Σας προσκαλούμε να δοκιμάσετε το πιο ευέλικτο

καλύτερος

στο Ιντερνετ. Μας

ηλεκτρονική αριθμομηχανή περιμέτρου έλλειψης

όχι μόνο θα σας βοηθήσει να βρείτε

περίμετρος έλλειψης

με διάφορους τρόπους

ανάλογα με τα γνωστά δεδομένα, αλλά και θα δείξει

αναλυτική λύση

. Επομένως αυτό

ηλεκτρονική αριθμομηχανή περιμέτρου έλλειψης

Είναι βολικό να το χρησιμοποιείτε όχι μόνο για γρήγορους υπολογισμούς, αλλά και για τον έλεγχο των υπολογισμών σας.

Υπολογιστής περιμέτρου Ellipse online

, που παρουσιάζεται στον ιστότοπό μας, είναι μια υποενότητα

διαδικτυακή αριθμομηχανή για την περίμετρο των γεωμετρικών σχημάτων

. Αυτός είναι ο λόγος που μπορείτε όχι μόνο

ορίστε την ακρίβεια υπολογισμού

, αλλά και ευχαριστώ

εύκολη πλοήγηση

μας

ηλεκτρονική αριθμομηχανή

, χωρίς επιπλέον προσπάθεια, προχωρήστε στον υπολογισμό

περίμετρος

οποιοδήποτε από τα ακόλουθα γεωμετρικά σχήματα: τρίγωνο, ορθογώνιο, τετράγωνο, παραλληλόγραμμο, ρόμβος, τραπεζοειδές, κύκλος, τομέας κύκλου, κανονικό πολύγωνο.

Μπορείτε επίσης να πάτε κυριολεκτικά στο

ηλεκτρονική αριθμομηχανή για την περιοχή των γεωμετρικών σχημάτων

και υπολογίστε

τετράγωνο

τρίγωνο

,

ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

,

τετράγωνο

,

παραλληλόγραμμο

,

ρόμβος

,

τραπεζοειδή

,

κύκλος

,

έλλειψη

,

τομείς του κύκλου

,

κανονικό πολύγωνο

επίσης με διάφορους τρόπους

και με

αναλυτική λύση

.

Ελλειψη

είναι μια κλειστή καμπύλη σε ένα επίπεδο που μπορεί να ληφθεί ως τομή ενός επιπέδου και ενός κυκλικού

κύλινδρος

, ή ως ορθογώνια προβολή

κύκλος

στο αεροπλάνο.

Κύκλος

είναι ειδική περίπτωση

έλλειψη

. Μαζί με

υπερβολή

Και

παραβολή

,

έλλειψη

είναι

κωνική τομή

Και

τετράγωνο

.

έλλειψη

τέμνεται από δύο παράλληλες ευθείες, τότε το τμήμα που συνδέει τα μέσα των τμημάτων που σχηματίζεται στην τομή των ευθειών και

έλλειψη

, θα περνά πάντα από μέσα

κέντρο της έλλειψης

. Αυτή η ιδιότητα καθιστά δυνατή, κατασκευάζοντας χρησιμοποιώντας πυξίδα και χάρακα, την απόκτηση

κέντρο έλλειψης

.

Evoluta

έλλειψη

Υπάρχει

αστεροειδής

, το οποίο τεντώνεται κατά μήκος του κοντού άξονα.

Χρησιμοποιώντας αυτό

Μπορείτε να κάνετε

υπολογισμός περιμέτρου έλλειψης

με τους εξής τρόπους:

-

υπολογισμός της περιμέτρου μιας έλλειψης μέσω δύο ημιαξόνων

;

-

υπολογισμός της περιμέτρου μιας έλλειψης μέσω δύο αξόνων

.

Επίσης χρησιμοποιώντας

διαδικτυακή αριθμομηχανή περιμέτρου έλλειψης

Μπορείτε να εμφανίσετε όλες οι επιλογές που παρουσιάζονται στον ιστότοπο

υπολογισμός της περιμέτρου μιας έλλειψης

.

Θα σου αρέσει

ηλεκτρονική αριθμομηχανή περιμέτρου έλλειψης

ή όχι, αφήστε ακόμα σχόλια και προτάσεις. Είμαστε έτοιμοι να αναλύσουμε κάθε σχόλιο για το έργο

διαδικτυακή αριθμομηχανή περιμέτρου έλλειψης

και να το κάνουμε καλύτερο. Θα χαρούμε να δούμε κάθε θετικό σχόλιο και ευγνωμοσύνη, καθώς αυτό δεν είναι παρά επιβεβαίωση ότι το έργο και οι προσπάθειές μας δικαιώνονται και

Γραμμές δεύτερης τάξης.
Έλειψη και η κανονική της εξίσωση. Κύκλος

Μετά από ενδελεχή μελέτη ευθείες γραμμές στο επίπεδοΣυνεχίζουμε να μελετάμε τη γεωμετρία του δισδιάστατου κόσμου. Τα στοιχήματα διπλασιάζονται και σας προσκαλώ να επισκεφτείτε μια γραφική γκαλερί ελλείψεων, υπερβολών, παραβολών, που είναι τυπικοί εκπρόσωποι γραμμές δεύτερης τάξης. Η εκδρομή έχει ήδη ξεκινήσει και πρώτα μια σύντομη ενημέρωση για όλη την έκθεση σε διάφορους ορόφους του μουσείου:

Η έννοια της αλγεβρικής γραμμής και η σειρά της

Μια γραμμή σε ένα επίπεδο ονομάζεται αλγεβρικός, εάν μέσα συγγενικό σύστημα συντεταγμένωνη εξίσωσή του έχει τη μορφή , όπου είναι ένα πολυώνυμο που αποτελείται από όρους της μορφής ( – πραγματικός αριθμός, – μη αρνητικοί ακέραιοι).

Όπως μπορείτε να δείτε, η εξίσωση μιας αλγεβρικής γραμμής δεν περιέχει ημίτονο, συνημίτονο, λογάριθμους και άλλα συναρτησιακά beau monde. Μόνο τα Χ και Υ είναι μέσα μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοίβαθμούς.

Γραμμική παραγγελίαίση με τη μέγιστη τιμή των όρων που περιλαμβάνονται σε αυτό.

Σύμφωνα με το αντίστοιχο θεώρημα, η έννοια μιας αλγεβρικής γραμμής, καθώς και η σειρά της, δεν εξαρτώνται από την επιλογή συγγενικό σύστημα συντεταγμένων, επομένως, για ευκολία ύπαρξης, υποθέτουμε ότι όλοι οι επόμενοι υπολογισμοί πραγματοποιούνται στο Καρτεσιανές συντεταγμένες.

Γενική εξίσωσηη δεύτερη γραμμή παραγγελίας έχει τη μορφή , όπου – αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί (Συνηθίζεται να το γράφουμε με συντελεστή δύο), και οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα.

Αν , τότε η εξίσωση απλοποιείται σε , και αν οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα, τότε αυτό ακριβώς είναι γενική εξίσωση μιας «επίπεδης» γραμμής, που αντιπροσωπεύει γραμμή πρώτης παραγγελίας.

