρίου ο μετρητής έδειξε κατανάλωση 239 κυβικών μέτρων νερού και την 1η Οκτωβρίου 349 κυβικά μέτρα. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει η Anfisa για ζεστό νερό τον Σεπτέμβριο εάν η τιμή του 1 κυβικού μέτρου ζεστού νερού είναι 78 ρούβλια, 60 καπίκια; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 7. Στο διαμέρισμα όπου μένει η Alla, έχει εγκατασταθεί μετρητής ζεστού νερού. Την 1η Ιουλίου ο μετρητής έδειξε κατανάλωση 772 κυβικών μέτρων νερού και την 1η Αυγούστου 797 κυβικά μέτρα. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει η Alla για ζεστό νερό τον Ιούλιο εάν η τιμή του 1 κυβικού μέτρου ζεστού νερού είναι 144 ρούβλια, 80 καπίκια; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Η περιοχή URAL έλυσε το πρόβλημα της πληρωμής για την κατανάλωση νερού χρησιμοποιώντας έναν μετρητή. Τα αριθμητικά δεδομένα για τον υπολογισμό των επιλογών εισήχθησαν στον πίνακα: Βάρη Ενδείξεις μετρητή στην αρχή Ενδείξεις μετρητή στην αρχή Τιμή 1 κυβικό μέτρο πριν από τον ημερολογιακό μήνα κυβικό μέτρο του επόμενου ημερολογιακού μήνα κυβικό μέτρο 1 και ρούβλι 90 καπίκια ρούβλι 60 καπίκια ρούβλι 80 καπίκια ρούβλι 60 καπίκια ρούβλι 60 καπίκια ρούβλια και ρούβλια 60 καπίκια ρούβλι 80 καπίκια Λύση στην επιλογή 1. Ιδέα: Οι ενδείξεις του μετρητή είναι γνωστές στην αρχή του ημερολογιακού μήνα κυβικά μέτρα και στην αρχή του επόμενου ημερολογιακού μήνα κυβικά μέτρα. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να μάθετε τη μηνιαία κατανάλωση νερού που πρέπει να πληρώσετε. Γνωρίζοντας τον αριθμό των κυβικών μέτρων νερού που καταναλώνεται και την τιμή ενός κυβικού μέτρου νερού, μπορείτε να βρείτε το ποσό που πρέπει να πληρώσετε για αυτό το νερό. 5

6 Ενέργειες: Προσδιορίστε την κατανάλωση νερού για το μήνα Προσδιορίστε το ποσό που θα καταβληθεί για το καταναλωμένο νερό για το μήνα p Απάντηση 198. Οι υπόλοιπες επιλογές επιλύονται με τον ίδιο τρόπο. ΠΡΟΣ ΣΙΒΗΡΙΑ Επιλογή 1. 1 κιλοβατώρα ηλεκτρικής ενέργειας κοστίζει 1 ρούβλι 40 καπίκια. Ο μετρητής ηλεκτρικής ενέργειας έδειξε κιλοβατώρες την 1η Ιουνίου και έδειξε κιλοβατώρες την 1η Ιουλίου. Πόσα πρέπει να πληρώσετε για ρεύμα για τον Ιούνιο; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 2. 1 κιλοβατώρα ηλεκτρικής ενέργειας κοστίζει 1 ρούβλι 20 καπίκια. Ο μετρητής ρεύματος την 1η Νοεμβρίου έδειξε 669 κιλοβατώρες και την 1η Δεκεμβρίου 846 κιλοβατώρες. Πόσο πρέπει να πληρώσω για ρεύμα για τον Νοέμβριο; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 3. 1 κιλοβατώρα ηλεκτρικής ενέργειας κοστίζει 2 ρούβλια 40 καπίκια. Ο μετρητής ρεύματος έδειξε κιλοβατώρες την 1η Οκτωβρίου και κιλοβατώρες την 1η Νοεμβρίου. Πόσο πρέπει να πληρώσω για ρεύμα τον Οκτώβριο; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 4;5. 1 κιλοβατώρα ηλεκτρικής ενέργειας κοστίζει 2 ρούβλια 50 καπίκια. Ο μετρητής ρεύματος την 1η Ιανουαρίου έδειξε κιλοβατώρες και την 1η Φεβρουαρίου έδειξε κιλοβατώρες. Πόσο πρέπει να πληρώσω για ρεύμα τον Ιανουάριο; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 6. 1 κιλοβατώρα ηλεκτρικής ενέργειας κοστίζει 1 ρούβλι 30 καπίκια. Ο μετρητής ηλεκτρικής ενέργειας έδειξε κιλοβατώρες την 1η Σεπτεμβρίου και έδειξε κιλοβατώρες την 1η Οκτωβρίου. Πόσο πρέπει να πληρώσω για ρεύμα για τον Σεπτέμβριο; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 7;8. 1 κιλοβατώρα ηλεκτρικής ενέργειας κοστίζει 1 ρούβλι 70 καπίκια. Την 1η Απριλίου ο μετρητής ρεύματος έδειχνε κιλοβατώρες και την 1η Μαΐου έδειξε κιλοβατώρες. Πόσο πρέπει να πληρώσω για ρεύμα για τον Απρίλιο; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Η περιοχή της Σιβηρίας έλυσε το πρόβλημα της πληρωμής για την κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας ανά μέτρο. Τα αριθμητικά δεδομένα για τον υπολογισμό σύμφωνα με τις επιλογές καταχωρήθηκαν στον πίνακα: Επιλογές Ενδείξεις μετρητή στην αρχή του ημερολογιακού μήνα kWh Ενδείξεις μετρητή στην αρχή του επόμενου ημερολογιακού μήνα kWh Κόστος 1 κιλοβατώρα ρούβλι 40 καπίκια ρούβλι 20 καπίκια ρούβλι 40 καπίκια 4 και ρούβλι 50 καπίκια ρούβλι 30 7 καπίκια και 70 καπίκια ρούβλι Λύση στην επιλογή 1. Ιδέα: Οι ενδείξεις του μετρητή στην αρχή του ημερολογιακού μήνα κιλοβατώρας και στην αρχή του επόμενου ημερολογιακού μήνα κιλοβατώρας είναι γνωστές. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να μάθετε τη μηνιαία κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας που πρέπει να πληρώσετε. Γνωρίζοντας τον αριθμό των κιλοβατώρων ηλεκτρικής ενέργειας που καταναλώνεται και την τιμή της μίας κιλοβατώρας, μπορείτε να βρείτε το ποσό που πρέπει να καταβληθεί για αυτήν την ηλεκτρική ενέργεια. Ενέργειες: Προσδιορισμός κατανάλωσης ηλεκτρικής ενέργειας για το μήνα Προσδιορίστε το ποσό που θα πληρώσετε για την καταναλωμένη ηλεκτρική ενέργεια για το μήνα. 6