Πολλοί έχουν καταλάβει την έννοια των νέων όρων, αλλά, παρόλα αυτά, για να κατακτήσουμε 100% το υλικό, βάζουμε τα δάχτυλά μας στην υποδοχή. Για να προσδιορίσετε τη σειρά γραμμής, πρέπει να κάνετε επανάληψη όλους τους όρουςτις εξισώσεις του και βρείτε για καθένα από αυτά άθροισμα βαθμώνεισερχόμενες μεταβλητές.

Για παράδειγμα:

ο όρος περιέχει "x" στην 1η δύναμη.
ο όρος περιέχει "Y" στην 1η δύναμη.
Δεν υπάρχουν μεταβλητές στον όρο, επομένως το άθροισμα των δυνάμεών τους είναι μηδέν.

Τώρα ας καταλάβουμε γιατί η εξίσωση ορίζει τη γραμμή δεύτεροςΣειρά:

ο όρος περιέχει "x" στη 2η δύναμη.
το άθροισμα έχει το άθροισμα των δυνάμεων των μεταβλητών: 1 + 1 = 2;
ο όρος περιέχει "Y" στη 2η δύναμη.
όλοι οι άλλοι όροι - πιο λιγοβαθμούς.

Μέγιστη τιμή: 2

Εάν προσθέσουμε επιπλέον, ας πούμε, στην εξίσωσή μας, τότε θα καθορίσει ήδη γραμμή τρίτης τάξης. Είναι προφανές ότι η γενική μορφή της εξίσωσης γραμμής 3ης τάξης περιέχει ένα «πλήρες σύνολο» όρων, το άθροισμα των δυνάμεων των μεταβλητών στις οποίες είναι ίσο με τρεις:
, όπου οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα.

Σε περίπτωση που προσθέσετε έναν ή περισσότερους κατάλληλους όρους που περιέχουν , τότε θα μιλήσουμε ήδη Γραμμές 4ης παραγγελίας, και τα λοιπά.

Θα πρέπει να συναντήσουμε αλγεβρικές γραμμές της 3ης, 4ης και υψηλότερης τάξης περισσότερες από μία φορές, ιδίως όταν εξοικειωθούμε με πολικό σύστημα συντεταγμένων.

Ωστόσο, ας επιστρέψουμε στη γενική εξίσωση και ας θυμηθούμε τις πιο απλές σχολικές παραλλαγές της. Ως παραδείγματα, προκύπτει μια παραβολή, η εξίσωση της οποίας μπορεί εύκολα να αναχθεί σε μια γενική μορφή, και μια υπερβολή με μια ισοδύναμη εξίσωση. Ωστόσο, δεν είναι όλα τόσο ομαλά...

Ένα σημαντικό μειονέκτημα της γενικής εξίσωσης είναι ότι σχεδόν πάντα δεν είναι σαφές ποια γραμμή ορίζει. Ακόμη και στην πιο απλή περίπτωση, δεν θα συνειδητοποιήσετε αμέσως ότι πρόκειται για υπερβολή. Τέτοιες διατάξεις είναι καλές μόνο σε μια μεταμφίεση, επομένως ένα τυπικό πρόβλημα εξετάζεται στην πορεία της αναλυτικής γεωμετρίας φέρνοντας την εξίσωση γραμμής 2ης τάξης σε κανονική μορφή.

Ποια είναι η κανονική μορφή μιας εξίσωσης;

Αυτή είναι η γενικά αποδεκτή τυπική μορφή μιας εξίσωσης, όταν μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα γίνεται σαφές ποιο γεωμετρικό αντικείμενο ορίζει. Επιπλέον, η κανονική μορφή είναι πολύ βολική για την επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων. Έτσι, για παράδειγμα, σύμφωνα με την κανονική εξίσωση «επίπεδη» ευθεία, πρώτον, είναι αμέσως σαφές ότι πρόκειται για μια ευθεία γραμμή, και δεύτερον, το σημείο που ανήκει σε αυτήν και το διάνυσμα κατεύθυνσης είναι εύκολα ορατά.

Είναι προφανές ότι οποιαδήποτε γραμμή 1ης παραγγελίαςείναι μια ευθεία γραμμή. Στον δεύτερο όροφο, δεν μας περιμένει πλέον ο φύλακας, αλλά μια πολύ πιο διαφορετική παρέα από εννέα αγάλματα:

Ταξινόμηση γραμμών δεύτερης τάξης

Χρησιμοποιώντας ένα ειδικό σύνολο ενεργειών, οποιαδήποτε εξίσωση μιας γραμμής δεύτερης τάξης μειώνεται σε μία από τις ακόλουθες μορφές:

(και είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί)

1) – κανονική εξίσωση της έλλειψης.

2) – κανονική εξίσωση υπερβολής.

3) – κανονική εξίσωση παραβολής.

4) – φανταστικοέλλειψη;

5) - ένα ζεύγος τεμνόμενων γραμμών.

6) – ζεύγος φανταστικοτεμνόμενες γραμμές (με ένα μόνο έγκυρο σημείο τομής στην αρχή).

7) – ένα ζευγάρι παράλληλων γραμμών.

8) – ζεύγος φανταστικοπαράλληλες γραμμές;

9) – ένα ζευγάρι συμπίπτουσες γραμμές.

Ορισμένοι αναγνώστες μπορεί να έχουν την εντύπωση ότι η λίστα είναι ελλιπής. Για παράδειγμα, στο σημείο Νο. 7, η εξίσωση καθορίζει το ζεύγος απευθείας, παράλληλη προς τον άξονα, και τίθεται το ερώτημα: πού βρίσκεται η εξίσωση που καθορίζει τις ευθείες παράλληλες στον άξονα τεταγμένων; Απάντησέ το δεν θεωρείται κανονική. Οι ευθείες γραμμές αντιπροσωπεύουν την ίδια τυπική περίπτωση, περιστρέφεται κατά 90 μοίρες και η πρόσθετη καταχώριση στην ταξινόμηση είναι περιττή, καθώς δεν φέρνει τίποτα ουσιαστικά νέο.

Έτσι, υπάρχουν εννέα και μόνο εννέα διαφορετικοί τύποι γραμμών 2ης τάξης, αλλά στην πράξη είναι οι πιο συνηθισμένοι έλλειψη, υπερβολή και παραβολή.

Ας δούμε πρώτα την έλλειψη. Ως συνήθως, επικεντρώνομαι σε εκείνα τα σημεία που έχουν μεγάλη σημασία για την επίλυση προβλημάτων και αν χρειάζεστε μια λεπτομερή παραγωγή τύπων, αποδείξεις θεωρημάτων, ανατρέξτε, για παράδειγμα, στο εγχειρίδιο του Bazylev/Atanasyan ή του Aleksandrov.

Η έλλειψη και η κανονική της εξίσωση

Ορθογραφία... παρακαλώ μην επαναλάβετε τα λάθη ορισμένων χρηστών του Yandex που ενδιαφέρονται για το "πώς να φτιάξετε μια έλλειψη", "τη διαφορά μεταξύ μιας έλλειψης και ενός οβάλ" και "η εκκεντρότητα μιας έλλειψης".

Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης έχει τη μορφή , όπου είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, και . Θα διατυπώσω τον ίδιο τον ορισμό της έλλειψης αργότερα, αλλά προς το παρόν είναι ώρα να κάνουμε ένα διάλειμμα από το κατάστημα που μιλάει και να λύσουμε ένα κοινό πρόβλημα:

Πώς να φτιάξετε μια έλλειψη;

Ναι, απλά πάρτε το και απλώς ζωγραφίστε το. Η εργασία γίνεται συχνά και ένα σημαντικό μέρος των μαθητών δεν αντιμετωπίζει σωστά το σχέδιο:

Παράδειγμα 1

Κατασκευάστε την έλλειψη που δίνεται από την εξίσωση

Λύση: Αρχικά, ας φέρουμε την εξίσωση σε κανονική μορφή:

Γιατί να φέρεις; Ένα από τα πλεονεκτήματα της κανονικής εξίσωσης είναι ότι σας επιτρέπει να προσδιορίσετε αμέσως κορυφές της έλλειψης, τα οποία βρίσκονται σε σημεία. Είναι εύκολο να δούμε ότι οι συντεταγμένες καθενός από αυτά τα σημεία ικανοποιούν την εξίσωση.

Σε αυτήν την περίπτωση :


Ευθύγραμμο τμήμαπου ονομάζεται κύριος άξοναςέλλειψη;
ευθύγραμμο τμήμα – μικρός άξονας;
αριθμός που ονομάζεται ημι-κύριος άξοναςέλλειψη;
αριθμός – μικρός άξονας.
στο παράδειγμά μας: .

Για να φανταστείτε γρήγορα πώς μοιάζει μια συγκεκριμένη έλλειψη, απλά κοιτάξτε τις τιμές του «a» και του «be» της κανονικής της εξίσωσης.

Όλα είναι καλά, ομαλά και όμορφα, αλλά υπάρχει μια προειδοποίηση: έφτιαξα το σχέδιο χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα. Και μπορείτε να κάνετε το σχέδιο χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε εφαρμογή. Ωστόσο, στη σκληρή πραγματικότητα, υπάρχει ένα καρό χαρτί στο τραπέζι και τα ποντίκια χορεύουν κυκλικά στα χέρια μας. Άνθρωποι με καλλιτεχνικό ταλέντο, φυσικά, μπορούν να μαλώσουν, αλλά έχετε και ποντίκια (αν και μικρότερα). Δεν είναι μάταιο ότι η ανθρωπότητα επινόησε τον χάρακα, την πυξίδα, το μοιρογνωμόνιο και άλλες απλές συσκευές για το σχέδιο.

Για το λόγο αυτό, είναι απίθανο να μπορέσουμε να σχεδιάσουμε με ακρίβεια μια έλλειψη γνωρίζοντας μόνο τις κορυφές. Είναι εντάξει αν η έλλειψη είναι μικρή, για παράδειγμα, με ημιάξονες. Εναλλακτικά, μπορείτε να μειώσετε την κλίμακα και, κατά συνέπεια, τις διαστάσεις του σχεδίου. Αλλά σε γενικές γραμμές, είναι πολύ επιθυμητό να βρείτε επιπλέον σημεία.

Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για την κατασκευή μιας έλλειψης - γεωμετρική και αλγεβρική. Δεν μου αρέσει η κατασκευή με πυξίδα και χάρακα, επειδή ο αλγόριθμος δεν είναι ο συντομότερος και το σχέδιο είναι σημαντικά ακατάστατο. Σε περίπτωση έκτακτης ανάγκης, ανατρέξτε στο σχολικό βιβλίο, αλλά στην πραγματικότητα είναι πολύ πιο λογικό να χρησιμοποιείτε τα εργαλεία της άλγεβρας. Από την εξίσωση της έλλειψης στο προσχέδιο εκφράζουμε γρήγορα:

Στη συνέχεια, η εξίσωση αναλύεται σε δύο συναρτήσεις:
– ορίζει το άνω τόξο της έλλειψης.
– ορίζει το κάτω τόξο της έλλειψης.

Η έλλειψη που ορίζεται από την κανονική εξίσωση είναι συμμετρική ως προς τους άξονες συντεταγμένων, καθώς και ως προς την αρχή. Και αυτό είναι υπέροχο - η συμμετρία είναι σχεδόν πάντα προάγγελος δωρεάν. Προφανώς, αρκεί να ασχοληθούμε με το 1ο τέταρτο συντεταγμένων, οπότε χρειαζόμαστε τη συνάρτηση . Παρακαλεί να βρεθούν επιπλέον πόντους με τετμημένα . Ας πατήσουμε τρία μηνύματα SMS στην αριθμομηχανή:

Φυσικά, είναι επίσης ωραίο ότι εάν γίνει ένα σοβαρό λάθος στους υπολογισμούς, θα γίνει αμέσως σαφές κατά την κατασκευή.

Ας σημειώσουμε τα σημεία στο σχέδιο (κόκκινο), τα συμμετρικά σημεία στα υπόλοιπα τόξα (μπλε) και ας συνδέσουμε προσεκτικά ολόκληρη την εταιρεία με μια γραμμή:


Είναι καλύτερα να σχεδιάσετε το αρχικό σκίτσο πολύ λεπτά και μόνο τότε να ασκήσετε πίεση με ένα μολύβι. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι μια αρκετά αξιοπρεπής έλλειψη. Παρεμπιπτόντως, θα θέλατε να μάθετε ποια είναι αυτή η καμπύλη;

Ορισμός έλλειψης. Εστίες έλλειψης και εκκεντρικότητα έλλειψης

Η έλλειψη είναι μια ειδική περίπτωση οβάλ. Η λέξη «οβάλ» δεν πρέπει να κατανοηθεί με τη φιλισταϊκή έννοια («το παιδί ζωγράφισε ένα οβάλ» κ.λπ.). Αυτός είναι ένας μαθηματικός όρος που έχει λεπτομερή διατύπωση. Ο σκοπός αυτού του μαθήματος δεν είναι να εξετάσει τη θεωρία των ωοειδών και των διάφορων τύπων τους, στα οποία ουσιαστικά δεν δίνεται προσοχή στο τυπικό μάθημα της αναλυτικής γεωμετρίας. Και, σύμφωνα με τις πιο σύγχρονες ανάγκες, προχωράμε αμέσως στον αυστηρό ορισμό της έλλειψης:

Ελλειψηείναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου, το άθροισμα των αποστάσεων σε καθένα από τα οποία από δύο δεδομένα σημεία, που ονομάζονται κόλπαέλλειψη, είναι μια σταθερή ποσότητα, αριθμητικά ίση με το μήκος του κύριου άξονα αυτής της έλλειψης: .
Σε αυτήν την περίπτωση, οι αποστάσεις μεταξύ των εστιών είναι μικρότερες από αυτήν την τιμή: .

Τώρα όλα θα γίνουν πιο ξεκάθαρα:

Φανταστείτε ότι η μπλε κουκκίδα «ταξιδεύει» κατά μήκος μιας έλλειψης. Έτσι, ανεξάρτητα από το σημείο της έλλειψης, το άθροισμα των μηκών των τμημάτων θα είναι πάντα το ίδιο:

Ας βεβαιωθούμε ότι στο παράδειγμά μας η τιμή του αθροίσματος είναι πραγματικά ίση με οκτώ. Τοποθετήστε διανοητικά το σημείο "um" στη δεξιά κορυφή της έλλειψης, στη συνέχεια: , που είναι αυτό που έπρεπε να ελεγχθεί.

Μια άλλη μέθοδος σχεδίασής του βασίζεται στον ορισμό της έλλειψης. Τα ανώτερα μαθηματικά είναι μερικές φορές η αιτία της έντασης και του άγχους, οπότε ήρθε η ώρα να κάνετε μια άλλη συνεδρία αποφόρτισης. Πάρτε χαρτί Whatman ή ένα μεγάλο φύλλο χαρτονιού και καρφώστε το στο τραπέζι με δύο καρφιά. Αυτά θα είναι κόλπα. Δέστε μια πράσινη κλωστή στις κεφαλές των νυχιών που προεξέχουν και τραβήξτε την μέχρι το τέλος με ένα μολύβι. Το καλώδιο μολυβιού θα καταλήξει σε ένα ορισμένο σημείο που ανήκει στην έλλειψη. Τώρα ξεκινήστε να μετακινείτε το μολύβι κατά μήκος του φύλλου χαρτιού, κρατώντας το πράσινο νήμα σφιχτά τεντωμένο. Συνεχίστε τη διαδικασία μέχρι να επιστρέψετε στο σημείο εκκίνησης... υπέροχο... το σχέδιο μπορεί να ελεγχθεί από τον γιατρό και τον δάσκαλο =)

Πώς να βρείτε τις εστίες μιας έλλειψης;

Στο παραπάνω παράδειγμα, απεικόνισα «έτοιμα» εστιακά σημεία και τώρα θα μάθουμε πώς να τα εξάγουμε από τα βάθη της γεωμετρίας.

Εάν μια έλλειψη δίνεται από μια κανονική εξίσωση, τότε οι εστίες της έχουν συντεταγμένες , που είναι απόσταση από κάθε εστία έως το κέντρο συμμετρίας της έλλειψης.

Οι υπολογισμοί είναι απλούστεροι από απλοί:

! Οι συγκεκριμένες συντεταγμένες των εστιών δεν μπορούν να ταυτιστούν με την έννοια του «tse»!Επαναλαμβάνω ότι αυτό είναι ΑΠΟΣΤΑΣΗ από κάθε εστίαση στο κέντρο(που στη γενική περίπτωση δεν χρειάζεται να βρίσκεται ακριβώς στην προέλευση).
Και, επομένως, η απόσταση μεταξύ των εστιών επίσης δεν μπορεί να συνδεθεί με την κανονική θέση της έλλειψης. Με άλλα λόγια, η έλλειψη μπορεί να μετακινηθεί σε άλλο μέρος και η τιμή θα παραμείνει αμετάβλητη, ενώ οι εστίες θα αλλάξουν φυσικά τις συντεταγμένες τους. Λάβετε αυτό υπόψη σας καθώς εξερευνάτε περαιτέρω το θέμα.

Η εκκεντρικότητα της έλλειψης και η γεωμετρική της σημασία

Η εκκεντρότητα μιας έλλειψης είναι μια αναλογία που μπορεί να λάβει τιμές εντός του εύρους.

Στην περίπτωσή μας:

Ας μάθουμε πώς το σχήμα μιας έλλειψης εξαρτάται από την εκκεντρότητά της. Για αυτό διορθώστε την αριστερή και τη δεξιά κορυφήτης υπό εξέταση έλλειψης, δηλαδή, η τιμή του ημιμείζονος άξονα θα παραμείνει σταθερή. Τότε ο τύπος της εκκεντρικότητας θα έχει τη μορφή: .

Ας αρχίσουμε να φέρνουμε την τιμή της εκκεντρικότητας πιο κοντά στην ενότητα. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν . Τι σημαίνει? ...θυμηθείτε τα κόλπα . Αυτό σημαίνει ότι οι εστίες της έλλειψης θα «απομακρυνθούν» κατά μήκος του άξονα της τετμημένης προς τις πλευρικές κορυφές. Και, δεδομένου ότι "τα πράσινα τμήματα δεν είναι καουτσούκ", η έλλειψη θα αρχίσει αναπόφευκτα να ισοπεδώνεται, μετατρέποντας σε ένα λεπτότερο και λεπτότερο λουκάνικο αρδευόμενο σε έναν άξονα.

Ετσι, Όσο πιο κοντά είναι η τιμή της εκκεντρότητας της έλλειψης στη μονάδα, τόσο πιο επιμήκης είναι η έλλειψη.

Τώρα ας μοντελοποιήσουμε την αντίθετη διαδικασία: τις εστίες της έλλειψης περπάτησαν ο ένας προς τον άλλο πλησιάζοντας προς το κέντρο. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή του «ce» γίνεται όλο και μικρότερη και, κατά συνέπεια, η εκκεντρότητα τείνει στο μηδέν: .
Σε αυτή την περίπτωση, τα «πράσινα τμήματα» αντίθετα θα «συνωστιστούν» και θα αρχίσουν να «σπρώχνουν» τη γραμμή έλλειψης πάνω-κάτω.

Ετσι, Όσο πιο κοντά είναι η τιμή της εκκεντρότητας στο μηδέν, τόσο πιο παρόμοια είναι η έλλειψη... κοιτάξτε την περιοριστική περίπτωση όταν οι εστίες επανενώνονται με επιτυχία στην αρχή:

Ένας κύκλος είναι μια ειδική περίπτωση έλλειψης

Πράγματι, στην περίπτωση της ισότητας των ημιαξόνων, η κανονική εξίσωση της έλλειψης παίρνει τη μορφή , η οποία μετατρέπεται αντανακλαστικά στην εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στην αρχή της ακτίνας «a», πολύ γνωστή από το σχολείο.

Στην πράξη, ο συμβολισμός με το «ομιλούμενο» γράμμα «er» χρησιμοποιείται συχνότερα: . Η ακτίνα είναι το μήκος ενός τμήματος, με κάθε σημείο του κύκλου να αφαιρείται από το κέντρο κατά μια απόσταση ακτίνας.

Σημειώστε ότι ο ορισμός της έλλειψης παραμένει απόλυτα σωστός: οι εστίες συμπίπτουν και το άθροισμα των μηκών των συμπίπτοντων τμημάτων για κάθε σημείο του κύκλου είναι σταθερά. Αφού η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι , λοιπόν η εκκεντρότητα οποιουδήποτε κύκλου είναι μηδέν.

Η κατασκευή ενός κύκλου είναι εύκολη και γρήγορη, απλά χρησιμοποιήστε μια πυξίδα. Ωστόσο, μερικές φορές είναι απαραίτητο να μάθουμε τις συντεταγμένες ορισμένων από τα σημεία του, σε αυτήν την περίπτωση ακολουθούμε τον γνωστό τρόπο - φέρνουμε την εξίσωση στη χαρούμενη μορφή Matanov:

– λειτουργία του άνω ημικυκλίου.
– λειτουργία του κάτω ημικυκλίου.