7 p Απάντηση Οι υπόλοιπες επιλογές λύνονται με παρόμοιο τρόπο. ΠΡΟΣ ΑΝΑΤΟΛΗ Επιλογή 1;5;8. Στο διαμέρισμα που μένει η Αικατερίνα έχει τοποθετηθεί μετρητής κρύου νερού. Την 1η Σεπτεμβρίου ο μετρητής έδειξε κατανάλωση 189 κυβικών μέτρων νερού και την 1η Οκτωβρίου 204 κυβικά μέτρα. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει η Ekaterina για κρύο νερό τον Σεπτέμβριο εάν η τιμή 1 κυβικού μέτρου κρύου νερού είναι 16 ρούβλια 90 καπίκια; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 2. Στο διαμέρισμα όπου ζει ο Valery, είναι εγκατεστημένος μετρητής κρύου νερού. Την 1η Μαρτίου ο μετρητής έδειξε κατανάλωση 182 κυβικών μέτρων νερού και την 1η Απριλίου 192 κυβικά μέτρα. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει η Valery για κρύο νερό τον Μάρτιο, εάν η τιμή 1 κυβικού μέτρου κρύου νερού είναι 23 ρούβλια. 10 καπίκια; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 3. Στο διαμέρισμα όπου μένει η Μαρίνα, έχει τοποθετηθεί μετρητής κρύου νερού. Την 1η Ιουλίου ο μετρητής έδειξε κατανάλωση 120 κυβικών μέτρων νερού και την 1η Αυγούστου 131 κυβικά μέτρα. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει η Μαρίνα για κρύο νερό τον Ιούλιο εάν η τιμή 1 κυβικού μέτρου κρύου νερού είναι 20 ρούβλια 60 καπίκια; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 4. Στο διαμέρισμα όπου ζει ο Egor, έχει εγκατασταθεί μετρητής ζεστού νερού. Την 1η Νοεμβρίου ο μετρητής έδειξε κατανάλωση 879 κυβικών μέτρων νερού και την 1η Δεκεμβρίου 969 κυβικά μέτρα. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει ο Yegor για ζεστό νερό τον Νοέμβριο εάν η τιμή του 1 κυβικού μέτρου ζεστού νερού είναι 108 ρούβλια. 20 καπίκια; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 6. Στο διαμέρισμα όπου ζει ο Μιχαήλ, έχει εγκατασταθεί μετρητής ζεστού νερού. Την 1η Μαρτίου ο μετρητής έδειξε κατανάλωση 708 κυβικών μέτρων νερού και την 1η Απριλίου 828 κυβικά μέτρα. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει ο Μιχαήλ για ζεστό νερό τον Μάρτιο αν η τιμή του 1 κυβικού μέτρου ζεστού νερού είναι 72 ρούβλια, 20 καπίκια; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Επιλογή 7. Στο διαμέρισμα όπου μένει η Αναστασία, έχει τοποθετηθεί μετρητής ζεστού νερού. Την 1η Ιανουαρίου ο μετρητής έδειξε κατανάλωση 894 κυβικών μέτρων νερού και την 1η Φεβρουαρίου 919 κυβικά μέτρα. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει η Αναστασία για ζεστό νερό τον Ιανουάριο αν η τιμή του 1 κυβικού μέτρου ζεστού νερού είναι 103 ρούβλια 60 καπίκια; Δώστε την απάντησή σας σε ρούβλια. Τα καθήκοντα της περιοχής VOSTOK συνέπεσαν με τα καθήκοντα της περιοχής URAL με διαφορά στα αριθμητικά δεδομένα. Επιλογές Ενδείξεις μετρητή στην αρχή ενός ημερολογιακού μήνα, κυβικά μέτρα Ενδείξεις μετρητών στην αρχή του επόμενου ημερολογιακού μήνα, κυβικά μέτρα Τιμή 1 κυβικό μέτρο 1 και 5 και ρούβλι 90 καπίκια ρούβλι 10 καπίκια ρούβλι 60 καπίκια ρούβλι 20 καπίκια ρούβλι 20 καπίκια ρούβλια 60 καπίκια Επομένως, η ιδέα της λύσης και οι ενέργειες θα είναι παρόμοιες με αυτές που συζητήθηκαν προηγουμένως για την περιοχή URAL. ΣΕ

Ενότητα Πράξεις με κλάσματα Ενότητα Μετατροπή δεκαδικού κλάσματος σε συνηθισμένο κλάσμα και αντίστροφα Ενότητα Ποσοστά (ποσοστό αριθμού, ποσοστό αριθμών, ποσοστιαία μεταβολή) Ενότητα Καταθέσεις, απλά και σύνθετα

Δοκιμή με θέμα «GCD and NOC» Επώνυμο, Όνομα. Οι φυσικοί αριθμοί ονομάζονται σχετικά πρώτοι εάν: α) έχουν περισσότερους από δύο διαιρέτες. β) το gcd τους είναι ίσο. γ) έχουν έναν διαιρέτη.. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών είναι ο α

Ερωτήσεις για το τεστ γνώσεων στα μαθηματικά. 5-6 τάξη. 1. Ορισμός φυσικών, ακέραιων, ρητών αριθμών. 2. Δοκιμές διαιρετότητας με το 10, με το 5, με το 2. 3. Δοκιμές διαιρετότητας με το 9, με το 3. 4. Βασική ιδιότητα