Στη συνέχεια βρίσκουμε τις απαιτούμενες τιμές, διαφοροποιούν, ενσωματώνουνκαι κάνε άλλα καλά πράγματα.

Το άρθρο, φυσικά, είναι μόνο για αναφορά, αλλά πώς μπορείτε να ζήσετε στον κόσμο χωρίς αγάπη; Δημιουργική εργασία για ανεξάρτητη λύση

Παράδειγμα 2

Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν είναι γνωστή μια από τις εστίες και ο ημιμικρός άξονάς της (το κέντρο βρίσκεται στην αρχή). Βρείτε κορυφές, πρόσθετα σημεία και σχεδιάστε μια γραμμή στο σχέδιο. Υπολογίστε την εκκεντρικότητα.

Λύση και σχέδιο στο τέλος του μαθήματος

Ας προσθέσουμε μια ενέργεια:

Περιστροφή και παράλληλη μετάφραση μιας έλλειψης

Ας επιστρέψουμε στην κανονική εξίσωση της έλλειψης, δηλαδή, στην κατάσταση, το μυστήριο της οποίας βασανίζει τα αδιάκριτα μυαλά από την πρώτη αναφορά αυτής της καμπύλης. Έτσι κοιτάξαμε την έλλειψη , αλλά δεν είναι δυνατό στην πράξη να ικανοποιηθεί η εξίσωση ? Άλλωστε κι εδώ φαίνεται να είναι έλλειψη!

Αυτό το είδος εξίσωσης είναι σπάνιο, αλλά συναντάται. Και στην πραγματικότητα ορίζει μια έλλειψη. Ας απομυθοποιήσουμε:

Ως αποτέλεσμα της κατασκευής, λήφθηκε η μητρική μας έλλειψη, περιστρεφόμενη κατά 90 μοίρες. Αυτό είναι, - Αυτό μη κανονική καταχώρησηέλλειψη . Ρεκόρ!- η εξίσωση δεν ορίζει καμία άλλη έλλειψη, αφού δεν υπάρχουν σημεία (εστίες) στον άξονα που να ικανοποιούν τον ορισμό της έλλειψης.

Ωοειδήςείναι μια καμπύλη κλειστού κιβωτίου που έχει δύο άξονες συμμετρίας και αποτελείται από δύο κύκλους στήριξης ίδιας διαμέτρου, εσωτερικά συζευγμένους με τόξα (Εικ. 13.45). Ένα οβάλ χαρακτηρίζεται από τρεις παραμέτρους: μήκος, πλάτος και ακτίνα του οβάλ. Μερικές φορές προσδιορίζονται μόνο το μήκος και το πλάτος του οβάλ, χωρίς να ορίζονται οι ακτίνες του, τότε το πρόβλημα της κατασκευής ενός οβάλ έχει μεγάλη ποικιλία λύσεων (βλ. Εικ. 13.45, α... δ).

Χρησιμοποιούνται επίσης μέθοδοι για την κατασκευή ωοειδών που βασίζονται σε δύο πανομοιότυπους κύκλους αναφοράς που εφάπτονται (Εικ. 13.46, α), τέμνονται (Εικ. 13.46, β) ή δεν τέμνονται (Εικ. 13.46, γ). Στην περίπτωση αυτή, στην πραγματικότητα προσδιορίζονται δύο παράμετροι: το μήκος του οβάλ και μία από τις ακτίνες του. Αυτό το πρόβλημα έχει πολλές λύσεις. Είναι προφανές ότι R > OAδεν έχει άνω φράγμα. Συγκεκριμένα R = O 1 O 2(βλ. Εικ. 13.46.α, και Εικ. 13.46.γ), και τα κέντρα Ο 3Και Ο 4καθορίζονται ως τα σημεία τομής των κύκλων βάσης (βλ. Εικ. 13.46, β). Σύμφωνα με τη γενική θεωρία των σημείων, οι σύντροφοι καθορίζονται σε μια ευθεία γραμμή που συνδέει τα κέντρα των τόξων των ωστικών κύκλων.

Κατασκευάζοντας ένα οβάλ με συγκινητικούς κύκλους στήριξης(το πρόβλημα έχει πολλές λύσεις) (ρύζι. 3.44). Από τα κέντρα των κύκλων αναφοράς ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕΚαι 0 1 με ακτίνα ίση, για παράδειγμα, με την απόσταση μεταξύ των κέντρων τους, σχεδιάστε τόξα κύκλων μέχρι να τέμνονται σε σημεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ 2 και Ο 3.

Εικόνα 3.44

Αν από σημεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ 2 και Ο 3τραβήξτε ευθείες γραμμές μέσα από τα κέντρα ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕΚαι Ο 1, τότε στη διασταύρωση με τους κύκλους στήριξης παίρνουμε τα σημεία σύνδεσης ΜΕ, Γ 1, ρεΚαι Δ 1. Από σημεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ 2 και Ο 3όπως από κέντρα ακτίνας R 2σχεδιάστε τόξα σύζευξης.

Κατασκευάζοντας ένα οβάλ με τεμνόμενους κύκλους αναφοράς(το πρόβλημα έχει και πολλές λύσεις) (Εικ. 3.45). Από τα σημεία τομής των κύκλων αναφοράς Γ 2Και Ο 3σχεδιάστε ευθείες γραμμές, για παράδειγμα, μέσα από κέντρα ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕΚαι Ο 1μέχρι να τέμνονται με τους κύκλους αναφοράς στα σημεία διασταύρωσης Γ, Γ 1 ΔΚαι Δ 1και ακτίνες R2,ίση με τη διάμετρο του κύκλου αναφοράς - το τόξο σύζευξης.

Εικόνα 3.45 Εικόνα 3.46

Κατασκευάζοντας ένα οβάλ κατά μήκος δύο καθορισμένων αξόνων AB και CD(Εικ. 3.46). Παρακάτω είναι μία από τις πολλές πιθανές λύσεις. Στον κατακόρυφο άξονα σχεδιάζεται ένα τμήμα ΟΕ,ίσο με το μισό του κύριου άξονα ΑΒ.Από σημείο ΜΕπώς να σχεδιάσετε ένα τόξο με ακτίνα από το κέντρο SEστην τομή με το ευθύγραμμο τμήμα ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝστο σημείο Ε 1. Προς τη μέση του τμήματος ΑΕ 1επαναφέρετε την κάθετο και σημειώστε τα σημεία τομής της με τους άξονες του οβάλ Ο 1Και 0 2 . Χτίστε σημεία Ο 3Και 0 4 , συμμετρικά με τα σημεία Ο 1Και 0 2 σε σχέση με τους άξονες CDΚαι ΑΒ.Πόντοι Ο 1Και 0 3 θα είναι τα κέντρα των κύκλων αναφοράς ακτίνας R1,ίσο με το τμήμα Περίπου 1 Α,και τα σημεία Ο2Και 0 4 - κέντρα σύζευξης τόξων ακτίνας R2,ίσο με το τμήμα O 2 C.Ευθείες γραμμές που συνδέουν τα κέντρα Ο 1Και 0 3 Με Ο2Και 0 4 Στη διασταύρωση με το οβάλ θα καθοριστούν τα σημεία σύνδεσης.