Θέμα. Ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού. Αριθμητικές πράξεις σε συνηθισμένα κλάσματα. Πρόσθεση. Άθροισμα κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή είναι ένα κλάσμα που έχει τον ίδιο παρονομαστή και ο αριθμητής είναι ίσος με το άθροισμα

4 Ερωτήσεις επανεξέτασης I. Φυσικοί αριθμοί. Φυσικές σειρές.. Αριθμοί και αριθμοί. Σύστημα δεκαδικών αριθμών. 3. Βαθμός και τάξεις. Αναπαράσταση ενός αριθμού ως άθροισμα ψηφιακών όρων. 4. Σύγκριση φυσικών

Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Εισαγωγή Nikita Sarukhanov 7ης τάξης Άλγεβρα προέκυψε σε σχέση με την επίλυση διαφόρων προβλημάτων χρησιμοποιώντας εξισώσεις. Συνήθως, τα προβλήματα απαιτούν την εύρεση ενός ή περισσότερων

1. Εύρεση ποσοστού αριθμού Βοήθεια B1 Ποσοστό 1% είναι το εκατοστό του κάτι, δηλαδή 1% = 0,01 =. Αντίστοιχα, 2% = 0,02 =, 5% = 0,05 =, 10% = 0,10 = 0,1 = =. Ας βρούμε, για παράδειγμα, το 25%

Μαθηματικά ΣΤ τάξης Θέμα. Διαιρετότητα αριθμών. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Ο διαιρέτης ενός φυσικού αριθμού α είναι ένας φυσικός αριθμός με τον οποίο διαιρείται ο α χωρίς υπόλοιπο. Για παράδειγμα, ; 2; 5; Το 0 είναι διαιρέτες του αριθμού 0. Ο αριθμός 3 είναι διαιρέτης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 4 ΑΛΓΕΒΡΑ... 5 Αριθμοί, ρίζες και δυνάμεις... 5 Βασικά στοιχεία τριγωνομετρίας... 20 Λογαρίθμοι... 0 Μετατροπή παραστάσεων... 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ... 57 Εξισώσεις... 57 Ανισότητες ... 91

House of Teachers of Ural Federal District XI International Olympiad in Basic Sciences Δεύτερο στάδιο. Major League. Επιστημονική υπεύθυνη του θεματικού έργου: Elena Lvovna Grivkova, ανώτερη καθηγήτρια μαθηματικών

Απαντήσεις σε γραπτά μαθηματικών 6ης τάξης DPR >>> Απαντήσεις σε γραπτά μαθηματικών 6ης τάξης DPR Απαντήσεις σε γραπτά μαθηματικών 6ης τάξης DPR Πρόσθεση αφαίρεσης μικτή

Υλικό αναφοράς «Μαθηματικά Ε' τάξης» Φυσικοί αριθμοί Οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται στη μέτρηση ονομάζονται φυσικοί αριθμοί. Ονομάζονται με το λατινικό γράμμα Ν. Ο αριθμός 0 δεν είναι φυσικός αριθμός! Μέθοδος καταγραφής

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. ΟΛΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΑΣΚΑΛΟ! ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΕΠΑΝΩ ΤΟΥΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΑΓΩΝ BLIO IOTE Προσφέρουμε εκπαιδευτικό υλικό με θέμα «Δεκαδικά κλάσματα»: κάρτες για ατομικές

Αλγόριθμος για την εύρεση του εύρους των αποδεκτών τιμών ενός αλγεβρικού κλάσματος. Παράδειγμα. Βρείτε το εύρος των αποδεκτών τιμών: x 25 (x 5) (2x+4). 1. Γράψτε τον παρονομαστή του αλγεβρικού κλάσματος. 2. Εξισώστε τα γραπτά

Θέμα 3. «Σχέσεις. Αναλογίες. Ποσοστό» Ο λόγος δύο αριθμών είναι το πηλίκο της διαίρεσης του ενός από αυτούς με τον άλλο. Ο λόγος δείχνει πόσες φορές ο πρώτος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο ή ποιο μέρος του πρώτου αριθμού