Στο AutoCAD, ένα οβάλ κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας δύο κύκλους αναφοράς της ίδιας ακτίνας, οι οποίοι:

1. έχουν ένα σημείο επαφής?

2. τέμνω?

3. δεν τέμνονται.

Ας εξετάσουμε την πρώτη περίπτωση. Κατασκευάζεται ένα τμήμα OO 1 =2R, παράλληλο στον άξονα Χ· στα άκρα του (σημεία O και O 1) τοποθετούνται τα κέντρα δύο υποστηρικτικών κύκλων ακτίνας R και τα κέντρα δύο βοηθητικών κύκλων ακτίνας R 1 =2R. Από τα σημεία τομής των βοηθητικών κύκλων O 2 και O 3, κατασκευάζονται αντίστοιχα τόξα CD και C 1 D 1. Οι βοηθητικοί κύκλοι αφαιρούνται και, στη συνέχεια, τα εσωτερικά μέρη των κύκλων στήριξης κόβονται σε σχέση με τα τόξα CD και C 1 D 1. Στο σχήμα ъъ το οβάλ που προκύπτει τονίζεται με μια παχιά γραμμή.

Σχήμα Κατασκευάζοντας ένα οβάλ με συγκινητικούς κύκλους στήριξης της ίδιας ακτίνας

Στην αστρονομία, όταν εξετάζουμε την κίνηση των κοσμικών σωμάτων σε τροχιές, χρησιμοποιείται συχνά η έννοια της «έλλειψης», καθώς οι τροχιές τους χαρακτηρίζονται από αυτήν ακριβώς την καμπύλη. Στο άρθρο θα εξετάσουμε το ερώτημα τι αντιπροσωπεύει το σημειωμένο σχήμα και επίσης θα δώσουμε τον τύπο για το μήκος της έλλειψης.

Τι είναι η έλλειψη;

Σύμφωνα με τον μαθηματικό ορισμό, μια έλλειψη είναι μια κλειστή καμπύλη για την οποία το άθροισμα των αποστάσεων από οποιοδήποτε σημείο της σε δύο άλλα συγκεκριμένα σημεία που βρίσκονται στον κύριο άξονα, που ονομάζονται εστίες, είναι σταθερή τιμή. Παρακάτω είναι ένα σχήμα που εξηγεί αυτόν τον ορισμό.

Μπορεί να σας ενδιαφέρει:

Στο σχήμα, το άθροισμα των αποστάσεων PF" και PF είναι ίσο με 2 * a, δηλαδή PF" + PF = 2 * a, όπου F" και F είναι οι εστίες της έλλειψης, "a" είναι το μήκος του ημι-μεγάλου άξονά του. Το τμήμα ΒΒ" ονομάζεται ημι-μικρός άξονας, και η απόσταση CB = CB" = b - μήκος του ημι-μεγάλου άξονα. Εδώ το σημείο C καθορίζει το κέντρο του σχήματος.

Η παραπάνω εικόνα δείχνει επίσης μια απλή μέθοδο με σχοινί και δύο καρφιά που χρησιμοποιείται ευρέως για τη σχεδίαση ελλειπτικών καμπυλών. Ένας άλλος τρόπος για να αποκτήσετε αυτό το σχήμα είναι να κόψετε τον κώνο σε οποιαδήποτε γωνία ως προς τον άξονά του, η οποία δεν είναι ίση με 90o.

Εάν η έλλειψη περιστραφεί κατά μήκος ενός από τους δύο άξονές της, τότε σχηματίζει ένα τρισδιάστατο σχήμα, το οποίο ονομάζεται σφαιροειδές.

Τύπος για την περιφέρεια μιας έλλειψης

Αν και το εν λόγω σχήμα είναι αρκετά απλό, το μήκος της περιφέρειάς του μπορεί να προσδιοριστεί με ακρίβεια υπολογίζοντας τα λεγόμενα ελλειπτικά ολοκληρώματα του δεύτερου είδους. Ωστόσο, ο αυτοδίδακτος Ινδός μαθηματικός Ramanujan, στις αρχές του 20ου αιώνα, πρότεινε έναν αρκετά απλό τύπο για το μήκος μιας έλλειψης, ο οποίος προσεγγίζει το αποτέλεσμα των σημειωμένων ολοκληρωμάτων από κάτω. Δηλαδή, η αξία της εν λόγω τιμής που υπολογίζεται από αυτήν θα είναι ελαφρώς μικρότερη από το πραγματικό μήκος. Αυτός ο τύπος μοιάζει με: P ≈ pi *, όπου pi = 3,14 είναι ο αριθμός pi.

Για παράδειγμα, έστω ότι τα μήκη των δύο ημιαξόνων της έλλειψης είναι ίσα με a = 10 cm και b = 8 cm, τότε το μήκος της P = 56,7 cm.

Ο καθένας μπορεί να ελέγξει ότι εάν a = b = R, δηλαδή, θεωρείται ένας συνηθισμένος κύκλος, τότε ο τύπος του Ramanujan μειώνεται στη μορφή P = 2 * pi * R.

Σημειώστε ότι στα σχολικά εγχειρίδια δίνεται συχνά ένας άλλος τύπος: P = pi * (a + b). Είναι απλούστερο, αλλά και λιγότερο ακριβές. Έτσι, εάν το εφαρμόσουμε στην περίπτωση που εξετάζουμε, λαμβάνουμε την τιμή P = 56,5 cm.

Όταν έχουμε να κάνουμε με στρογγυλές μπανιέρες, όλα είναι αρκετά απλά. Πράγματι, υπάρχουν διάμετροι - πάνω κάτω, υπάρχει το ύψος των πριτσινιών, δεν είναι δύσκολο να υπολογίσεις την περίμετρο... Το μόνο που μένει είναι να φτιάξεις ένα πρότυπο και να το σχεδιάσεις μόνος σου, κερδίζοντας το απαιτούμενο συνολικό πλάτος των πριτσινιών . Τι γίνεται όμως αν το προϊόν μας είναι οβάλ; Πόσα πρότυπα χρειάζονται για την κατασκευή του και τι είδους; Πώς σχηματίζεται αυτή η ομαλή γραμμή, που κινείται από μικρές ακτίνες στα άκρα του προϊόντος σε μεγάλες πλευρές με σχετικά ελαφριά κάμψη;

Για να κατανοήσουμε αυτό το ζήτημα, ας ξεκινήσουμε με τη μέθοδο που περιγράφει ο G. Ya. Fedotov στο βιβλίο "Secrets of Cooperation". Αυτό μας προσφέρει ο συγγραφέας στο κεφάλαιο «Ankerok», αφιερωμένο στην κατασκευή αυτής της φορητής επίπεδης κάννης, η οποία έχει οβάλ διατομή.