Εύρεση αριθμών Παράδειγμα 1. Οι αριθμητές τριών κλασμάτων είναι ανάλογοι με τους αριθμούς 1, 2, 5 και οι παρονομαστές είναι ανάλογοι με τους αριθμούς 1, 3, 7. Ο μέσος όρος των αριθμητικών κλασμάτων είναι ίσος. Βρείτε αυτά τα κλάσματα. Λύση. Κατά συνθήκη

1ο τέταρτο Ποιοι αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί; Πώς να διαβάσετε έναν αριθμό; Πώς να γράψετε έναν αριθμό με ψηφία; Σχέσεις μεταξύ μονάδων Πώς να σχεδιάσετε μια ακτίνα συντεταγμένων και να σημειώσετε σημεία σε αυτήν την ακτίνα; Αριθμοί τύποι που

Αριθμός μαθήματος Θέμα μαθήματος ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ - ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Τάξη ΣΤ' Αριθμός ωρών Κεφάλαιο 1. Συνήθη κλάσματα. 1. Διαιρετότητα αριθμών 24 ώρες 1-3 Διαιρέτες και πολλαπλάσια 3 Διαιρέτης, πολλαπλάσιο, μικρότερο πολλαπλάσιο φυσικών

Θέμα. Ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού Περίληψη: Το σχολικό βιβλίο αναπτύχθηκε σύμφωνα με το Πρόγραμμα Εργασίας του κλάδου γενικής εκπαίδευσης ΟΔΠ.0 Μαθηματικά. Το φροντιστήριο περιέχει: θεωρητικό

"Συμφωνήθηκε" "Εγκρίθηκε" Αναπληρωτής Διευθυντής για τη διαχείριση νερού Διευθυντής του δημοτικού σχολείου 6η τάξη Ημερολογιακός-θεματικός σχεδιασμός στα μαθηματικά (μάθημα αλληλογραφίας) ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Σχολικό βιβλίο: Vilenkin N.Ya., Zhokhov

Κλασματικές-ορθολογικές εκφράσεις Οι εκφράσεις που περιέχουν διαίρεση με μια έκφραση με μεταβλητές ονομάζονται κλασματικές (κλασματικές-ορθολογικές) εκφράσεις. Οι κλασματικές εκφράσεις για ορισμένες τιμές των μεταβλητών δεν έχουν

Θέμα 1ο «Αριθμητικές εκφράσεις. Διαδικασία. Σύγκριση αριθμών». Μια αριθμητική έκφραση είναι ένα ή περισσότερα αριθμητικά μεγέθη (αριθμοί) που συνδέονται με σημάδια αριθμητικών πράξεων: πρόσθεση,

Ημερολογιακός και θεματικός προγραμματισμός μαθηματικά τάξη 6 (5 ώρες την εβδομάδα, σύνολο 170 ώρες) μάθημα Θέμα μαθήματος 1-3 Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές, πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών

Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές των αριθμητικών συνόλων της Άλγεβρας Ας δούμε τα βασικά αριθμητικά σύνολα. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N περιλαμβάνει αριθμούς της μορφής 1, 2, 3 κ.λπ., οι οποίοι χρησιμοποιούνται για την καταμέτρηση αντικειμένων. Ενα μάτσο

ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Συνήθη κλάσματα Ορισμός Τα κλάσματα της μορφής ονομάζονται συνηθισμένα κλάσματα Τακτικά κλάσματα, κανονικά και ακατάλληλα Ορισμός Κλάσμα, σωστό αν< при, где Z, N Z, N Z,

1 ΠΑΡΑΛΟΓΟΙ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παράλογοι αριθμοί Το απλούστερο παράδειγμα μέτρησης του μήκους της διαγωνίου ενός μοναδιαίου τετραγώνου δείχνει ότι η πράξη εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας ενός ρητού αριθμού

26. Ακέραια προβλήματα Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών (1 8): 1. 247 και 221. 2. 437 και 323. 3. 357 και 391. 4. 253 και 319. 5. 42 4 και 54 3. 6 78 4 και 65 2. 7. 77 3 και 242 2. 8. 51 3 και 119 2. 9. άθροισμα