Γεωμετρική μέθοδος για τον υπολογισμό των οβάλ παραμέτρων σύμφωνα με τον Fedotov

Όπως γνωρίζετε, ένα οβάλ αποτελείται από τέσσερα τόξα ζευγαρώματος - δύο μεγάλα και δύο μικρά. Το πλαίσιο φαίνεται να είναι συναρμολογημένο από τα πριτσίνια ενός μεγάλου και μικρού βαρελιού. Στην πραγματικότητα, έτσι είναι. Μόνο, φυσικά, ο πλοίαρχος φτιάχνει δύο τύπους πριτσίνια ειδικά - μερικά, όπως ήταν, για ένα μικρό βαρέλι, άλλα - για ένα μεγάλο. Στη συνέχεια τακτοποιώντας τα με συγκεκριμένη σειρά τα σφίγγει με κρίκους αποκτώντας πλαίσιο με πιεσμένα πλαϊνά και οβάλ διατομή.

Προκειμένου να προσδιοριστεί με ακρίβεια τι είδους πριτσίνια πρέπει να είναι του ενός και του άλλου τύπου, πόσα από αυτά πρέπει να περιλαμβάνονται στο σετ πλαισίου, είναι απαραίτητο να πραγματοποιήσετε ορισμένους υπολογισμούς. Πρώτα απ 'όλα, σε ένα φύλλο χαρτιού σε φυσικό μέγεθος, σχεδιάστε μια οβάλ διατομή του πλαισίου στο φαρδύ μέρος του. Χρησιμοποιώντας μια πυξίδα, σχεδιάστε έναν βοηθητικό κύκλο, η διάμετρος του οποίου πρέπει να είναι ίση με το ύψος της κάννης. ( Κάτω από το ύψος εν προκειμένω Γ.Υα. Ο Fedotov υπονοεί τον κύριο άξονα του οβάλ - αυτό φαίνεται από το σχήμα). Το κέντρο του σημειώνεται με δύο αμοιβαία κάθετες αξονικές γραμμές. Ο κατακόρυφος άξονας χωρίζεται σε πέντε ίσα μέρη. Δύο μικροί κύκλοι σχεδιάζονται γύρω από τα σημεία 1 και 4, εφαπτόμενοι στον μεγάλο βοηθητικό κύκλο. Οι ευθείες γραμμές χαράσσονται μέσω των σημείων τομής της οριζόντιας κεντρικής γραμμής με τον βοηθητικό κύκλο και τα κέντρα των μικρών κύκλων. Στη διασταύρωση αυτών των γραμμών με τα τόξα μικρών κύκλων θα υπάρχουν τα λεγόμενα σημεία σύνδεσης. Συνδέονται χρησιμοποιώντας πυξίδα με μεγάλα τόξα. Τα κέντρα αυτών των τόξων θα βρίσκονται στην τομή της οριζόντιας κεντρικής γραμμής και του κύριου τόξου του βοηθητικού κύκλου.

Με οδηγό το οβάλ σχεδιασμένο σε χαρτί, κατασκευάζονται δύο πρότυπα. Τα περιγράμματα ενός από αυτά πρέπει να αντιστοιχούν στο μικρό τόξο του οβάλ και το άλλο - στο μεγάλο.

Για να προσδιοριστεί ακριβώς πόσα πριτσίνια απαιτούνται για τη συναρμολόγηση του πλαισίου της κάννης, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περίμετρός του. Θα είναι ίσο με το άθροισμα των μηκών του μεγάλου και του δευτερεύοντος τόξου. Το μήκος κάθε τόξου βρίσκεται ως εξής. Αρχικά, καθορίστε την περίμετρο των πλήρων κύκλων, μέρος των οποίων είναι τα τόξα που αποτελούν το οβάλ. Οι περίμετροι ορίζονται σύμφωνα με τον τύπο 2πR, όπου π=3,14. Στη συνέχεια, χωρίζοντας την περίμετρο του μικρού κύκλου σε 3 μέρη, προκύπτει το μήκος του μικρού τόξου. Με τη σειρά του, η περίμετρος του μεγάλου κύκλου χωρίζεται σε έξι μέρη και προσδιορίζεται το μήκος του μεγάλου τόξου. Το συνολικό μήκος των δύο τόξων διπλασιάζεται και προκύπτει η περίμετρος του οβάλ.

Δεν είναι όλα απλά; Αυτή η μέθοδος λειτουργεί πραγματικά και λειτουργεί άψογα.

Τι γίνεται όμως αν το οβάλ προϊόν μας είναι μια μπανιέρα με όγκο 500 λίτρα;

Η σχεδίασή του σε πλήρες μέγεθος δεν είναι η πιο εύκολη δουλειά. Αλλά χρειάζεστε δύο τέτοια σχέδια - για το πάνω και το κάτω οβάλ.

Απολέπιση? Είναι γεμάτο ανακρίβειες...

Από τη γεωμετρία κατασκευής που έδωσε ο G. Ya. Fedotov, δεν είναι δύσκολο να εξαχθούν τύποι με τη βοήθεια των οποίων μπορούν να ληφθούν οι ίδιες ποσότητες χωρίς να σχεδιάσουμε τίποτα σε χαρτί.

Αλγεβρική μέθοδος για τον υπολογισμό των οβάλ παραμέτρων σύμφωνα με τον Fedotov

Παρά το γεγονός ότι ο Gennady Yakovlevich δεν δίνει αυτούς τους τύπους στο βιβλίο, θα ονομάσουμε τη μέθοδο με το όνομά του, καθώς είναι σωστή μόνο για το σχέδιο που δίνεται παραπάνω και, στην πραγματικότητα, απλώς την αντικαθιστά.

Έτσι, έστω L το μήκος του οβάλ, l το πλάτος του, r η ακτίνα του μικρού κύκλου, R η ακτίνα του μεγάλου κύκλου.

1) Βρείτε την ακτίνα του μικρού κύκλου:

r=L/5

2) Βρείτε τη βοηθητική ποσότητα h - την απόσταση μεταξύ του σημείου τομής των αξονικών γραμμών και του κέντρου του μικρού κύκλου A 1:

h=1,5r

3) Βρείτε τη βοηθητική ποσότητα c - την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών B 2 A 1 και A 2 B 1:

c= √ [(L/2) 2 +h 2 ]

4) Βρείτε την ακτίνα του μεγάλου τόξου R:

R=c+r

5) Βρείτε τη βοηθητική ποσότητα q - την απόσταση μεταξύ του σημείου B 1 (B 2) και του σημείου τομής του μεγάλου τόξου του οβάλ και της οριζόντιας κεντρικής γραμμής:

q=ΜΕΓΑΛΟ-R

6) Βρείτε το πλάτος του οβάλ l:

l=L-2q

7) Πολλαπλασιάστε τις ακτίνες R και r επί 2 για να βρείτε τις παραμέτρους D και d. Αυτές είναι οι διάμετροί μας - αυτές που χρειάζονται για την κατασκευή προτύπων.

8) Βρείτε το μήκος του δευτερεύοντος τόξου m:

m=πd/3

9) Βρείτε το μήκος του μεγάλου τόξου Μ:

Μ=πD/6

10) Και τέλος, βρείτε την περίμετρο του οβάλ p:

p=2(Μ+Μ)

Αυτός ο υπολογισμός θα πρέπει να επαναληφθεί για να βρούμε τις παραμέτρους του δεύτερου οβάλ (το κάτω ή το πάνω μέρος της μπανιέρας μας).

Κατά τον υπολογισμό ενός οβάλ σύμφωνα με τον Fedotov, πρέπει να έχετε υπόψη ορισμένα χαρακτηριστικά.

Πρώτον, ο κύριος μπορεί να ορίσει μόνο το μήκος του οβάλ L. Το πλάτος του l έχει ήδη υπολογιστεί, δηλαδή, αποδεικνύεται ότι είναι αυστηρά συνδεδεμένο με μια συγκεκριμένη τιμή μήκους. Με άλλα λόγια, αν χρειαστεί να αλλάξουμε το πλάτος, θα πρέπει να αλλάξουμε και το μήκος. Δεν είναι άνετο.

Δεύτερον, κατά τον υπολογισμό χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο, αποδεικνύεται ότι τα μεγάλα και μικρά τόξα του προϊόντος μας έχουν διαφορετικά κωνικά. Έτσι, για ένα μπάνιο 500 λίτρων,
που υπολογίζεται ακριβώς με αυτόν τον τρόπο, οι διάμετροι των μεγάλων τόξων στο πάνω και στο κάτω μέρος είναι 204 και 234 cm, αντίστοιχα, και οι διάμετροι των μικρών είναι 52 και 60. Έτσι, με ύψος πριτσινώματος 85 cm, η Ο συντελεστής κωνικότητας για το μικρό τόξο είναι 0,094 και για το μεγάλο - 0,353. Για ένα τέτοιο οβάλ, τα σχέδια που περιγράφονται στο άρθρο "Taper of a cooper's product" δεν λειτουργούν και η αξιοπιστία της στερέωσης ξύλινων κρίκων σε ένα ορισμένο ύψος πρέπει να προσδιοριστεί πειραματικά.

Καθολικοί τύποι για τον υπολογισμό των οβάλ παραμέτρων

Ωστόσο, αποδεικνύεται ότι ο κατακόρυφος άξονας του οβάλ στο σχέδιό μας δεν χρειάζεται να χωριστεί ακριβώς σε πέντε μέρη. Μπορεί να γίνει σε τέσσερα μέρη, ή σε τρία ή σε έξι. Επιπλέον, γενικά δεν είναι απαραίτητο να το χωρίσουμε σε ίσα μέρη. Η γωνία που σχηματίζεται από την οριζόντια αξονική γραμμή και τις γραμμές ΑΒ μπορεί γενικά να είναι οτιδήποτε (εντός των ορίων του σχεδίου, φυσικά).

Ας υποδηλώσουμε αυτή τη γωνία με το σύμβολο γ. Και αφήστε τους άξονες του οβάλ (το μήκος και το πλάτος του, αντίστοιχα) να είναι ίσοι με a και b.

Στη συνέχεια, οι γενικοί τύποι για τον υπολογισμό των οβάλ παραμέτρων θα μοιάζουν με αυτό:

R=[(b/2*(sin(γ)-1)+(a/2*cos γ)] /

r=[(b/2*cos (γ/2)) - (α/2*αμαρτία (γ/2))] / [(συν (γ/2)-sin(γ/2)]

Φαίνονται τρομακτικά; Χμ, ίσως είναι αλήθεια. Αλλά, χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους, μπορούμε ελεύθερα να ορίσουμε τρεις παραμέτρους: το μήκος του οβάλ, το πλάτος του και τη βοηθητική γωνία γ. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να υπολογίσουμε ένα οβάλ με οποιεσδήποτε δεδομένες συνολικές διαστάσεις a και b, και περισσότερες από μία. Με τις ίδιες τιμές των a και b, μπορούμε να πάρουμε τόσα διαφορετικά οβάλ όσα μπορούμε να βρούμε διαφορετικές τιμές της βοηθητικής γωνίας γ που ταιριάζουν στο σχέδιο.

Ας εξηγήσουμε με ένα παράδειγμα. Ας πρέπει να υπολογίσουμε ένα οβάλ του οποίου οι άξονες είναι 150 και 84 cm, αντίστοιχα (οι παράμετροι του μεγάλου οβάλ της μπανιέρας μας 500 λίτρων). Ο πίνακας δείχνει πώς θα αλλάξουν οι διάμετροι D και d, τα μήκη του μεγάλου και του δευτερεύοντος τόξου M και m, καθώς και η περίμετρος του ωοειδούς p ανάλογα με τη μεταβολή της γωνίας γ.

Οβάλ μήκος, a, cm	Οβάλ πλάτος, b, cm		Διάμετρος μεγάλου τόξου, D, cm	Μικρή διάμετρος τόξου, d, cm	Μήκος του κύριου τόξου, M, cm	Μήκος μικρού τόξου, m, cm	Οβάλ περίμετρος, p, cm

Όλα αυτά τα οβάλ θα έχουν ελαφρώς διαφορετικά περιγράμματα, αλλά τις ίδιες συνολικές διαστάσεις - 150x84 cm.

Ταυτόχρονα, ορίζοντας τιμές για τα μεγάλα και μικρά οβάλ του προϊόντος μας, μπορούμε ελεύθερα να ορίσουμε την ίδια κωνικότητα για τα μεγάλα και τα μικρά τόξα, κάτι που θα κάνει τα οβάλ μας να φαίνονται να ταιριάζουν ομοιόμορφα το ένα στο άλλο όταν τα βλέπουμε από ψηλά. . Για τέτοια προϊόντα, η διαφορά μεταξύ μεγάλων και μικρών διαμέτρων θα είναι η ίδια και, επομένως, ο συντελεστής κωνικότητας θα είναι ο ίδιος. Ένα παράδειγμα τέτοιου προϊόντος είναι το δικό μας οθωμανικό,
με τις ακόλουθες παραμέτρους: διάμετροι μεγάλων τόξων - 96 και 90 cm, διάμετροι μικρών τόξων - 36 και 30 cm, μήκη μεγάλων και μικρών οβάλ - 66 και 60 cm, και τα πλάτη τους - 44 και 38 cm. Όπως μπορείτε να δείτε , η διαφορά είναι στις διαμέτρους, και στις συνολικές διαστάσεις είναι παντού ίση με 6 εκ. Ο συντελεστής κωνικότητας για ύψος πριτσινώματος 45 εκ. είναι 0,133. Οι ξύλινοι κρίκοι τεντώνονται εξίσου σε ολόκληρη την επιφάνεια του προϊόντος και στερεώνονται με ασφάλεια σε ένα δεδομένο ύψος.

Για να αποφευχθεί η ανάγκη διεξαγωγής πολύπλοκων υπολογισμών κάθε φορά, αρκεί να εισάγετε τους παραπάνω τύπους μία φορά σε κάποιο υπολογιστικό πρόγραμμα. Παρακάτω μπορείτε να κατεβάσετε ένα έγγραφο Excel στο οποίο εισάγετε μόνο τις τιμές των a και b (πρέπει να εισαγάγετε τις ίδιες τιμές σε όλες τις σειρές), μετά από το οποίο το πρόγραμμα θα δημιουργήσει αυτόματα όλες τις απαραίτητες παραμέτρους τέτοιων οβάλ για ένα ευρύ φάσμα γωνιών γ. Απλώς φροντίστε να μην εισαγάγετε τίποτα με το χέρι στις άλλες στήλες για να μην αντικαταστήσετε τους τύπους με αριθμητικές τιμές.