Περιεχόμενα: 1. Πρόσθεση και αφαίρεση φυσικών αριθμών. Σύγκριση φυσικών αριθμών. 2. Αριθμητικές και αλφαβητικές εκφράσεις. Η εξίσωση. 3. Πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών. 4. Διαίρεση φυσικών αριθμών Τακτική

ΔΙΑΛΕΞΗ 6 ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΚΥΡΙΟ ΛΗΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΑΡΤΗΣΗ

Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Αναγωγή του κλάσματος σε νέο παρονομαστή: 1) Πολλαπλασιάστε (ή διαιρέστε) τον παρονομαστή του κλάσματος με τον αριθμό. 2) Πολλαπλασιάστε (ή διαιρέστε) τον αριθμητή του κλάσματος με τον ίδιο αριθμό.

I επιλογή 8Β τάξη, 4 Οκτωβρίου 007 1 Εισαγάγετε τις λέξεις που λείπουν: Ορισμός 1 Η αριθμητική τετραγωνική ρίζα του αριθμού της οποίας είναι ίση με a από τον αριθμό a (a 0) συμβολίζεται ως εξής: με την έκφραση Η ενέργεια της εύρεσης

Ερώτηση: Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί αριθμοί; Απάντηση Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση Τι είναι οι κλάσεις και οι τάξεις στη σημειογραφία των αριθμών; Πώς ονομάζονται οι αριθμοί κατά την πρόσθεση; Να διατυπώσετε ένα σύμφωνο

Για αλλοδαπούς φοιτητές του προπαρασκευαστικού τμήματος ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: Starovoitova Natalya Aleksandrovna Τμήμα Προπανεπιστημιακής Κατάρτισης και Επαγγελματικού Προσανατολισμού 1 2 3 8 4 Αριθμοί; ; ; ; 2 3 7 5 4 - συνηθισμένα κλάσματα.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ Πράξεις με φυσικούς αριθμούς και κοινά κλάσματα. Διαδικασία) Αν δεν υπάρχουν παρενθέσεις, τότε πρώτα εκτελούνται οι ενέργειες της ης δύναμης (ανύψωση σε φυσική ισχύ) και μετά η ου δύναμη (πολλαπλασιασμός

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μαθηματικά σύμβολα... 3 Σύγκριση αριθμών... 4 Πρόσθεση... 5 Σχέση μεταξύ των συστατικών της πρόσθεσης... 5 Μεταθετικός νόμος πρόσθεσης... 6 Συνδυαστικός νόμος πρόσθεσης... 6 Διαδικασία...

ΥΛΙΚΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ' ΤΑΞΗΣ (στο υλικό αναφοράς, οι υπερσύνδεσμοι σε πόρους του Διαδικτύου επισημαίνονται με μπλε χρώμα) ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ

Τυπική έκδοση «Μιγαδικοί αριθμοί Πολυώνυμα και ορθολογικά κλάσματα» Εργασία Δίνονται δύο μιγαδικοί αριθμοί και cos sn Βρείτε και γράψτε το αποτέλεσμα σε αλγεβρική μορφή γράψτε το αποτέλεσμα σε τριγωνομετρική μορφή

Κεφάλαιο ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ.. ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΤΡΙΔΗΜΙΟ... Βαβυλωνιακό πρόβλημα εύρεσης δύο αριθμών από το άθροισμα και το γινόμενο τους. Ένα από τα παλαιότερα προβλήματα στην άλγεβρα προτάθηκε στη Βαβυλώνα, όπου ήταν ευρέως διαδεδομένο

Θέμα 1. Κατεύθυνση μέτρησης Ανάλυση επίλυσης προβλημάτων ανά θέμα Κεφάλαιο 1 «Αρνητικοί αριθμοί» Οι εργασίες για αυτό το θέμα είναι πρακτικού χαρακτήρα, σημαντικές για την κατανόηση της χρήσης των σημείων «+» και, για την ανάπτυξη δεξιοτήτων

ΠΡΟΣΘΗΚΗ Η προσθήκη 1 σε έναν αριθμό σημαίνει να λάβουμε τον αριθμό που ακολουθεί τον δεδομένο: 4+1=5, 1+1=14, κ.λπ. Η πρόσθεση των αριθμών 5 σημαίνει προσθήκη ενός στο 5 τρεις φορές: 5+1+1+1=5+=8. ΑΦΑΙΡΕΣΤΕ Αφαιρέστε 1 από έναν αριθμό σημαίνει

2. Γενικοί γραμμικοί και Ευκλείδειοι χώροι Λένε ότι ένα σύνολο Χ είναι ένας γραμμικός χώρος πάνω από το πεδίο των πραγματικών αριθμών, ή απλά ένας πραγματικός γραμμικός χώρος, εάν υπάρχει κάποιο στοιχείο

ΔΙΑΛΕΞΗ Η έννοια μιας μήτρας και οι ιδιότητές της Ενέργειες σε πίνακες Η έννοια της μήτρας Ένας πίνακας τάξης (διάστασης) είναι ένας ορθογώνιος πίνακας αριθμών ή εκφράσεων γραμμάτων που περιέχει στήλες: () i σειρές

Αριθμητική - τάξη ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: Θέμα Πολλαπλασιασμός και διαίρεση δεκαδικών κλασμάτων),) 00,0 Θέμα Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές)) Θέμα Διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων))) και Αναλογίες θέματος) Θέμα

3 Αγαπητέ αναγνώστη! Στα χέρια σας είναι ένα σύγχρονο βιβλίο αναφοράς που θα σας υποστηρίξει όταν σπουδάζετε στις τάξεις 5-11, θα σας βοηθήσει να προετοιμαστείτε για εξετάσεις και θα σας δώσει την ευκαιρία να εισέλθετε εύκολα σε ένα πανεπιστήμιο. Στον κατάλογο

Μαθήματος Θέμα μαθήματος Σημείωση Διαιρετότητα αριθμών 16 ώρες 1 Διαιρετότητα φυσικών αριθμών 2 Διαιρέτες και πολλαπλάσια 3 Διαιρέτες αριθμών 4 Πολλαπλάσια 5 Τεστ διαιρετότητας με το 10 6 Δοκιμές διαιρετότητας με το 5, με το 2 7 Τεστ

Θέμα 1. Σύνολα. Αριθμητικά σύνολα N, Z, Q, R 1. Σύνολα. Λειτουργίες σε σετ. 2. Το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν. 3. Το σύνολο των ακεραίων Ζ. Διαιρετότητα ακεραίων. Σημάδια διαιρετότητας. 4. Ορθολογικό

Μόσχα: Εκδοτικός Οίκος AST: Astrel, 2016. 284, σελ. (Ακαδημία Δημοτικής Εκπαίδευσης). 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 Περιεχόμενα Αγαπητοί ενήλικες!... 6 Αριθμοί

Ιστοσελίδα στοιχειωδών μαθηματικών από τον Dmitry Gushchin wwwthetspru Gushchin D D ΥΛΙΚΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Ενιαία Κρατική Εξέταση στα Μαθηματικά ΕΡΓΑΣΙΕΣ Β7: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ Δοκιμασμένα στοιχεία και τύποι περιεχομένου

Περιεχόμενα Εξίσωση.......................................... Ολόκληρες εκφράσεις.. .... ................................. Εκφράσεις με δυνάμεις........... .... ............. 3 Μονωνύμιο.......................... .......... ....

V. V. Rasin ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Yekaterinburg 2005 Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση Ural State University που ονομάστηκε έτσι. A. M. Gorky V. V. Racine ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ekaterinburg 2005 UDC 517.13(075.3)

Εξισώσεις Στην άλγεβρα θεωρούνται δύο τύποι ισοτήτων: ταυτότητες και εξισώσεις. Ταυτότητα είναι μια ισότητα που ικανοποιείται για όλες τις έγκυρες) τιμές των γραμμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτήν. Για τις ταυτότητες, χρησιμοποιούνται σημάδια

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Συλλογή Για

ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ OGE Υλικό αναφοράς για μαθητές της 9ης τάξης Άλγεβρα Φυσικοί αριθμοί και πράξεις σε αυτούς Η έννοια του φυσικού αριθμού αναφέρεται στις απλούστερες, πρωταρχικές έννοιες των μαθηματικών και δεν ορίζεται

Ας εξετάσουμε την πρώτη μέθοδο επίλυσης SLE χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer για ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους: Η απάντηση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer: D, D1, D2, D3 είναι ορίζουσες Ορίζουσα του τρίτου

Συστήματα εξισώσεων Έστω δύο εξισώσεις με δύο αγνώστους f(x, y)=0 και g(x, y)=0, όπου f(x, y), g(x, y) είναι μερικές παραστάσεις με μεταβλητές x και y. Εάν το καθήκον είναι να βρεθούν όλες οι γενικές λύσεις στα δεδομένα

μάθημα μαθηματικών. Καθηγήτρια Demidova Elena Nikolaevna τέταρτο..διαιρετότητα ΑΡΙΘΜΩΝ Διαιρέτες και πολλαπλάσια. Σημάδια διαιρετότητας με το 0 κ.λπ. Δοκιμές διαιρετότητας με και με 9. Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί. Αποσύνθεση σε πρώτους

Μάθημα 6ης τάξης (Federal State Educational Standards LLC) Κύριος τύπος Περιεχόμενο (ενότητα, θέματα) εκπαιδευτικής δραστηριότητας Επανάληψη του μαθήματος των μαθηματικών της 5ης τάξης (ώρες) Αριθμός ωρών Υλικό σχολικού βιβλίου Διόρθωση Επανάληψη του μαθήματος των μαθηματικών.

Τάξη. Μια δύναμη με αυθαίρετο πραγματικό εκθέτη, τις ιδιότητές της. Συνάρτηση ισχύος, ιδιότητές της, γραφήματα.. Ανακαλέστε τις ιδιότητες μιας δύναμης με λογικό εκθέτη. α α α α για φυσικό χρόνο

Διάλεξη 2 Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. 1. Επίλυση συστημάτων 3 γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer. Ορισμός. Ένα σύστημα 3 γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύστημα της μορφής Σε αυτό το σύστημα, οι απαιτούμενες ποσότητες είναι

Μάθημα 16 Σχέσεις. Αναλογίες. Ποσοστά Το πηλίκο του 12: 6 = 2 είναι ο λόγος των αριθμών 12 και 6. Ο λόγος των αριθμών 12 και 6 είναι ίσος με τον αριθμό 2. ο αριθμός 2. Το πηλίκο του 2: = 2 είναι ο λόγος του αριθμοί 2 και. Ο λόγος των αριθμών είναι 2 και ίσος

Εργασία 1 Εξεταστική Ενιαία Πολιτεία -2015 (βασική) Εάν χρειάζεστε μόνο την απάντηση πρώτο παράδειγμα 2.65 - δεύτερο παράδειγμα 3.2 - τρίτο παράδειγμα -1.1 Αυτή είναι μια εργασία για πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα. Εδώ είναι μια μικρή θεωρία για όσους είναι λίγοι

Κεφάλαιο Ι. Στοιχεία γραμμικής άλγεβρας Γραμμική άλγεβρα είναι το τμήμα της άλγεβρας που μελετά γραμμικούς χώρους και υποχώρους, γραμμικούς τελεστές, γραμμικές, διγραμμικές και τετραγωνικές συναρτήσεις σε γραμμικούς χώρους.

Η ακολουθία προόδου είναι συνάρτηση ενός φυσικού ορίσματος.. Καθορισμός μιας ακολουθίας με έναν γενικό τύπο όρου: a n = f(n), n N, για παράδειγμα, a n = n + n + 4, a = 43, a = 47, a 3 = 3,. Αλληλουχία

Θέμα 1.4. Επίλυση συστημάτων δύο (τριών) γραμμικών εξισώσεων του τύπου του Cramer Gabriel Cramer (1704 1752) Ελβετός μαθηματικός. Αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται μόνο στην περίπτωση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, όπου ο αριθμός των μεταβλητών

Μαθηματικά Στ ́ τάξη ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ Αριθμητική Φυσικοί αριθμοί. Διαιρετότητα φυσικών αριθμών. Κριτήρια διαιρετότητας με 5, 9, 0. Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί. Παραγοντοποίηση ενός φυσικού αριθμού σε πρώτους παράγοντες.